Całki potrójne i powierzchniowe PDF

Preview

Summary

Notatki z wykładu o całkach potrójnych i powierzchniowych....

Description

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Całki potrójne i powierzchniowe       

Całka potrójna. Interpretacja fizyczna całki potrójnej. Całka powierzchniowa nieskierowana. Interpretacja fizyczna całki powierzchniowej nieskierowanej. Całka powierzchniowa skierowana. Interpretacja fizyczna całki powierzchniowej skierowanej. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

Całka potrójna Całkę potrójną definiujemy analogicznie jak całkę podwójną.

Niech 𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏1 ∧ 𝑎2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏2 ∧ 𝑎3 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏3 } oraz niech 𝑓: 𝑃 → ℝ będzie funkcją ograniczoną. Prostopadłościan 𝑃 dzielimy na 𝑛 dowolnych prostopadłościanów częściowych o rozłącznych wnętrzach i objętościach równych ∆𝑃1 , …, ∆𝑃𝑛 . Niech 𝛿𝑛 oznacza najdłuższą przekątną z przekątnych tych prostopadłościanów. W każdym z prostopadłościanów wybieramy punkt (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛 i tworzymy sumę (jest to tzw. suma całkowa) 𝑛

𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑃𝑖 𝑖=1

Jeżeli granica ciągu (𝑆𝑛 ) istnieje i jest skończona przy 𝑛 → ∞ i 𝛿𝑛 → 0 oraz nie zależy od sposobu podziału prostopadłościanu 𝑃 na prostopadłościany częściowe ani od wyboru punktów (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛, to nazywamy ją całką potrójną funkcji 𝑓 po prostopadłościanie 𝑃 i oznaczamy symbolem ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑃

Twierdzenie. Niech 𝑓 będzie funkcją ciągłą na prostopadłościanie Wówczas

𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏1 ∧ 𝑎2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏2 ∧ 𝑎3 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏3 }. 𝑏1

𝑏2

𝑏3

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 𝑃

(Kolejność całkowania może być zmieniona).

Przykład. Obliczymy całkę potrójną

𝑃

𝑎1

𝑎2

𝑎3

∭(𝑥 −Łódź 𝑦 + 2015 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

, 1

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny gdzie Mamy

wersja 1.0 Marek Małolepszy

𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ∧ −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝑧 ≤ 2}. 1

1

2

∭(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ (∫(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧) 𝑑𝑧) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 𝑃

1

1

= ∫ ( ∫[𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 0

1

−1

0

+ 𝑧 2 ]02 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 1

−1

0

1

1

= ∫ ( ∫(2𝑥 − 2𝑦 + 4) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 0

−1

1 𝑑𝑥 = ∫(4𝑥 + 8)𝑑𝑥 = [2𝑥 2 + 8𝑥]01 = 10 = ∫[2𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 4𝑦 ]−1 0

0

Pojęcie całki potrójnej po prostopadłościanie rozszerzymy na dowolny obszar domknięty i ograniczony.

Niech 𝑉 ⊂ ℝ3 będzie obszarem domkniętym i ograniczonym, 𝑓: 𝑉 → ℝ funkcją ograniczoną, a 𝑃 prostopadłościanem zawierającym obszar 𝑉. Funkcję 𝐹: 𝑃 → ℝ definiujemy następująco 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) gdy (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = { 0 gdy (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑃\𝑉

Jeżeli funkcja 𝐹 jest całkowalna po prostopadłościanie 𝑃, to powiemy, że funkcja 𝑓 jest całkowalna po zbiorze 𝑉 oraz całkę potrójną funkcji 𝑓 po zbiorze 𝑉 definiujemy jako całkę potrójną funkcji 𝐹 po prostopadłościanie 𝑃 (o ile całka ta istnieje) i oznaczamy ją symbolem ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

Zatem mamy

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

𝑃

Łatwo widać, że objętość obszaru domkniętego 𝑉 ⊂ ℝ3 jest równa całce potrójnej po tym obszarze funkcji 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, tzn. |𝑉| = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

Domknięty obszar 𝑉 ⊂ ℝ3 nazywamy normalnym względem płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦, jeśli 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑘(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑙(𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷},

gdzie 𝑘 i 𝑙 są funkcjami ciągłymi na regularnym i domkniętym obszarze 𝐷 oraz 𝑘(𝑥, 𝑦) < 𝑙(𝑥, 𝑦) dla punktów wewnętrznych obszaru 𝐷. W analogiczny sposób definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn 𝑂𝑦𝑧 i 𝑂𝑥𝑧.

Geometrycznie normalność obszaru 𝑉 względem płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦 oznacza, że każda prosta prostopadła do 𝑂𝑥𝑦 przechodząca przez punkt z wnętrza obszaru 𝐷 przecina brzeg obszaru 𝑉 w dwóch punktach. Łódź 2015

2

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne)

wersja 1.0

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Marek Małolepszy

Domknięty obszar 𝑉 ⊂ ℝ3 nazywamy regularnym, gdy jest on sumą skończonej liczby obszarów normalnych względem jednej z płaszczyzn układu współrzędnych i nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Twierdzenie. Niech 𝑓 będzie funkcją ciągłą na obszarze 𝑉 normalnym względem płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑘(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑙(𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}.

Wówczas

𝑙(𝑥,𝑦)

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑉

𝐷

𝑘(𝑥,𝑦)

Jeżeli ponadto obszar 𝐷 jest normalny względem osi 𝑂𝑥 oraz

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ∧ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ(𝑥)},

to

ℎ(𝑥)

𝑏

𝑙(𝑥,𝑦)

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ( ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥. 𝑉

𝑎

𝑔(𝑥)

𝑘(𝑥,𝑦)

Analogiczne twierdzenia pozostają prawdziwe, gdy obszar całkowania 𝑉 jest normalny względem innej płaszczyzny układu współrzędnych lub zbiór 𝐷 jest normalny względem innej osi układu współrzędnych. Przykład. Obliczymy całkę potrójną ∭ 2𝑧√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉

gdzie

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 ∧ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1}.

Mamy ∭ 2𝑧√𝑥 2 𝑉

+ 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2

2

= ∬ (∫ 2𝑧√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ [𝑧 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

0

𝐷

0

𝑥 = 𝑟cos𝜑, 𝑦 = 𝑟sin𝜑, 𝐽 = 𝑟 = ∬ 4√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = { } = ∬ 4√𝑟 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 ∆= {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} 𝐷

=

∬ 4𝑟 2 𝑑𝑟𝑑𝜑 ∆

1 2𝜋

= ∫∫ 4 0 0

𝑟 2 𝑑𝜑𝑑𝑟

=

1

∫[4𝑟2 𝜑]2𝜋 0 𝑑𝑟

0

Łódź 2015

=

1

∫ 8𝜋𝑟 2 0

∆

8 31 8 𝑑𝑟 = [ 𝜋𝑟 ] = 𝜋 3 3 0

3

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne)

wersja 1.0

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Marek Małolepszy

Interpretacja fizyczna całki potrójnej

Całka potrójna funkcji 𝜌 ciągłej i nieujemnej na regularnym obszarze 𝑉 ⊂ ℝ3 jest równa masie tego obszaru, którego gęstość w każdym punkcie (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest równa 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧), zatem 𝑚 = ∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Przykład. Obliczymy masę kuli

𝑉

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1},

której gęstość w każdym punkcie jest taka sama i wynosi 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1. Mamy

𝑚 = ∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

𝑉

Powyższa całka jest równa objętości kuli 𝑉, czyli

4 4 𝑚 = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜋 ∙ 13 = 𝜋 3 3 𝑉

Przykład. Obliczymy masę bryły

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 0 < 𝑧 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 ⋀ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 ≤ 0},

której gęstość w każdym punkcie jest równa odległości tego punktu od płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦.

Zbiór 𝑉 znajduje się nad płaszczyzną 𝑂𝑥𝑦 , a odległość punktu (𝑥, 𝑦, 𝑧) tego zbioru od płaszczyzny 𝑂𝑥𝑦 jest równa 𝑧. Połóżmy Zatem masa bryły 𝑉 jest równa

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥2 + 𝑦 2 + 2𝑥 ≤ 0}.

√𝑥 2 +𝑦2

𝑚 = ∭ 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ ( ∫ 𝑉

0

𝐷

1 √𝑥 𝑧𝑑𝑧 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ [ 𝑧 2 ] 2 0 𝐷

2 +𝑦2

1 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝐷

𝑥 = 𝑟cos𝜑, 𝑦 = 𝑟sin𝜑, 𝐽 = 𝑟, 1 𝜋 3 } = ∬ (𝑟 2 cos2 𝜑 + 𝑟 2 sin2 𝜑)𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 ={ 2 ∆= {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ −2cos𝜑 ∧ ≤ 𝜑 ≤ 𝜋} 2 2 ∆ 3 2𝜋 −2cos𝜑

1 = ∬ 𝑟 3 𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 2 ∆

𝜋 2

∫

0

3 2𝜋

1 1 3 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = ∫ [ 𝑟 4 ] 2 8 0 𝜋 2

−2cos𝜑

3

3 2𝜋

𝑑𝜑 = ∫ 2cos4 𝜑𝑑𝜑

1 3 2𝜋 3 1 = [ sin4𝜑 + sin2𝜑 + 𝜑] = 𝜋 2 16 4 𝜋 4

𝜋 2

2

Łódź 2015

4

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Całka powierzchniowa nieskierowana

Niech 𝐹 będzie funkcją określoną na płacie powierzchniowym 𝑆 (którego rzutem prostokątnym na płaszczyznę 𝑂𝑥𝑦 jest regularny domknięty obszar 𝐷) o równaniu 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), gdzie (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

Płat 𝑆 podzielmy na 𝑛 płatów częściowych 𝑆1 , 𝑆2 , …, 𝑆𝑛 o rozłącznych wnętrzach i polach równych ∆𝑆1, ∆𝑆2, …, ∆𝑆𝑛. W każdym z płatów częściowych 𝑆𝑖 wybieramy punkt (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛 i tworzymy sumę 𝑛

𝜎𝑛 = ∑ 𝐹(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 )∆𝑆𝑖 𝑖=1

Jeżeli granica ciągu (𝜎𝑛 ) istnieje i jest skończona przy 𝑛 → ∞ i średnice płatów częściowych 𝑆𝑖 dążą do zera oraz granica nie zależy od sposobu podziału płata 𝑆 na płaty częściowe ani od wyboru punktów (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑛, to nazywamy ją całką powierzchniową nieskierowaną (niezorientowaną) funkcji 𝐹 po płacie 𝑆 i oznaczamy symbolem ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 𝑆

Jeżeli 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 dla (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆, to całka funkcji 𝐹 po płacie 𝑆 jest równa jego polu, tzn. |𝑆| = ∬ 𝑑𝑆 𝑆

Twierdzenie. (zamiana całki powierzchniowej nieskierowanej na całkę podwójną) Jeżeli funkcja 𝐹 jest ciągła na płacie powierzchniowym 𝑆 opisanym równaniem 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), gdzie (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷,

to istnieje całka powierzchniowa funkcji 𝐹 po płacie 𝑆 i jest równa

∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 = ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))√1 + (𝑧𝑥′)2 + (𝑧𝑦′) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

𝑆

2

Jeżeli płat powierzchniowy opisany jest równaniem

𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧), gdzie (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷′

𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧), gdzie (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷′′,

lub

to można podać analogiczne twierdzenia do powyższego twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej nieskierowanej na całkę podwójną. Jeżeli powierzchnia 𝑆 jest sumą płatów powierzchniowych 𝑆1 , … , 𝑆𝑛 o rozłącznych wnętrzach, to całkę powierzchniową nieskierowaną funkcji 𝐹 ciągłej na powierzchni 𝑆 określamy następująco 𝑛

∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 = ∑ ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆, 𝑆

𝑖=1 𝑆𝑖

Łódź 2015

5

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne)

wersja 1.0

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Marek Małolepszy

przy czym płaty mogą być postaci

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)},

𝑆 ′ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷′, 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧)},

𝑆 ′′ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷′′, 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧)}.

Przykład. Obliczymy całkę powierzchniową nieskierowaną

∬(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2) 𝑑𝑆, 𝑆

gdzie 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 0, 𝑧 = 2𝑥 + 2𝑦 + 1}. Mamy

𝑧𝑥′ = 2,

Zatem

𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 0}.

𝑧𝑦′ = 2,

∬(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2) 𝑑𝑆 = ∬(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2) √1 + 22 + 22 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

𝑆

𝑥 = 𝑟cos𝜑, 𝑦 = 𝑟sin𝜑, 𝐽 = 𝑟, 𝜋 } 𝜋 = 3 ∬(𝑥 2 + 𝑦 2 + 2) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = { ∆= {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 2cos𝜑 ∧ − ≤ 𝜑 ≤ } 2 2 𝐷 𝜋 2 2cos𝜑

= 3 ∬(𝑟 2 cos2 𝜑 + 𝑟 2 sin2 𝜑 + 2)𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 3 ∬(𝑟 3 + 2𝑟) 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 3 ∫ ∫ (𝑟 3 + 2𝑟) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 ∆

∆

𝜋 2

7 = 3 ∫(4cos 4 𝜑 + 4cos2 𝜑) 𝑑𝜑 = 𝜋 2

𝜋 − 2

0

𝜋 − 2

Interpretacja fizyczna całki powierzchniowej nieskierowanej.

Całka powierzchniowa nieskierowana po płacie powierzchniowym 𝑆 funkcji 𝜌 ciągłej i nieujemnej na płacie 𝑆 jest równa masie tego płata którego gęstość w punkcie (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest równa 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧), tzn. 𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆

Przykład. Obliczymy masę płata

𝑆

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4, 𝑦 ≥ 0},

którego gęstość w każdym punkcie (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest równa odległości tego punktu od osi 𝑂𝑦. Łódź 2015

6

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne)

wersja 1.0

Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

Marek Małolepszy

𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥 2 + 𝑧 2

Mamy Płat 𝑆 można określić wzorem

𝑦 = √4 − 𝑥 2 − 𝑧 2 ,

gdzie (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷 oraz 𝐷 = {(𝑥, 𝑧): 𝑥2 + 𝑧 2 ≤ 4}.

Ponadto

Zatem

4 4 − 𝑥2 − 𝑧2

1 + (𝑦𝑥′)2 + (𝑦𝑧′)2 =

𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑆 = ∬ √𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑆 = ∬ √𝑥 2 + 𝑧 2 ∙ √1 + (𝑦𝑥′)2 + (𝑦𝑧′)2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑆

𝑆

= ∬ √𝑥 2 + 𝑧2 ∙ √ 𝐷

𝐷

4 𝑥2 + 𝑧2 √ 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 2 ∬ 4 − 𝑥2 − 𝑧2 4 − 𝑥2 − 𝑧2 𝐷

𝑥 = 𝑟cos𝜑, 𝑦 = 𝑟sin𝜑, 𝐽 = 𝑟, 𝑟2 𝑟2 } = 2 ∬√ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 2 ∬ ={ 𝑑𝑟𝑑𝜑 4 − 𝑟2 ∆= {(𝑟, 𝜑): 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} √4 − 𝑟2 2 2𝜋

= 2∫ ∫ 2

= 4𝜋 ∫ 0

0 0

𝑟2

√4 − 𝑟2

2

𝑑𝜑𝑑𝑟 = 2 ∫ [ 0

𝑟2

∆

√4 − 𝑟2

𝜑]

2𝜋

0

2

𝑑𝑟 = 2 ∫ 0

𝑟2

∆

√4 − 𝑟2

2𝜋 𝑑𝑟

2 𝑟 1 − √4 − 𝑟 2 𝑑𝑟 = 4𝜋 [2arcsin − 𝑟√4 − 𝑟2 ] = 4𝜋 ∙ 𝜋 = 4𝜋 2 2 2 √4 − 𝑟2 0

4

Całka powierzchniowa skierowana

Niech 𝑆 będzie regularnym płatem powierzchniowym zdefiniowanym przez równanie 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦),

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.

Wybierzmy punkt 𝑀 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) należący do 𝑆 oraz jednostkowy wektor 𝑵 prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni 𝑆 w punkcie 𝑀. Gdy rozważamy wektor 𝑵, to mówimy o stronie

dodatniej powierzchni 𝑆 (wówczas używamy symbolu 𝑆). Gdy rozważamy wektor – 𝑵, to mówimy o stronie ujemnej powierzchni 𝑆 (wówczas używamy symbolu −𝑆). W tych przypadkach mówimy, że powierzchnia 𝑆 jest skierowana (zorientowana).

Warto zwrócić uwagę na fakt, iż nie każda powierzchnia ma dwie strony. Przykładem powierzchni jednostronnej jest wstęga Möbiusa.

W przypadku, gdy 𝑆 jest powierzchnią zamkniętą, to zewnętrzną stronę przyjmuje się za dodatnią, a wewnętrzną za ujemną.

Rozważmy funkcje 𝑃, 𝑄, 𝑅 → ℝ i 𝑾 = [𝑃, 𝑄, 𝑅]. Całką powierzchniową skierowaną (zorientowaną) trójki uporządkowanych funkcji 𝑃, 𝑄 i 𝑅 po powierzchni 𝑆 (skierowanej) nazywamy całkę Łódź 2015

7

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

powierzchniową nieskierowaną iloczynu skalarnego wektorów 𝑾 i 𝑵 po powierzchni 𝑆. Całkę powierzchniową skierowaną oznaczamy symbolem ∬ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑆

Zatem

+ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦

∬ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧+ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑾 ∘ 𝑵𝑑𝑆 𝑆

𝑆

Jeżeli istnieje całka powierzchniowa skierowana uporządkowanej trójki funkcji 𝑃, 𝑄 , 𝑅 po powierzchni 𝑆, to ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 −𝑆

𝑆

Jednostkowy wektor prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni 𝑆 jest równy 𝑵 = [cos𝛼, cos𝛽, cos𝛾],

gdzie 𝛼, 𝛽, 𝛾 są kątami między wektorem 𝑵 a dodatnimi kierunkami osi 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 , 𝑂𝑧.

Wówczas iloczyn skalarny wektorów 𝑾 i 𝑵 jest równy

𝑾 ∘ 𝑵 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛼 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛽 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛾

Wobec tego całka powierzchniowa skierowana uporządkowanej trójki funkcji 𝑃, 𝑄 , 𝑅 po powierzchni 𝑆 jest równa ∬ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧+ 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑾 ∘ 𝑵𝑑𝑆 𝑆

𝑆

= ∬(𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛼 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛽 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛾)𝑑𝑆 𝑆

Twierdzenie. Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄 , 𝑅 są ciągłe na skierowanym płacie 𝑆 o równaniu 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦),

to

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷,

∬ 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆

= 𝜀 ∬(−𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))𝑧𝑥′ − 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))𝑧𝑦′ + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦))) 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷

gdzie 𝜀 = 1, gdy cos𝛾 > 0 oraz 𝜀 = −1, gdy cos𝛾 < 0.

Łódź 2015

8

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Przykład. Obliczymy całkę powierzchniową skierowaną ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑆

gdzie 𝑆 jest częścią płaszczyzny 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 6 = 0, wyciętej płaszczyznami układu współrzędnych i tak zorientowanej, że cos𝛾 < 0. Płaszczyznę 𝑆 można opisać równaniem

𝑧 = −2𝑥 − 3𝑦 + 6

𝑧𝑥′ = −2,

Zatem Połóżmy

𝑧𝑦′ = −3

𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ −

Ponadto 𝜀 = −1, gdyż cos𝛾 < 0.

2 𝑥 + 2} 3

Otrzymujemy

∬ 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∬(2𝑥𝑦 + 3𝑦(−2𝑥 − 3𝑦 + 6) + 𝑥(−2𝑥 − 3𝑦 + 6))𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆

𝐷

2 − 3 3𝑥+2

= ∬(2𝑥 2 + 9𝑦 2 + 7𝑥𝑦 − 6𝑥 − 18𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ (2𝑥 2 + 9𝑦 2 + 7𝑥𝑦 − 6𝑥 − 18𝑦) 𝑑𝑥 = − 𝐷

0

0

369 16

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Twierdzenie. Niech 𝑉 ⊂ ℝ3 będzie zbiorem punktów (𝑥, 𝑦, 𝑧) określonym następująco (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 i 𝜑1 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝜓1 (𝑥, 𝑦), gdzie 𝜑1 i 𝜓1 są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze 𝐷 (możliwa jest także sytuacja, gdy 𝐷 jest obszarem regularnym na płaszczyźnie 𝑂𝑦𝑧 lub 𝑂𝑥𝑧). Jeżeli funkcje 𝑃, 𝑄, 𝑅 są klasy 𝐶1 na 𝑉 o brzegu 𝑆, który jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną na zewnątrz 𝑉, to ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭(𝑃𝑥′ + 𝑄𝑦′ + 𝑅′𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆

𝑉

Przykład. Obliczymy całkę

∬(𝑦 2 𝑧 + 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝑧 2 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑆

gdzie 𝑆 jest zewnętrzną stroną prostopadłościanu ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyznami 𝑥 = 2, 𝑦 = 3, 𝑧 = 1.

Mamy

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 2 𝑧 + 𝑥,

𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥 2 𝑦 Łódź 2015

𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑧 2 + 4𝑥𝑦

9

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny oraz

Marek Małolepszy

𝑃𝑥′ = 1, 𝑄𝑦′ = −𝑥 2

Niech

𝑅′𝑧 = 2𝑧.

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝑦 ≤ 3 ∧ 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}

Wówczas

=

wersja 1.0

∬(𝑦 2 𝑧 + 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝑧 2 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭(1 − 𝑥2 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆

2 3 1

∫ ∫ ∫ (1 − 𝑥 2 0 0 0

+ 2𝑧) 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2

2 3

∫ ∫[𝑧 − 𝑥 2 𝑧 + 𝑧 2 ]10 0 0

2

𝑉

2 3

𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫(2 − 𝑥 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 0 0

= ∫[2𝑦 − 𝑥 2 𝑦]30 𝑑𝑥 = ∫(6 − 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = [6𝑥 − 𝑥 3 ]02 = 4 0

0

Przykład. Obliczymy całkę ∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆

po zewnętrznej stronie powierzchni 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 , gdzie

𝑆1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑧 = 4}

𝑆2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 }

Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego mamy

∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∭(𝑥 2 − 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑆

{(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 2

𝑉

gdzie 𝑉 = ≤ 𝑧 ≤ 4, }. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy + 𝑦2

∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = −16𝜋 𝑆

Przykład. Obliczymy całkę ∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆2

gdzie 𝑆2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 } jest powierzchnią zorientowaną tak, że cos𝛾 > 0. Łódź 2015

10

Notatki do wykładu Matematyka 2 (studia stacjonarne) Politechnika Łódzka Wydział Mechaniczny

wersja 1.0 Marek Małolepszy

Wykorzystamy równość (wyjątkowo podano skrócony zapis) ∬ Z poprzedniego przykładu mamy

Ponadto

𝑆2

=∬ 𝑆

−∬ 𝑆 1

∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = −16𝜋 𝑆

∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑆1

Zatem

∬ −𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = −16𝜋 𝑆2

Łódź 2015

11...