Cálculo Diferencial e Integral 3 - Notas de Aula prof João Gondim PDF

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C´alculo Diferencial e Integral 3 Jo˜ao A. M. Gondim 20 de junho de 2017

ii

Sum´ ario 1 C´ alculo Vetorial de Curvas 1.1 Fun¸c˜oes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Comprimento de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Reparametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Integral de Linha de fun¸c˜oes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Integrais de Linha de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 O Teorema Fundamental das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Independˆencia do caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Caracteriza¸c˜ao dos Campos Conservativos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 C´alculo de Areas 1.7.2 Vers˜ao estendida do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Mais Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 11 12 14 15 17 19 20 24 25 27 30

2 C´ alculo Vetorial de Superf´ıcies 2.1 Superf´ıcies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Areas 2.3 Integrais de Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Integrais de Superf´ıcie de Fun¸c˜oes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Orienta¸c˜ao de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Integrais de Superf´ıcie de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Mais Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rotacional e Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Formas Vetoriais do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Teorema da Divergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 38 40 40 44 44 47 49 52 54 62 67

3 Sequˆ encias e S´ eries 3.1 Sequˆencias de N´umeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 S´eries Num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 S´eries de Termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Teste da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Os Testes da Compara¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Convergˆencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Os Testes da Raz˜ao e da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Exemplos gerais de s´eries - Estrat´egias para escolher os testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 S´eries de Potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 75 79 80 83 85 85 89 92

iii

1 1 2 4

´ SUMARIO

iv

3.7

3.6.1 Raio de convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6.2 Representa¸c˜ao de fun¸c˜oes por s´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.6.3 Deriva¸c˜ao e integra¸c˜ao de s´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6.4 S´erie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Cap´ıtulo 1

C´ alculo Vetorial de Curvas 1.1

Fun¸c˜ oes Vetoriais

Ao longo destas notas, vamos estudar diversos tipos de fun¸c˜oes, dentre os quais podemos destacar: • Fun¸co ˜es Reais: S˜ao fun¸c˜oes que tˆem R como contradom´ınio, ou seja, s˜ao as fun¸c˜oes estudadas nos cursos anteriores de C´alculo; • Fun¸co ˜es Vetoriais: S˜ao as fun¸c˜oes que tˆem como contradom´ınio um conjunto de vetores (para n´os, R2 ou R3 ). Por exemplo, s˜ao fun¸c˜oes vetoriais f (t) = (cos(t), sen(t)), f (t) = (t, t2 , t3 ) e f (x, y) = (xey , cos(xy)). ~ : X ⊂ R2 → R2 ou F ~ : X ⊂ R3 → R3 ser˜ao chamadas de campos vetoriais. Fun¸c˜oes Fun¸c˜oes da forma F vetoriais de uma vari´avel ser˜ao nosso objeto de estudo no primeiro Cap´ıtulo, e ser˜ao representadas por ~r, ~α, ~γ , etc. Seja ~r(t) = (x(t), y(t), z (t)) uma fun¸c˜ao vetorial em R3 (em R2 seria an´alogo). As fun¸c˜oes reais x(t), y(t) e z(t) s˜ao chamadas de componentes de ~r. J´a sabemos calcular limites das fun¸c˜oes componentes, j´a que s˜ao fun¸c˜oes como as que estudamos em C´alculo 1. Nada mais natural, ent˜ao, que definir lim ~r(t) = t→a



 lim x(t), lim y(t), lim z(t) ,

t→a

t→a

t→a

(1.1.1)

desde que os limites dos componentes existam. Diremos que ~r ´e cont´ınua em t = a quando lim ~r(t) = ~r(a). ta

(1.1.2)

Se dissermos que ~r ´e cont´ınua, sem especificar onde, ent˜ao ~r ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio. Comparando (1.1.1) e (1.1.2), ´e claro que ~r ´e cont´ınua em t = a se, e somente se, x(t), y(t) e z(t) forem cont´ınuas em t = a. Todas as regras operacionais de limites valem para fun¸c˜oes vetoriais: • limite da soma = soma dos limites; • limite da multiplica¸c˜ao por uma constante = produto da constante pelo limite; • limite do produto escalar = produto escalar dos limites; • limite do produto vetorial = produto vetorial dos limites. 1

´ VETORIAL DE CURVAS CAP´ITULO 1. CALCULO

2

1.2

Curvas Parametrizadas

Defini¸ca ˜o 1.2.1. Uma curva ´e a imagem de uma fun¸c˜ao vetorial cont´ınua de uma vari´avel ~r(t), que ´e chamada de uma parametriza¸c˜ ao da curva. Exemplo 1.2.1. Parametrize o segmento de reta AB, percorrido de A = (1, 0, −1) a B = (3, −4, 2). −−→ Solu¸ca ˜o. Usamos o vetor diretor ~v = AB = (2, −4, 3) na equa¸c˜ao vetorial −−→ ~r(t) = A + t AB, com 0 ≤ t ≤ 1. Logo, ~r(t) = =

(1, 0, −1) + t(2, −4, 3)

(1 + 2t, −4t, −1 + 3t), 0 ≤ t ≤ 1.

Exemplo 1.2.2. Obtenha uma parametriza¸c˜ao para a curva γ que em coordenadas polares ´e dada por r = 1. Solu¸ca ˜o. Sabemos que para passar de coordenadas polares para retangulares fazemos  x = r cos θ y = r senθ

(1.2.1)

Como r = 1, fazendo θ = t obtemos x(t) = cos t e y(t) = sent. Logo, ~r(t) = (cos t, sent), 0 ≤ t ≤ 2π.

A curva do exemplo acima ´e uma circunferˆencia de raio 1. Em geral, uma circunferˆencia de raio R tem parametriza¸c˜ao ~r(t) = (R cos t, R sent), 0 ≤ t ≤ 2π.

(1.2.2)

Exemplo 1.2.3. Identifique a curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) = (cos(2t), sen(2t)), 0 ≤ t ≤ 2π.

Solu¸ca ˜o. Fazendo 2t = θ, vemos que a curva tamb´em ´e representada por ~r(t) = (cos θ, senθ), logo ´e uma circunferˆencia, mas 0 ≤ θ ≤ 4π, portanto s˜ao dadas duas voltas! Os exemplos acima ilustram a diferen¸ca entre uma curva e uma curva parametrizada: a curva ´e apenas o conjunto dos pontos, enquanto a ordem e a quantidade de vezes com que esses pontos s˜ao percorridos tamb´em s˜ao levadas em conta na parametriza¸c˜ao. Defini¸ca ˜o 1.2.2. Dizemos que uma curva C, de parametriza¸c˜ao ~r(t), a ≤ t ≤ b, ´e simples se ela n˜ao se auto-intersecta em pontos intermedi´arios t1 e t2 , isto ´e, se ~r(t1 ) 6= ~r(t2 ) para todos t1 , t2 ∈ (a, b). A ´unica exce¸c˜ao permitida ´e termos ~r(a) = ~r(b), quando dizemos que a curva ´e fechada. Observe a Figura 1.2.1. Exemplo 1.2.4. Mostre que a curva parametrizada ~γ (t) = ( sent, sent cos t), 0 ≤ t ≤ π, ´e fechada e simples.

Solu¸ca ˜o. Para mostrar que ´e fechada, basta ver que ~γ (0) = ~γ (π). De fato, temos ~γ (0) = (0, 0) = ~γ (π), logo γ ´e fechada. Para vermos que ´e simples, devemos mostrar que ~γ (t) ´e injetiva em (0, π). Se ~γ (t1 ) = ~γ (t2 ), com t1 , t2 ∈ (0, π), temos  sent1 = sent2 sent1 cos t1 = sent2 cos t2

Como sent 6= 0 nesse intervalo, segue que cos t1 = cos t2 , e portanto tan t1 = tan t2 . Como a fun¸c˜ao tan x ´e injetiva em (0, π), conclu´ımos que t1 = t2 e que γ ´e simples.

3

1.2. CURVAS PARAMETRIZADAS

Figura 1.2.1: Tipos de Curvas Defini¸ca ˜o 1.2.3. Definimos a derivada de uma fun¸c˜ao vetorial ~r(t) como o limite ~r′ (a) = lim ~r(t) − ~r(a) . t→a t−a Se ~r(t) = (x(t), y(t), z (t)), ent˜ao segue de (1.1.1) que ~r′ (t) = (x′ (t), y′ (t), z ′ (t)).

(1.2.3)

(1.2.4)

Note que um vetor tangente `a curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) em t = a ´e r~′ (a). Exemplo 1.2.5. Encontre uma parametriza¸c˜ao para a curva γ dada em coordenadas polares por r = 1+cos θ , 0 ≤ θ ≤ π, e ache a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva num ponto P ∈ γ cuja distˆancia at´e a origem vale 3/2. Solu¸ca ˜o. Temos x = r cos θ = (1 +cos θ) cos θ e y = (1+ cos θ) senθ. Ponha θ = t, ent˜ao uma parametriza¸c˜ao ´e ~γ (t) = (cos t + cos2 t, sent + sent cos t), 0 ≤ t ≤ π. Agora vamos encontrar o ponto desejado. A distˆancia dele `a origem corresponde ao r das coordenadas polares. Logo, π 1 3 = 1 + cos t ⇒ cos t = e t ∈ [0, π] ⇒ t = . 2 2 3 √ Temos P = ~γ (π/3) = (3/4, 3 3/4) . Temos ainda que γ~′ (t) = (− sent − 2 cos t sent, cos t + cos2 t − sen2 t). √ Substituindo, vamos obter γ~′ (π/3) = (− 3, 0) . Assim, as equa¸c˜oes param´etricas da reta tangente s˜ao (

x = y =

3 − 4√ 3 3 4

√ 3t

Exemplo 1.2.6. Parametrize a curva obtida pela interse¸c˜ao do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano y + z = 2. Solu¸ca ˜o. Podemos resolver x(t) e y(t) pela equa¸c˜ao do cilindro, fazendo x = cos t e y = sent, j´a que seus pontos sempre pertencem a uma circunferˆencia de raio 1. Como y + z = 2, obtemos z = 2 − y = 2 − sent. Logo, a parametriza¸c˜ao ´e dada por ~r(t) = (cos t, sent, 2 − sent), 0 ≤ t ≤ 2π.

´ VETORIAL DE CURVAS CAP´ITULO 1. CALCULO

4

Exemplo 1.2.7. Parametrize a interse¸c˜ao da esfera x2 + y2 + z 2 = 1 com o plano x + y = 0. Solu¸ca ˜o. Como y = −x, podemos substituir na equa¸c˜ao da esfera para obter x2 + (−x)2 + z 2 = 1, ou seja, 2 2x + z 2 = 1, que representa um cilindro el´ıptico. Podemos parametrizar a elipse x2 y 2 + 2 =1 b a2 como se fosse uma “circunferˆencia de raios distintos” correspondendo aos semi-eixos a e b:  x = a cos t , y = b sent com 0 ≤ t ≤ 2π. Como a elipse tem equa¸c˜ao x2 z2 √ + 2 = 1, 2 1 (1/ 2) temos x =

√1 2

cos t, z = sent e y = −x = − √12 cos t. Logo, a parametriza¸c˜ao da curva ´e ~r(t) =

1.3



 1 1 √ cos t, − √ cos t, sent , 0 ≤ t ≤ 2π. 2 2

Comprimento de Curvas

Seja C uma curva plana lisa de parametriza¸c˜ao ~r(t), a ≤ t ≤ b. Isso significa que r~′ ´e cont´ınua e que ~r′ (t) 6= (0, 0) para todo t. Na pr´atica, isso significa que a curva n˜ao possui “bicos”. Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos [ti−1 , ti ], com a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b. Cada ti fornece um ponto Pi = ~r(ti ) sobre a curva. Chamaremos de ∆si o comprimento do segmento Pi−1 Pi .

Figura 1.3.1: Comprimento de curvas Podemos aproximar o comprimento da curva por meio da soma dos comprimentos dos segmentos Pi−1 Pi , de modo que o comprimento do arco S ´e tal que S = lim

n→∞

n X i=1

∆si =

Z

a

b

ds.

(1.3.1)

5

1.3. COMPRIMENTO DE CURVAS Pela Figura 1.3.1, vemos que ds = ds = dt

p

p

s

dx2 + dy2 = dt

dx2 + dy2 , pelo Teorema de Pit´agoras, logo



dx dt

2

+



dy dt

2

p

=

Assim, definimos o elemento de comprimento de arco

(x′ (t))2 + (y′ (t))2 = || r~′ (t)||.

ds = ||r~′ (t)||dt

(1.3.2)

e o comprimento de arco de C: ~r(t), a ≤ t ≤ b, como S=

Z

b a

||r~′ (t)||dt.

(1.3.3)

Exemplo 1.3.1. Calcule o comprimento de arco da h´elice circular de parametriza¸c˜ao ~r(t) = (cos t, sent, t) do ponto (1, 0, 0) at´e o ponto (1, 0, 2π ). Solu¸ca ˜o. Observe que t ∈ [0, 2π] e que r~′ (t) = (− sent, cos t, 1). Logo, p √ ||r~′ (t)|| = (− sent)2 + (cos t)2 + 1 = 2.

Pela f´ormula (1.3.3), temos

S=

Z

0

2π

|| ~r′ (t)||dt =

Z

2π √

√ 2dt = 2 2π .

0

Exemplo 1.3.2. Calcule o comprimento da curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) = (1, t2 , t3 ), 0 ≤ t ≤ 1. Solu¸ca ˜o. Temos ~r′ (t) = (0, 2t, 3t2 ), logo p p p ||r~′ (t)|| = 4t2 + 9t4 = t2 (4 + 9t2 ) = t 4 + 9t2 , pois t ∈ [0, 1]. Pela f´ormula (1.3.3), temos Z 1 Z 1 p S= ||r~′ (t)||dt = t 4 + 9t2 dt. 0

0

2

Mude a vari´avel para u = 4 + 9t , de modo que du = 18tdt, e ent˜ao S=

1 18

Z

4

13

 √ 1 2 3/2  13 133/2 − 8 1  3/2 . u  = udu = 13 − 43/2 ⇒ 27 4 27 18 3

√ Exemplo 1.3.3. Calcule o comprimento da curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) = ( 2t, et , e−t ), 0 ≤ t ≤ 1. √ Solu¸ca ˜o. Temos ~r′ (t) = ( 2, et , −e−t ), portanto q p p √ 2 ′ ~ 2 + (et )2 + (−e−t )2 = (et )2 + 2et e−t + (e−t )2 = (et + e−t )2 = et + e−t . ||r (t)|| = Da´ı, pela f´ormula (1.3.3) temos

S=

Z

1 0

(et + e−t )dt = (et − e−t )01 = e −

1 . e

´ VETORIAL DE CURVAS CAP´ITULO 1. CALCULO

6

Exemplo 1.3.4. Calcule o comprimento da curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) = (12t, 8t3/2 , 3t2 ), 0 ≤ t ≤ 1.

Solu¸ca ˜o. Temos ~r′ (t) = (12, 12t1/2 , 6t), logo p p || r~′ (t)|| = 144 + 144t + 36t2 = (12 + 6t)2 = 12 + 6t,

pois 0 ≤ t ≤ 1, portanto 12 + 6t > 0. Assim, pela f´ormula (1.3.3), temos Z 1 (12 + 6t)dt = (12t + 3t2 )10 = 15 . S= 0

1.3.1

Reparametriza¸ca ˜o pelo comprimento de arco

Observe que o comprimento de arco n˜ao depende da parametriza¸c˜ao escolhida para C. De fato, isso ´e uma consequˆencia do Teorema de Mudan¸ca de Vari´aveis para integrais, e ´e uma propriedade esperada, j´a que o comprimento de arco ´e uma propriedade da curva, e n˜ao da parametriza¸c˜ao. Mesmo que o sentido da parametriza¸c˜ao seja invertido, ainda assim o comprimento de arco ´e preservado. Definimos a fun¸c˜ ao comprimento de arco de uma curva lisa com parametriza¸c˜ao ~r(t), a ≤ t ≤ b, como s(t) =

Z

t a

||r~′ (t)||dt,

(1.3.4)

ou seja, o comprimento da curva entre os pontos ~r(a) e ~r(t). Frequentemente ´e u ´til parametrizar a curva em rela¸c˜ao ao comprimento de arco, pois este ´e uma propriedade natural da curva e n˜ao depende do sistema de coordenadas utilizado, como vimos acima. O procedimento usado para fazer isso est´a ilustrado nos exemplos a seguir: Exemplo 1.3.5. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva ~r(t) = (2t, 1 − 3t, 5 + 4t) a partir de t = 0 na dire¸c˜ao crescente de t. √ Solu¸ c˜ ao. Temos ~r′ (t) = (2, −3, 4), logo || r~′ (t)|| = 29. Da´ı, Z t √ √ s(t) = 29dt = 29t. 0

Logo,

s t=√ . 29 Agora substitu´ımos na parametriza¸c˜ao original para obter   2s 3s 4s . ~r(t(s)) = √ , 1 − √ , 5 + √ 29 29 29

Exemplo 1.3.6. Reparametrize pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t = 0 na dire¸c˜ao crescente de t a curva de parametriza¸c˜ao ~r(t) = (e2t cos(2t), 2, e2t sen(2t)). Solu¸ c˜ ao. Temos ~r′ (t) = (2e2t cos(2t) − 2e2t sen(2t), 0, 2e2t sen(2t) + 2e2t cos(2t)), logo ||r~′ (t)|| = = = =

r

h

r

i2 h i2 2e2t (cos(2t) − sen(2t)) + 2e2t ( sen(2t) + cos(2t))

i h 4e4t (cos(2t) − sen(2t))2 + ( sen(2t) + cos(2t))2 p 2e2t cos2 (2t) − 2 cos(2t) sen(2t) + sen2 (2t) + sen2 (2t) + 2 cos(2t) sen(2t) + cos2 (2t) √ 2e2t 2

7

1.3. COMPRIMENTO DE CURVAS Com isso, s(t) = Dessa forma, podemos escrever

Z

t

√ √ √ 2 2eu du = 2eu |t0 = 2(et − 1).

0

    1 s s s √ + 1 = e2t ⇒ 2t = ln 1 + √ ⇒ t = ln 1 + √ . 2 2 2 2 Substituindo na parametriza¸c˜ao original, obtemos a reparametriza¸c˜ao pelo comprimento de arco ~r(t(s)) =

 !         s s s s √ √ √ cos ln 1 + √ sen ln 1 + . , 2, 1 + 1+ 2 2 2 2

Note que se o parˆametro t j´a for o comprimento de arco a partir de t = a, ent˜ao || ~r′ (t)|| =

ds = 1, dt

j´a que nesse caso s = t − a. Reciprocamente, se ||~r′ (t)|| = 1, ent˜ao s=

Z

t

a

|| ~r′ (u)||du =

Z

t a

du = t − a

e t ´e o comprimento de arco a partir de t = a. Com isso, provamos a Proposi¸ca ˜o 1.3.1. Uma curva de parametriza¸c˜ ao ~r(t), a ≤ t ≤ b, est´ a parametrizada pelo comprimento de arco se, e somente se, || ~r′ (t)|| = 1.   Exemplo 1.3.7. Considere a curva C de parametriza¸c˜ao ~r(t) = sent−t cos t, cos t+t sent, 12 t2 , com t ≥ 0. (a) A curva est´a parametrizada pelo comprimento de arco?

(b) Determine a fun¸c˜ao comprimento de arco a partir do ponto P = (0, 1, 0) no sentido de t crescente. (c) Ache as coordenadas de um ponto Q da curva cuja distˆancia, sobre a curva, ao ponto P ´e

π2 √ . 2

Solu¸ c˜ ao. Temos ~r′ (t) = (t sent, t cos t, t), logo p √ √ || r~′ (t)|| = t2 sen2 t + t2 cos2 t + t2 = 2t2 = t 2,

logo a curva n˜ao est´a parametrizada pelo comprimento de arco. Al´em disso, podemos ver que P = (0, 1, 0) = ~r(0), logo a fun¸c˜ao comprimento de arco a partir do ponto P ´e s(t) =

Z

t 0

√  √ √ u2  t t2 2 u 2du = 2  = . 2 2 0

Finalmente, se a distˆ ancia do ponto Q = ~r(t) ao ponto P sobre a curva vale √   π2 π2 t2 2 = √ ⇒ t = π ⇒ Q = ~r(π) = π, −1, . 2 2 2

π2 √ , 2

ent˜ao s(t) =

π2 √ . 2

Da´ı,

´ VETORIAL DE CURVAS CAP´ITULO 1. CALCULO

8

1.4

Integral de Linha de fun¸c˜ oes reais

Em C´alculo 1, aprendemos a calcular integrais de fun¸c˜oes reais sobre intervalos fechados [a, b]. Nesta se¸c˜ao estudaremos uma integral mais geral, que nos permitir´a integrar sobre uma curva C . Suponha que C seja lisa, com parametriza¸c˜ao ~r(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Seja f uma fun¸c˜ao real de duas vari´aveis cujo dom´ınio cont´em a curva C. Sabemos que o gr´afico de z = f (x, y) ´e uma superf´ıcie. Vejamos como podemos calcular a ´area A da faixa vertical que tem base na curva e est´a abaixo da superf´ıcie, conforme a Figura 1.4.1.

Figura 1.4.1: Constru¸c˜ao da Integral de Linha Assim como na se¸c˜ao anterior, vamos dividir o interval...