Campos Electromagn ticos PDF

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Apuntes de curso de electrostática y magnetostatica....

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´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo

Periodo de inicio 2020-2

Campos Electromagn´eticos Enr´ıquez Varela Josu´e Alejandro Fecha :19.03.2021

1 V ECTORES direcci´on Magnitud sentido A~ = axˆi + ayˆj + azkˆ p A = ax2 + ay 2 + az 2 √ A = ax2 = ax p A = ax2 + ay 2 p A = a12 + a22 + a32 + ... + an2 I.

Sentido negativo A = −ax2 − ay 2 − az 2

I-E. 1-5 Vector de posiscion ´ ~r = (rx, ry, rz) dasProgram08112020 (0,0,5) 5

4

3

Eje z

Palabras clave—Campos, cargas, corrientes,

2

(100,30,3)

1

I-A. 1-1 Definici´ on de un vector 0 0

I-B. 1-2 Adici´on ~ = axˆi + ayˆj + azkˆ A

10 20

Eje y

~ = bxˆi + byjˆ + bz ˆk B z C = A + B = (ax + bx)ˆi + (ay + by)ˆj + (az + bz)ˆ

30

100

40

60

80

20

0

Eje x

Figura 1. Caption

I-C. 1-3 Vectores unitarios Magnitud igual 1 ~ = axˆi A ˆi = A~ = A~ = √axˆi+ayˆj+azkˆ Ejmplo ax A 2 2 2

I-F. 1-6 Producto escalar

ax +ay +az

Vectores 17-Nov-2020

Z~ = 3ˆi + 5jˆ + 8kˆ B

Sol: Magnitud: Z=

p

32 + 52 + 82 =

√ 98 = 9,89

3ˆi + 5ˆj + 8kˆ 5jˆ 3ˆi 8ˆk √ Zˆ = =√ +√ +√ 98 98 98 98 I-D. 1-4 Componentes ~ = (ax, ay, az) A ax,ay,az escalres ax=6 ay=1 az=3 A, B , C ˆ = 3ˆi + 6jˆ + kˆ C = (azˆi + axˆj + ayk)

A

Figura 2. Caption

~ = (ax, ay, az) B ~ = (bx, by, bz) A ~ = A · BC os(θ) ~·B A

(1) 1

´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo Vectores 17-Nov-2020

Eje z

Eje z

= (ax, az, az) × (bx, bz, bz ) ˆ = (0 + ax ∗ by ˆk + ax ∗ bz(−j))

1

0

-1 -0.02

-1 0

0

0.02 1

Eje y

-0.02 0

0.5

Eje y

Eje x

Vectores 17-Nov-2020

1 0.02

1

Eje z

1

0 -0.02

-0.02 0

B 0

0 0.02 0.02

ˆ i ax bx

0.5 0 0 0.5

Eje x

Eje y

0.5 1 1

ay az by bz Tabla II C APT ION

Conmutativo producto entre paralelos igual con 1 ˆ i · ˆi = 1 ˆj · jˆ = 1

(2)

ˆ ˆ=1 k·k Vectores que son perpendiculares igual con 0 ˆi · ˆj = 0 ˆ j · jˆ = 1

(3)

ˆ=1 ˆk · k = (ax ∗ bx + 0 + 0) + (0 + ay ∗ by + 0)+

(4)

= ax ∗ bx + ay ∗ by + az ∗ bz

ax az bx bz Tabla III C APT ION

(13)

ax ay bx by Tabla IV C APT ION

ˆ (ax ∗ by − ay ∗ bx)k (6) (7)

~ B, ~ C ~ A,

~ = A ∗ BSenθ |A~ × B|

(8)

~ × C) ~ = (A ~ × B) ~ ·C ~ A~ · ( B

Direcci`on: Regla de la mano derecha: producto entre paralelos igual con 0

(14)

Ejercicio 1) Triple producto escalar

~=C ~ B~ × A

ˆi × ˆj = kˆ ˆi × ˆk = 1 ∗ −j ˆ = −j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j ×k = 1∗ i = i

(12)

(5)

I-G. 1-7 Producto vectorial ~ =C ~ A~ × B

(ay ∗ bz − az ∗ by)ˆi

−(ax ∗ bz − az ∗ bx)jˆ = (az ∗ bx − ax ∗ bz)jˆ

~ ·B ~ = (ax, ay, az) · (bx, by, bz) A

~·B ~ =B ~ ·A ~ A

ˆ ˆ j k ay az by bz Tabla I C APT ION

Eje x

Figura 3. Caption

(0 + 0 + az ∗ bz )

(11)

= (ay ∗ bz − az ∗ by)ˆi + (az ∗ bx − ax ∗ bz)ˆj ˆ + (ax ∗ by − ay ∗ bx)k

Eje x

Vectores 17-Nov-2020

0.5

Eje y

ˆ + 0 + ay ∗ bzˆi) + (ay ∗ bx( −k) ˆ + 0) + (az ∗ bxˆj + az ∗ by−i

0

0.5

0

Eje z

~ = ~ ×B A

Vectores 17-Nov-2020

1

Periodo de inicio 2020-2

(15)

2) Triple producto vectorial ~ B, ~ C ~ A, (9)

~ × (B ~ × C) ~ = B( ~ A ~ · C) ~ − C( ~ A ~ · B) ~ A ~ × B) ~ × C~ (A

(16)

Vectores que son perpendiculares igual con 1 ˆi × ˆj = 1 jˆ × jˆ = 1

ˆ=1 ˆk × k

I-H. 1-8 Derivaci´on con respecto a un escalar (10)

~ + ∆) ~ A(σ dA~ ∆A = l´ım = l´ım ∆σ→0 dσ ∆σ→0 ∆σ

(17) 2

´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo

I-I. 1-9 Gradiente de un escalar

Rotacional

u=(x,y,z)

▽=

▽

u=x+ ▽

Periodo de inicio 2020-2

1 2 y 2

∂u ˆ ∂u ∂u ˆi + jˆ + ▽u = k ∂z ∂y ∂x du = d~s · ▽u ∂u ˆ ∂u ∂u ˆi + jˆ + ▽u = k ∂z ∂y ∂x

∂x + 12 y 2 ˆ ∂x + 12 y 2 ˆ ∂x + 12 y 2 ˆ k j+ i+ ▽u = ∂y ∂x ∂z

∂ ˆ ∂ ∂ ˆi + jˆ + k ∂z ∂y ∂x

(28)

(18)

~ = (Ax, Ay , Az ) A

(29)

(19)

~= ▽×A

(30)

(20)

ˆ i

ˆ j

ˆ k

∂ ∂x Ax

∂ ∂y Ay

Az

∂ ∂z

Tabla V ROTACIONAL CA RTE SIA NA S

(21)

▽u = (1 + 0)ˆi + (0 + y)ˆj + 0kˆ

(22)

laplaciano

▽u = ˆi + yjˆ

(23)

∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 (31) 2 ∂x ∂y ∂z     ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ˆ ∂ ˆ j+ j+ i+ i+ k k · ▽·▽= ∂y ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z 2 2 2 ∂ ∂ ∂ + + ▽2 = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (32) ▽2 = ▽ · ▽ =

u(x, y, z) ▽2 u =

∂2u ∂2u ∂2u + + ∂y 2 ∂z 2 ∂x2

(33)

Ejemplo:

1 u(x, y, z) = x + y 2 + z 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ u ▽2 u = + + ∂z 2 ∂x2 ∂y 2 1 2 2 ∂ (x + 2 y + z) ∂ 2 (x + 12 y 2 + z) ▽2 u = + ∂y 2 ∂x2 1 y 2 + z) 2 ∂ (x + 2 + ∂z 2 2 ∂ (x + 12 y 2 + z) ∂ 2 (x + 12 y 2 + z) = + ∂y 2 ∂x2 =0+1+0=1

on 1-9 Figura 4. Superficies de u constante para el ejemplo de la secci´

I-I1. Ejemplo: I-J. 1-10 Otras operaciones diferenciales

Funci´on vectorial:

Divergencia ▽=

∂ ˆ ∂ ∂ ˆ i + jˆ + k ∂y ∂x ∂z

~ = (Ax, Ay , Az ) A ∂Ax ∂Az ∂Ay + + ∂z ∂y ∂x 1 ~ = (5x, 7y, z) A 2 1 ▽ · A~ = 6 + 7 + = 13,5 2 ~ = (−5x, −7y, 1 z) B 2 1 ▽ · A~ = 6 + 7 + = −12,5 2

~(x, y, z) = (Ax, Ay , Az ) A

(24) (25)

~= ▽·A

(26)

▽2 Ax =

∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax + + 2 ∂y 2 ∂x ∂z 2

(34)

▽2 Ay =

∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay + + 2 ∂y 2 ∂x ∂z 2

(35)

▽2 Az =

∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az + + ∂y 2 ∂x2 ∂z 2

(36)

Rotacional gradiente ▽ × ▽u = 0

(27) Ejemplo:

(37)

1 u(x, y, z) = x + y 2 + z 2 3

´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo

Periodo de inicio 2020-2

I

Sol: Primero calculamos el gradiente

C

∂uˆ ∂u ˆ ∂u ˆ j+ i+ k ∂y ∂x ∂z = iˆ+ y ˆj + kˆ

▽u =

~ · d~s A

Puede o no ser igual con 0.

Vector de posici´on: Calcular el rotacional   ˆj ˆi kˆ d~r = dxˆi + dyjˆ + dz ˆk  ∂ ∂ ∂  ˆ ˆ ˆ ▽ × ▽u =  ∂x ∂y ∂z  = (0 − 0)i + (0 − 0) j + (0 − 0) k = 0  Z Z ˆi yˆj kˆ (Axdx + Ay dy + Az dz) A~ · d~s = ~ =0 ▽ · (▽ × A)

(38)

Ejemplo: ~ = Axˆi + Ay ˆj + Az ˆk A = xy 2ˆi + zy ˆj + zx2kˆ Sol: Calculamos el rotacional    ˆ ˆj kˆ   ∂i ∂ ∂  ~= ▽×A  ∂x ∂y ∂z   xy 2 zy zx2 = (0 − y)ˆi + (0 − 2xz)ˆj + (0 − 2xy)ˆk

~ = x2ˆi+y 2jˆ +z 2 ˆk y esc´ojase como I-K1. Ejemplo: Sea A abola y 2 = x en (0,0,0) y el trayectoria aquella parte de la par´ √ el punto (2, 2, 0). Sol: Esta curva es exactamente la par¨ uabola ilustrda como u2 = 0 en la figura 4. Aqu´ı z=const., de manera que dz=0 y el integrando de (/41) resulta simplemente Axdx + Ay dy = x2 dx + y 2 dy uon de una sola variable por Se puede escribir estro en funci¨ uon de la curva. medio de la ecuaci¨ Dado que: y2 = x 2ydy = dx dx dy = 2y dx dy = √ 2 x

= −yiˆ− 2xz ˆj − 2xykˆ

Calculando la divergancia: ~ = ∂(−y) + ∂(−2xz ) + ∂(−2xy ) ▽ · (▽ × A) ∂z ∂y ∂x =0+0+0=0 I-K. 1-11 Integral de l´ınea Z Z Z f ~ · d~s Acosθds = Acosθds = A i

C

(41)

C

C

Divergencia de un rotacional

(40)

Z

(39)

C

x2 dx + y 2 dy =

ZC

Z 1√ 1 x2 dx + x √ dx = x2 + xdx 2 x 2     1 3 1 1 3 1 3 2 = x3 + x 2 = (2) + (2) 2 = 3 3 3 3 0 √  2 = 4 + 2 = 3,6094 3 =

√ ! 8 8 + 3 3

I-L. 1-12 Elemento vectorial de una superficie d~a = daˆ n

(42)

d~a = daxˆi + day ˆj + dazkˆ

(43)

I-L1. Ejemplo: Plano x,y direcci´ on z + ¿elemento superficie? d~x × d~y = dz zˆ = d~z Figura 5. Relaci´on para el c´alculo de una integral de ınea l´

Ejemplos de integral de l´ ınea es el trabajo. Siendo A~ la fuerza sobre la part´ıcula.

I-M. 1-13 Integral de superficie Z Z ~ · d~a A Acosθda = S

(44)

S

4

´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo

Periodo de inicio 2020-2

on: Limites de integraci´ x=[0-a] √ y = [0 − a2 − x2 ] Z a Z √a2 −x2 0

xydxdy

0

Planos 1. xy direcci´ on ˆkElementodesuperf icied~z ˆ elementodesuperf icie − d~y 2. xz direcci´on −j 3. yz direcci´on ˆielemntodesuperf icied~x 4. circunfernecias 5. esferas 6. cilindros

Figura 6. Relaci´on para el c´alculo de una integral de superficie

I

S

Z

S

~ · d~a = A

Z

A~ · d~a

I-N. 1-14 Teorema de la divergencia erese un volumen, V, encerrado por una superficie, Consid´ S. El teorema de la divergencia de Gauss dice que I Z ~ ~ · d~a = (45) ▽ · Adτ A S

(Axdax + Ay day + Az daz )

S

I-M1. Ejemplo: A~ = yzˆi + zxˆj + xykˆ S=cirucnferencia de radio a en el primer cuadrate.

V

1 ∆V →0 ∆V

~ = l´ım ▽·A

I

S

A~ · d~a

~ ~ = ▽(▽ · A) ~ − ▽2 A ▽ × (▽ × A)

(46) (47)

˜ 1-15 Teorema de Stokes I-N. ~ ·n (▽ × A) ˆ = l´ım

∆a→0

1 ∆a

I

C

~ · d~s A

(48)

I-O. 1-16 Coordenadas cilindricas ~r = (ρ, φ, z)

(49)

´ Figura 7. Area de integraci´ on para el ejemplo de la secci´on 1-13

Sol:

Z

A~ · d~a

Ecuaci´on de la sircunferencia x2 + y 2 = a2 d~a = daxˆi + day ˆj + dazkˆ dax =0ˆi = 0 day =0jˆ = 0 daz =dxdykˆ

Figura 8. Coordenadas cil´ındricas

5

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De cartesianas a cilindricas p ρ = x2 + y 2 y tan(φ) = x De cilindricas a cartesinas

*Tarea:

(51)

(52)

y = ρsenφ

(53)

Relaciones de productos de los vectores unitarios:

= ρˆ · zˆ = 0 ˆ · zˆ = 0 =φ

(54)

Calculando los productos cruz ~ =C ~ A~ × B

= ρˆ × zˆ = −φ = φˆ × zˆ =

(57)

ˆk = zˆ ~ = Aρ ρˆ + Aφφˆ + Az zˆ A

(58)

diferencial de d~r d~r = dρˆ ρ + ρdφφˆ + dz zˆ ~ = 1 ∂ (ρAρ ) + 1 ∂Aφ + ∂Az ▽·A ∂z ρ ∂φ ρ ∂ρ     ∂A ∂A 1 ∂Az ∂A z ρ φ ˆ ~ +φ ▽ × A = ρˆ − − ∂ρ ∂z ρ ∂ρ ∂z   1 ∂Aρ 1 ∂ (ρAφ ) − + zˆ ρ ∂φ ρ ∂ρ I-P. 1-** Otras identidades vectoriales     ~ 1 Rˆ R 1 ▽ =− 2 =− 3 = −▽′ R R R R

C = ABsenθ ˆ = zˆ × zˆ = 0 ρˆ × ρˆ = φˆ × φ ˆ = zˆ ρˆ × φ

ˆi = cosφˆ ρ − sen(φ)φˆ ˆj = senφˆ ρ + cos(φ)φˆ

(50)

x = ρcosφ

ˆ · φˆ = zˆ · zˆ = 1 ρˆ · ρˆ = φ ρˆ · φˆ = 0

Periodo de inicio 2020-2

(59) (60)

(61)

(62)

II. 2 L EY DE C OULOM B II-A. 2-2 Ley de Coulomb (55)

ρˆ φˆ zˆ 1 0 0 0 1 0 Tabla VI C APT ION

ρˆ φˆ zˆ 1 0 0 0 0 1 Tabla VII C APT ION

Tipos de cargas en el universo: ´ (+) (-) Unidades: q=[Coulombs] Ejemplo: (+): Protenes (-): Electrones Carga: e= (neutra): Neutron Lez de acciuon ¨ de cargas: Cargas iguales: repulsi´on. Cargas diferentes: atracci´ on. Constantes: Carga elemental: e = 1,6 × 10− 19C masa del electron: me = 9,116 × 10− 31kg

ρˆ φˆ zˆ 0 1 0 0 0 1 Tabla VIII C APT ION

1 0 0 1 Tabla IX C APT ION

= (1 − 0)ˆ ρ = ρˆ ρˆ = cosφˆi + senφˆj φˆ = −senφˆi + cosφjˆ zˆ = kˆ

(56) Figura 9. Vectores de posicvi´on de la ley de Coulomb

6

´ PROYECTO DE INVESTIGACI ON ´ NICA PROGRAMA DE INGENIER´IA BI O Electromagnetismo

~ = ~r − r~′ R

R = |~r − r~′ |

~ ˆ R R? R

′ ˆ ~ q ′ →q ∼ q qR F R2

F~q ′ →q 1 k= 4πǫ0

ˆ q ′ qR =k 2 R

′ ˆ R ~Fq ′ →q = q q 4πǫ0 R2

F =

q′q 4πǫ0 R2

Periodo de inicio 2020-2

~i R Rˆi = Ri

(63) (64)

Ri = =

q

p

Rx2 + R2y + R2z

(x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2

(65)

(66)

~q = F

~q = F

(67)

F: Fuerza que sientes las cargas [N ] q’y q: cargas [Coulomb] [C] C2 ǫ0 [ Nm 2] R Distancia de sepraci´on entre q y q’[m] 1. (+)(+)&(-)(-)=F+ Repulsi´on 2. (-)(+)=F- Atraci´on Permitibidad del vacio /capacidad inductiva espec´ ıfica del vacio ǫ0 = 8,85 × 10−12 (coulomb)2 /newton − (metro)2 (68) = 8,85 × 10−12 f arad/metro

N ˆi X qqi R 4πǫ0 Ri2 i=1

(73)

N X qqi (x − xi )ˆi + (y − yi )ˆj + (z − zi )kˆ 4πǫ0 ((x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 ) 23 i=1

II-B. 2-4 Distribuciones continua de carga qq ′ Rˆ F~q = 4πǫ R2

(74)

1. elemnto de carga lineal 2. superficial 3. volumetrico

La constante ǫ0 recibe el nombre de capacidad inductiva espec´ıfica del espacio libre, y generalmente se escribe como en la ultima ´ notaci´ on; se puede observar, por comparaci´on de las dos formas de escribir ǫ0 , que ~ Fq ′ →q

~q→q ′ F~q ′ →q = −F ~ +Fq→q ′ = 0

(69)

Figura 11. Elemnetos de carga

Sistemas de cargas

dq ′ = ρ(r′ )dτ ′

(75)

dq ′ = λ(r′ )ds′ dq ′ = σ(r′ )da′

(76)

Fq = Fq =

ˆ qλ(r′ )ds′ R 4πǫ R2 0 L′ Z ′ ′ R qσ (r )da ˆ Z

4πǫ0 Z qρ(r′ )dτ ′ Fq = 4πǫ0 V′ S′

R2 ˆ R R2

(77)

Fq = Fpuntos +Flineales +Fsuperf icilaes +Fvolumetricas (78) II-B1. Ejercicios: Figura 10. ¿Sistema de cargas

~r = xˆi + y ˆj + zkˆ

(70)

r~i = xiˆi + yijˆ + zi ˆk

(71)

R~i = ~r − r~i

(72)

2-1 q1 = q ′ yq2 = −q ′ eje x r+=(a,0,0), r-=(-a,0,0) q plano xy Sol: 7

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Periodo de inicio 2020-2

-

Figura 12. Ejercicio2-1

r=(x,y,0) Fq =

n 2 X X qqi Rˆi qqi Rˆi = 2 4πǫ0 R i 4πǫ0 Ri2 i=1

i=1

Calculando los vectores distancia: ˆ −(aˆi+0ˆj +0k) ˆ = (x−a)ˆi+y ˆj R~1 = ~r−r~1 = (xˆi+yjˆ+0k)

ˆ k) ˆ k) ˆ ˆj ˆ −(−aˆi+0j+0 ˆ = (x+a)i+y R~2 = ~r−r~2 = (xˆi+yj+0 p R1 = (x − a)2 + y 2 p R2 = (x + a)2 + y 2 ~ R Rˆ1 = 1 = R1 ~2 R Rˆ1 = = R2

(x − a)iˆ + y ˆj p (x − a)2 + y 2 (x + a)iˆ + y ˆj p (x + a)2 + y 2

qq ′ 1 (x − a)ˆi + yjˆ p [ 2 4πǫ0 (x − a)2 + y (x − a)2 + y 2 1 (x + a)ˆi + yjˆ p − ] 2 (x + a)2 + y (x + a)2 + y 2 " # qq ′ (x − a)iˆ+ y ˆj (x + a)ˆi + y ˆj Fq = − 3 4πǫ0 ((x − a)2 + y 2 ) 32 ((x + a)2 + y 2 ) 2 Fq =

8

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-

Periodo de inicio 2020-2

Sustituyendo en ley experimental de Coulomb:

2-2 Cuatro cargas puntuales iguales, q’, se encuentran en los vertices de un cuadrado de lado a. El cuadrado descansa sobre el plano yz con uno de sus v´ertices en el origen y sus lados paralelos a los ejes positivos. Otra carga puntual, q, se coloca sobre el eje x a una distancia b del origen. Encontrar la fuerza total sobre q. Sol: Dibujo:

n X ˆi qqi R Fq = 4πǫ0 Ri2 i=1

Fq =

i=1

= 1= 2= 3= 4= () =

on de las cargas en los vertices de un cuadrado Figura 13. Ejemplo de ubicaci´ y una carga q sobre el eje x

on: Calculando los vectores de posici´ r~1 = (0, 0, 0)

4 X

= F~q =

qqi Rˆi 4πǫ0 R2i

qq ′ (1 + 2 + 3 + 4) 4πǫ0 ˆi Rˆ1 biˆ = = (|b|)b2 R12 (|b|)b bˆi − ajˆ Rˆ2 = 3 R22 (b2 + a2 ) 2 biˆ− aˆj − akˆ Rˆ3 = 3 2 R3 (b2 + 2a2 ) 2 biˆ− aˆk Rˆ4 = 3 2 R4 (b2 + a2 ) 2 ˆi bˆi − aˆj − akˆ bˆi − aˆk biˆ − aˆj + + + 3 3 3 (|b|)b (b2 + a2 )2 (b2 + 2a2 ) 2 (b2 + a2 ) 2 ˆi 2bˆi − ajˆ − akˆ bˆi − aˆj − akˆ + + 3 3 (|b|)b (b2 + a2 )2 (b2 + 2a2 ) 2 " # qq ′ iˆ 2bˆi − aˆj − akˆ bˆi − ajˆ − akˆ + + 3 3 4πǫ0 (|b|)b (b2 + a2 ) 2 (b2 + 2a2 ) 2

r~2 = (0, a, 0) r~3 = (0, a, a) r~4 = (0, 0, a) ~r = (b, 0, 0) Vectores distancia: ~ 1 = ~r − r~1 = (b, 0, 0) − (0, 0, 0) = (b, 0, 0) R ~ 2 = ~r − r~2 = (b, 0, 0) − (0, a, 0) = (b, −a, 0) R

~ 3 = ~r − r~3 = (b, 0, 0) − (0, a, a) = (b, −a, −a) R ~ 4 = ~r − r~4 = (b, 0, 0) − (0, 0, a) = (b, 0, −a) R

Magnitudes de los Vectores distancia: √ R1 = b2 = |b| p R2 = b2 + a2 p p R3 = b2 + a2 + a2 = b2 + 2a2 p R4 = b2 + a2

on: Vectores de direcci´

R~1 Rˆ1 = = R1 R~ Rˆ2 = 2 = R2 R~3 Rˆ3 = = R3 R~4 Rˆ4 = = R4

bˆi |b| bˆi − aˆj √ b2 + a2 ˆ b i − aˆj − akˆ √ b2 + 2a2 bˆi − aˆk √ b2 + a2 9

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Periodo de inicio 2020-2

Calculando la magnitud R~

II-C. 2-5 Carga puntual fuera de una distribuci´ on esf´erica unifomre de carga ρ = cte r=a z¿a Sol:

~R ·R~ = R ∗ Rcosα = R2 cos(0) = R2 (1) = R2 (z ˆk − r′rˆ′ ) · (z ˆk − r′rˆ′ ) = z 2 ˆk · kˆ − zr′ ˆk · rˆ′ − zr′kˆ · rˆ′ + r′2rˆ′ · rˆ′ = z 2 (1) − 2zr′kˆ · rˆ′ + r′2 (1)

R2 = z 2 − 2zr′ cosθ + r′2

1

R = (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 2

on Calcular el vector unitario o vector d direcci´ ~ zkˆ − r′ rˆ′ ˆ =R = R 1 R (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 )2 Sustituyendo en la ley experimental de Coulomb para distribuciones cobntinuas de carga qρ F~q = 4πǫ0

dτ ′Rˆ 2 V′ R Z

Z

z ˆk − r′rˆ′

1 dτ ′ 1 (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 2 z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 Z z ˆk − r′rˆ′ qρ dτ ′ = 4πǫ0 V ′ (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 23 qρ 4πǫ0

=

Figura 14. 2-6

V′

Realizando el calculo por componentes, en la direcci´ on de z ~ q · kˆ = qρ F 4πǫ0 =

Figura 15. 2-7

dq ′ = ρdτ ′ Z ρdτ ′ ˆ ~Fq = q R 4πǫ V R2 Z qρ dτ ′ ˆ ~ Fq = R 4πǫ V R2

Fqz

Calculando el vector de distancia R~ ~ = ~r − r~′ R ~ = zkˆ − r′ rˆ′ R

V′

Z

V

′

ˆ dτ ′ R ˆ ·K R2 z ˆk − r′rˆ′

3

(z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 2 z ˆk · ˆk − r′rˆ′ · kˆ

· kˆdτ ′

Z qρ dτ ′ = 4πǫ0 V ′ (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 32 Z z(1) − r′ (1)(1)cosθ ′ qρ dτ ′ = 4πǫ0 V ′ (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 32 Z z − r′ cosθ ′ qρ dτ ′ = 4πǫ0 V ′ (z 2 − 2zr′ cosθ + r′2 ) 32

el...