(CAP 9)projection - GMT-1003 PDF

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Description

Les projections Prérequis: Avoir pris connaissance des : Le Géoïde, Les ellipsoïdes terrestres, Les types de coordonnées terrestres Introduction: Les projections constituent des outils qui nous permettent de retranscrire sur un plan des éléments de l’espace. Elles peuvent être caractérisées par différents paramètres : le type de représentation, leurs propriétés géométriques, l’aspect de la représentation et au point de vue donné. Il existe beaucoup trop de projections différentes pour les présenter toutes de façon exhaustive (le lecteur est renvoyé en fin de fiche vers des ouvrages spécialisés). Néanmoins les quelques projections les plus utilisées sont détaillées dans cette fiche.

Niveau Difficile

Plan de la fiche: Généralités L’indicatrice de Tissot Classification des projections Selon le type de représentation Selon ses propriétés géométriques Selon l’aspect de la représentation Selon un point de vue donné Les projections planes représentants la terre La projection Transverse Mercator Note sur la projection Lambert Limitation des altérations dans le cas d’Universal Transverse Mercator

Généralités Le passage de la surface physique de la terre à sa figuration plane comporte deux étapes successives: Première étape : sa projection suivant les verticales sur l’ellipsoïde de référence adopté (géodésie et topographie) Deuxième étape : la transposition graphique de la surface de l’ellipsoïde sur un plan (système de projection).

Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Projection-Carto-D

Réalité (planète terre)

Première étape

De la terre…

Géodésie

Approximation mathématique (ellipsoïde)

Deuxième étape A la carte… Projections cartographiques

Carte

Cartographie

Source : « Base de la référence spatiale et modes de représentation des données », Yvan Bédard, Centre de recherche en Géomatique, Université Laval, Québec, Canada.

Le terme projection a communément un sens géométrique. Il évoque l’idée de perspective qui s’applique à un certain nombre de systèmes mais ne recouvre pas la totalité des acceptations possibles. Dans le sens le plus général, il s’agit d’un moyen de correspondance analytique entre les points de la surface à représenter (ellipsoïde terrestre) et les points homologues du plan. Cette correspondance doit être continue et biunivoque. En d’autres termes si un point est défini sur l’ellipsoïde par ses coordonnées géographiques λ et φ (longitude et latitude) et sur le plan par ses coordonnées rectangulaires x et y, il existe une infinité de relations de la forme : x = f (L, M) y = g (L, M) f et g étant des fonctions définies et continues qui caractérisent chaque système de projection. Il en résulte que le nombre de projections possibles est pratiquement illimité. De plus l’utilisation d’un système de projection cartographique occasionne une distorsion de l’échelle cartographique, celle-ci est exprimée par le facteur d’échelle. Il est possible de classer toute représentation plane suivant trois critères : • le type de la représentation, qui donne la qualité géométrique de celle-ci • le type de canevas, c'est à dire la représentation des méridiens et des parallèles sur le plan • l'aspect de la représentation (direct, transverse ou oblique), qui donne l'orientation de la surface de projection par rapport à l'ellipsoïde. Pour simplifier notre exposé et le limiter à ses aspects cartographiques, négligeons les notions théoriques (géodésie, vu dans les cours appropriés) et considérons la terre comme une sphère. Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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L’indicatrice de Tissot Il est impossible de développer rigoureusement une portion étendue de sphère sur un plan, alors qu’il est possible de le faire sur un cône ou un cylindre. Il en résulte que toutes les solutions envisagées introduisent des déformations qui altèrent tout ou partie des éléments de la surface à représenter: les longueurs, les angles et les surfaces. Dans tous les cas, aucune projection ne peut conserver toutes les distances. On introduit alors la notion d'altération linéaire. Considérons un cercle infiniment petit de la surface sphérique. Sa transformée sur le plan n’est pas un cercle identique (sauf en un point ou sur une ligne privilégiée dénommés “centre de projection”) mais une ellipse infiniment petite que l’on appelle INDICATRICE DE TISSOT. Les déformations en chaque point sont concrétisées par la longueur et l’orientation des axes de l’indicatrice. Si le cercle initial a pour rayon l’unité (R = 1), l’échelle de la projection est maximale dans la direction du grand axe de l’ellipse et minimale dans la direction perpendiculaire. Ces échelles ont pour valeur respective a et b (½ grand axe et ½ petit axe) et les altérations linéaires correspondantes sont (a-1) et (b-1). • L’altération de surface est (a.b) – 1. • L’altération angulaire est donnée par la différence entre la valeur d’un angle sur le cercle et celle de sa transformée sur l’ellipse; elle est fonction de la direction des deux côtés de l’angle. • L’angle le plus altéré: ce sont les côtés voisins des bissectrices des axes et l’altération est d’autant plus grande que a diffère de b c’est-à-dire que l’ellipse est aplatie. Cas d’une projection dite conforme : note : FE est l’abréviation de facteur d’échelle

Une projection qui maintient localement une échelle uniforme dans toutes les directions est dite conforme . Cependant, toute projection conforme ne peut pas maintenir partout un FE de 1. Ainsi sur les projections conformes l'indicatrice de Tissot est toujours un cercle dont la taille peut varier en fonction de la position sur la carte.

Au

b a

a = b = 1.0

Au

b a ab ≠ 1.0 Au = Ap

a = 0.6 b = 0.6

Source : http://www.lemig.umontreal.ca/cours/Geo1532/42 Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Cas d’une projection dite équivalente :

Si l'indicatrice de Tissot devient une ellipse, l'échelle n'est plus uniforme autour d'un point mais il est possible de préserver l'équivalence des superficies. Nous parlons alors d'une projection équivalente. Cette condition est remplie lorsque le produit du demi grand-axe (FE maximal) et du petit demi-axe (FE minimal) est égal à 1. En effet la superficie du cercle sur la sphère est πR2 ou simplement π, puisque le rayon du cercle est unitaire. Celle de l'ellipse est πab, donc égale à π si le produit ab est égal à l'unité

Ap Au

b

b= 0.5

a

a=2 a x b = 1.0 A u ≠Ap

a = b = 1.0

Source : http://www.lemig.umontreal.ca/cours/Geo1532/42

Cas d’une projection dite aphylactique : Si une projection n'est ni conforme, ni équivalente elle est appelée aphylactique.

Ap Au

b

b= 1.0

a

a = 1.8 ab ≠ 1.0 Au ≠Ap

a = b = 1.0

Source : http://www.lemig.umontreal.ca/cours/Geo1532/42 Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Classification des projections Il existe différents critères de classification des projections

Selon le type de représentation • Les projections Conformes : Ces systèmes conservent les angles élémentaires formés par des directions quelconques. • Les projections Équivalentes Ces systèmes conservent les surfaces ou, plus exactement, le rapport des surfaces de la terre à la carte. • Les projections Aphylactiques Ces systèmes ne conservent ni les angles, ni les distances. (Cf. section précédente)

Selon ses propriétés géométriques On peut également classer les projections selon le type de canevas géographique, c'est-à-dire selon la représentation des méridiens et des parallèles sur le plan. Canevas Cylindriques :

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

On considère un cylindre tangent ou sécant à la sphère terrestre. Dans l’aspect direct, le cylindre est tangent le long de l’équateur ou sécant le long de deux parallèles symétriques par rapport à l’équateur. Les plans méridiens coupent le cylindre selon des génératrices du cylindre qui constituent les images des méridiens. En développant le cylindre, on obtient une représentation plane constituée d’un canevas rectangulaire de méridiens équidistants et de parallèles.

Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Projection-Carto-D

Canevas Conique :

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

On considère un cône tangent ou sécant à la sphère terrestre. Dans l’aspect direct (pratiquement le seul en usage) l’axe du cône est confondu avec l’axe des pôles. Les plans méridiens coupent le cône suivant ses génératrices qui constituent les images des méridiens. Les transformées des parallèles sont des sections normales du cône dont le rayon est une fonction de la latitude. En développant le cône, on obtient une représentation plane constituée : • par un éventail de droites rayonnantes : les images des méridiens. • des arcs de cercle concentriques de rayon y = f (L), les images des parallèles. Canevas Azimutal :

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique) Les azimuts de toutes les directions issues du pôle sont conservés. Les points équidistants du pivot sur la sphère sont équidistants du centre de projection sur le plan. (Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Pour exemple d’autres projections : Canevas Méricylindrique

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

Pour exemple d’autres projections : Canevas Mériconique

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique) (Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Selon l’aspect de la représentation Chacune de ces projections peut se présenter en aspect direct (ou polaire), en aspect transverse (ou méridien), ou en aspect oblique. • Aspect direct : utilisation du canevas des parallèles et des méridiens, • Aspect transverse : utilisation d'un canevas transverse, obtenu à partir de 2 points P1 et P2 diamétralement opposés sur l'équateur pris comme pseudo-pôles, • Aspect oblique : utilisation d'un canevas oblique, obtenu à partir de 2 points P1 et P2 diamétralement opposés quelconques pris comme pseudo-pôles.

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

Selon un point de vue donné On peut définir enfin un certain nombre de systèmes de projections qui résultent de la projection perspective d’une portion de la sphère terrestre sur un plan tangent à la sphère à partir d’un point de vue donné : • projections purement géométriques, dites perspectives o projections gnomoniques : le point de vue est le centre de la terre o projections stéréographiques : le point de vue est à l’opposé du point de tangence o projection orthographique : le point de vue est à l’infini (utilisée pour la carte de la lune ou d’un astre, vue par un observateur terrestre) • on peut aussi imposer au canevas géographique de remplir certaines conditions par exemple: équivalence ou équidistance o projection de Lorgna (ou équivalente de Lambert) : le point de vue est à ± 3 rayon terrestre du centre de la terre o projection G. de Postel (équidistante) : le point de vue est ± 2 rayon terrestre du centre de la terre

Les projections planes représentant la terre Reportez vous à l’animation : Les projections

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La projection Transverse Mercator La Projection Transverse de Mercator ou cylindrique transverse est dans sa forme la plus simple la projection d’une sphère parfaite sur un cylindre qui la circonscrit. Le contact continu se fait le long d’un méridien. Le méridien de tangence s’appelle le méridien origine. Les images du méridien central et de l'équateur sont des droites perpendiculaires. L’image du méridien central et l’image de l’équateur sont perpendiculaires.

(source : www.for.gov.bc.ca/ dfn/images/utm.gif) (Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Education Nationale sur l'information géographique)

Cette projection a été définie dans les années 1950 pour représenter l’ensemble de la terre (Universal Transverse Mercator). Pour cela le globe est découpé en 60 fuseaux de 6°. Chacune des projections couvre de 80°Sud à 80°Nord. Pour chaque fuseau on utilise deux projections, une Nord et une Sud. Dans le cas particulier des pôles deux projections stéréographiques sont utilisées. Au final ce système est constitué de 120 projections Mercator Transverse conformes plus deux particulières pour les pôles. La numérotation s’effectue depuis "1" à partir de l’anti-méridien Greenwich en allant vers l’est : Québec (L. 71° ±) = Zone 19 avec le méridien central = 69° 00' (Système de zones de 3° pour la cartographie urbaine)

Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Exemple d’un fuseau :

L’ensemble des fuseaux UTM :

(Source : www.ggr.ulaval.ca)

(Source : www.inrialpes.fr)

Note sur la projection Lambert Il s’agit d’une projection conique. Le cône est tangent ou sécant à un parallèle (parallèle origine ou isomètre central). Les méridiens sont représentés par des droites concourantes au pôle. Les parallèles sont représentés par des cercles concentriques au pôle. Cette projection est celle qui est adopté en France à cette différence près qu’elle est découpée en zone dans la mesure où les longueurs sont de plus en plus dilatées au fur et à mesure que l'on s'éloigne du parallèle origine.

(Source : Le serveur éducatif de l'IGN et de l'Éducation Nationale sur l'information géographique) Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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Limitation des altérations dans le cas d’U.T.M. On se place ici dans le cas de la projection Universal Transverse Mercator. Ce qui nous intéresse ici, considérant les aspects cartographiques de la projection c’est l’altération des dimensions (donc de l’échelle). Deux méthodes sont utilisées pour limiter les altérations de dimensions : • Limitation du champ de projection aux aires (surfaces) voisines du méridien central. Comme on le disait précédemment les aires sont limitées à 3 degrés de part et d’autre du méridien central. • Amener le cylindre à être sécant à la sphère (au lieu d’être tangent). Ceci permet une correction de sorte que l’échelle au méridien central se trouve réduite : o Deux lignes privilégiées au lieu d’une (ligne de coupe du cylindre) o Facteur échelle (K) .9996 à 1.0000 (ligne privilégiée) à 1.0003 en bordure de la zone. Exemple: à une échelle 1/50 000 une distance de 10 cm prélevée au méridien central (où l’altération est au maximum) comporterait une erreur de .04 mm. Pour un pays comme le Canada où cohabitent plusieurs projections (zones). Les mêmes tables de transformation sont valables pour toutes les zones. Chaque zone de 6° comporte son propre système de coordonnées rectangulaires appuyé sur le méridien central et sur l’équateur. La calibration du système est orthonormé en mètres.

Ce qu’il faut retenir… Les projections constituent des outils qui nous permettant de retranscrire sur un plan des éléments de l’espace. La classification des différentes projections peut être réalisé selon différents critères : • Selon le type de représentation • Selon ses propriétés géométriques • Selon l’aspect de la représentation • Selon un point de vue donné de celle-ci La projection UTM est la plus utilisée dans le monde (au Canada en particulier), il s’agit d’une projection cylindrique Transverse. Pour limiter les altérations, le champ de projection est limité à des zones de 3° de part et d’autres du méridien central et le cylindre est sécant pour appliquer des corrections.

A voir aussi… Fiche : Le Géoïde Fiche : Les types de coordonnées terrestres Fiche : Les ellipsoïdes terrestres

Note Référence

Mise à jour

Projection-Carto-D

29 juin 04

Sources • Serveur éducatif de l'IGN et de l'Éducation Nationale sur l'information géographique http://seig.ensg.ign.fr/ • Le MiG, département de Géographie de l’université de Montréal http://www.lemig.umontreal.ca/ • Ressources naturelles du Canada, http://atlas.gc.ca/site/francais/learningresources/les son_plans/index.html Conception et réalisation : Roche S. et Durando F.

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