Cap20 - TRASFORMATA DI FOURIER PDF

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La serie di Fourier permette di rappresentare una funzione periodica come somma di sinusoidi, e di ottenere lo spettro della funzione dalla serie. La trasformata di Fourier consente di estendere il concetto di spettro alle funzioni non periodiche. La trasformata considera una funzione non periodica ...

Description

CAPITOLO TRASFORMATA DI FOURIER

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20.1 INTRODUZIONE La serie di Fourier permette di rappresentare una funzione periodica come somma di sinusoidi, e di ottenere lo spettro della funzione dalla serie. La trasformata di Fourier consente di estendere il concetto di spettro alle funzioni non periodiche. La trasformata considera una funzione non periodica come se fosse periodica di periodo infinito. La trasformata di Fourier e` quindi una rappresentazione integrale di una funzione non periodica analoga alla rappresentazione in serie di Fourier per una funzione periodica. La trasformata di Fourier e` una trasformazione integrale, come la trasformata di Laplace, che trasforma una funzione nel dominio del tempo in una nel dominio delle frequenze. La trasformata di Fourier si rivela di estrema utilita` nei sistemi di telecomunicazione e nella elaborazione digitale dei segnali, in situazioni nelle quali la trasformata di Laplace non risulta applicabile. Mentre la trasformata di Laplace puo` trattare soltanto circuiti i cui ingressi sono diversi da zero per t > 0, con eventuali condizioni iniziali, la trasformata di Fourier consente l’analisi di circuiti con ingressi non nulli per t < 0 oltre che per t > 0. La serie di Fourier verra` utilizzata come punto di partenza nella definizione della trasformata di Fourier. Vengono presentate poi alcune delle piu` importanti proprieta` della trasformata di Fourier. Si applica poi la trasformata alla analisi dei circuiti. Infine, vengono trattati il teorema di Parseval e il confronto fra le trasformate di Fourier e di Laplace, e si mostra come la trasformata di Fourier trova applicazione nella modulazione di ampiezza e nel campionamento.

20.2 DEFINIZIONE DI TRASFORMATA DI FOURIER Nel capitolo precedente si e` visto che una funzione periodica non sinusoidale puo` essere rappresentata mediante una serie di Fourier se soddisfa le condizioni di Dirichlet. Ma cosa accade quando la funzione non e` periodica? Esistono molte funzioni importanti per le applicazioni che non sono periodiche – per esempio il gradino unitario o la funzione esponenziale – e che quindi non possono essere rappresentate come serie di Fourier. Come si vedra`, la trasformata di Fourier consente la trasformazione di una funzione dal dominio del tempo a quello delle frequenze anche se la funzione non e` periodica. Si supponga di voler calcolare la trasformata di Fourier di una funzione non periodica pðtÞ, mostrata in Figura 20.1(a). Si considera allora una funzione periodica f ðtÞ la cui forma su un periodo coincida con pðt Þ, come mostrato in Figura 20.1(b). Se si fa in modo che il periodo T ! 1, rimane soltanto un singolo impulso rettangolare di lar-

Figura 20.1 (a) Funzione non periodica, (b) facendo tendere T all’infinito, f ðtÞ diventa la funzione non periodica in (a).

Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627

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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier

ghezza  [la funzione non periodica desiderata di Figura 20.1(a)], in quanto gli impulsi adiacenti si sono spostati verso l’infinito. La funzione f ðtÞ non e` quindi piu` periodica. In altre parole, f ðtÞ ¼ pðtÞ quando T ! 1. Si consideri ora lo spettro di f ðtÞ per A ¼ 10 e  ¼ 0:2 (si veda il Paragrafo 17.6). La Figura 20.2 mostra l’effetto sullo spettro dell’aumento del periodo T . Si nota, innanzitutto, che la forma generale dello spettro rimane la stessa, e la frequenza alla quale per la prima volta l’inviluppo si annulla resta la stessa. Al contrario, l’ampiezza dello spettro e la distanza tra le componenti adiacenti diminuiscono entrambe, mentre aumenta il numero di armoniche. Nel complesso, in un dato intervallo di frequenze, la somma delle ampiezze delle armoniche rimane praticamente quasi costante. Poiche´ la ‘‘forza’’, o energia totale, delle componenti all’interno di una banda di frequenza deve rimanere invariata, le ampiezze delle armoniche devono diminuire al crescere di T . Essendo poi f ¼ 1=T , all’aumentare di T , f (o !) diminuisce, e lo spettro discreto tende a diventare continuo.

Figura 20.2 Effetto dell’aumento di T sullo spettro del treno di impulsi periodico di Figura 20.1(b). (Source: L. Balmer, Signals and Systems: An Introduction [London: Prentice-Hall, 1991], p. 229.)

Per meglio comprendere il legame tra una funzione non periodica e la sua controparte periodica, si consideri la forma esponenziale della serie di Fourier della (17.58), f ðtÞ ¼

1 X

cn e jn!0 t

ð20:1Þ

n¼1

dove cn ¼

1 T

Z

T=2

f ðtÞejn!0 t dt

ð20:2Þ

2 T

ð20:3Þ

T=2

La frequenza fondamentale e` !0 ¼ e la distanza fra armoniche adiacenti ! ¼ ðn þ 1Þ!0  n!0 ¼ !0 ¼

2 T

ð20:4Þ

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20.2 Definizione di trasformata di Fourier

Sostituendo la (20.2) nella (20.1) si ottiene " Z # 1 T=2 X 1 jn!0 t f ðtÞe dt e jn!0 t f ðtÞ ¼ T T=2 n¼1 " # Z 1 X ! T=2 f ðtÞejn!0 t dt e jn!0 t ¼ 2 T=2 n¼1 "Z # 1 T=2 1 X jn!0 t ¼ f ðtÞe dt !e jn!0 t 2 n¼1 T=2

ð20:5Þ

Se si fa il limite per T ! 1, la sommatoria diventa una integrazione, la spaziatura incrementale ! diventa una distanza differenziale d!, e le frequenze armoniche discrete n!0 diventano una frequenza continua !: Z 1 1 X ¼) 1

n¼1

! n!0

¼) ¼)

d! !

ð20:6Þ

e la (20.5) diventa 1 f ðtÞ ¼ 2

Z

1

1

Z

1

f ðtÞe 1

j!t

 dt e j!t d!

ð20:7Þ

Il termine tra parentesi quadre e` detto trasformata di Fourier di f ðtÞ e si indica con Fð!Þ1 . Z 1 Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ ¼ f ðtÞej!t dt ð20:8Þ 1

in cui F indica l’operatore di trasformazione secondo Fourier. Dalla (20.8) risulta evidente che:

La trasformata di Fourier e` una trasformazione integrale di f(t) dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Fð!Þ e`, in generale, una funzione complessa; il suo modulo e` detto spettro di ampiezza, e la sua fase spettro di fase. Fð!Þ e` complessivamente detta spettro. La (20.7) puo` essere scritta in termini di Fð!Þ, ottenendo cosı` la antitrasformata di Fourier. Z 1 1 1 Fð!Þe j!t d! ð20:9Þ f ðtÞ ¼ F ½F ð!Þ ¼ 2 1 La funzione f ðtÞ e la sua trasformata Fð!Þ risultano in corrispondenza: f ðtÞ

()

Fð!Þ

ð20:10Þ

perche´ una di esse puo` essere ottenuta dall’altra. La trasformata di Fourier Fð!Þ esiste quando l’integrale di Fourier nella (20.8) converge. Una condizione sufficiente ma non necessaria perche´ f ðtÞ abbia una trasformata di Fourier e` che essa sia completamente integrabile, nel senso che Z 1 j f ðtÞj dt < 1 ð20:11Þ 1

1

Alcuni autori usano F( j!) invece di F(!) per rappresentare la trasformata di Fourier. Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627

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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier

Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione rampa unitaria tuðtÞ non esiste, perche´ la funzione non soddisfa alla condizione appena vista. Per evitare di manipolare quantita` immaginarie, a volte risulta comodo sostituire temporaneamente j! con s, e risostituire s con j! a calcolo ultimato. Esempio 20.1 Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni: (a) ðt  t0 Þ, (b) e j!0 t , (c) cos !0 t.

Soluzione: (a) Per la funzione impulso, Fð!Þ ¼ F ½ðt  t0 Þ ¼

Z

1

ðt  t0 Þej!t dt ¼ ej!t0

ð20:1:1Þ

1

in cui e` stata applicata la proprieta` di selezione dell’impulso della (7.32). Per il caso particolare t0 ¼ 0, si ottiene F ½ðtÞ ¼ 1

ð20:1:2Þ

Questa equazione mostra che il modulo dello spettro della funzione impulso `e costante, cioe` che tutte le frequenze sono egualmente rappresentate nella funzione impulso. (b) E` possibile ricavare la trasformata di Fourier di e j!0 t in due modi. Se si pone Fð!Þ ¼ ð!  !0 Þ allora si puo` calcolare f ðtÞ usando la (20.9), scrivendo Z 1 1 ð!  !0 Þe j!t d ! f ðtÞ ¼ 2 1 Usando la proprieta` di selezione della funzione impulso si ottiene f ðtÞ ¼

1 j!0 t e 2

Poiche´ Fð!Þ e f ðtÞ sono corrispondenti secondo la trasformata di Fourier, altrettanto deve valere per 2ð!  !0 Þ e e j!0 t , F ½e j!0 t  ¼ 2ð!  !0 Þ

ð20:1:3Þ

In alternativa, dalla (20.1.2), ðtÞ ¼ F 1 ½1 Con la formula della antitrasformata di Fourier (20.9), ðtÞ ¼ F 1 ½1 ¼

1 2

Z

1

1e j!t d! 1

cioe` Z

1

e j!t d! ¼ 2ðtÞ

ð20:1:4Þ

e j!t dt ¼ 2ð!Þ

ð20:1:5Þ

1

Scambiando le variabili t e ! si ottiene Z

1 1

Grazie a questo risultato, la trasformata di Fourier della funzione data e` Z 1 Z 1 e j!0 t ej!t dt ¼ F ½e j!0 t  ¼ e jð!0 !Þt dt ¼ 2ð!0  !Þ 1

1

Poiche´ l’impulso e` una funzione pari, con ð!0  !Þ ¼ ð!  !0 Þ, F ½e j!0 t  ¼ 2ð!  !0 Þ

ð20:1:6Þ

Cambiando semplicemente segno a !0 , si ottiene subito F ½ej!0 t  ¼ 2ð! þ !0 Þ

ð20:1:7Þ

F ½1 ¼ 2ð!Þ

ð20:1:8Þ

Inoltre, ponendo !0 ¼ 0,

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20.2 Definizione di trasformata di Fourier

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(c) Utilizzando il risultato delle (20.1.6) e (20.1.7), F ½ cos !0 t ¼F ¼



e j!0 t þ ej!0 t 2



1 1 F ½e j!0 t  þ F ½ej!0 t  2 2

ð20:1:9Þ

¼ ð!  !0 Þ þ ð! þ !0 Þ La trasformata di Fourier di un segnale coseno `e mostrata in Figura 20.3.

Figura 20.3 Trasformata di Fourier di f ðtÞ ¼cos !0 t.

n Esercizio 20.1 Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) impulso rettangolare gðtÞ ¼ uðt  1Þ  uðt  2Þ, (b) 4ðt þ 2Þ, (c) sin !0 t.

Risposta (a) ðej!  ej 2! Þ=j!; (b) 4e j 2! , (c) j½ð! þ !0 Þ   ð!  !0 Þ.

n

Esempio 20.2 Determinare la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare singolo di larghezza  e altezza A, mostrato in Figura 20.4.

Soluzione: Fð!Þ ¼

Z

=2

Aej!t dt ¼ 

 =2

¼ A

   2A e j! =2  ej!=2 A j!t  =2 ¼ e  2j j! !  =2

sin !=2 ! ¼ A sinc 2 !=2

Se si pone A ¼ 10 e  ¼ 2 come in Figura 17.27 (Paragrafo 17.6), allora

Figura 20.4

Fð!Þ ¼ 20 sinc ! il cui spettro di ampiezza e` mostrato in Figura 20.5. Confrontando la Figura 20.5 con lo spettro degli impulsi rettangolari in Figura 19.28, si nota che lo spettro di Figura 19.28 e` discreto, e che il suo inviluppo ha la stessa forma della trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare singolo.

Impulso rettangolare; per l’Esempio 20.2.

Figura 20.5 Spettro di ampiezza dell’impulso rettangolare in Figura 20.4; per l’Esempio 20.2.

n Esercizio 20.2 Ottenere la trasformata di Fourier della funzione in Figura 20.6.

Figura 20.6 Per l’Esercizio 20.2.

Risposta

2ð cos !  1Þ . j!

n

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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier Esempio 20.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione esponenziale ‘‘attivata’’ mostrata in Figura 20.7.

Soluzione: Dalla Figura 20.7, f ðtÞ ¼ eat uðtÞ ¼



eat , t > 0 0, t 1) corrisponde alla compressione dell’asse delle frequenze, oppure al contrario, che la compressione dell’asse dei tempi (jaj < 1) implica una espansione dell’asse delle frequenze. La dimostrazione della proprieta` procede come di seguito indicato. Z 1 F ½ f ðatÞ ¼ f ðat Þej!t dt ð20:16Þ 1

Se si pone x ¼ at; cosı` che dx ¼ a dt, allora Z 1 dx 1  ! F ½ f ðatÞ ¼ f ðxÞej!x=a ¼ F a a a 1 Per esempio, per l’impulso rettangolare pðtÞ dell’Esempio 20.2, ! F ½pðtÞ ¼ A sinc 2 Usando la (20.15), A ! F ½pð2tÞ ¼ sinc 4 2

ð20:17Þ

ð20:18aÞ ð20:18bÞ

Puo` risultare utile tracciare il grafico di pðtÞ, di pð2tÞ e delle loro trasformate di Fourier. Poiche` (   A,  < t < 2 2 pðtÞ ¼ ð20:19aÞ 0, altrove allora, sostituendo ogni occorrenza di t con 2t si ottiene ( (     A,  < 2t < A,  < t < 4 2 4 2 ¼ pð2tÞ ¼ 0, altrove 0, altrove

ð20:19bÞ

che mostra come pð2tÞ risulti compressa nel tempo, come mostrato in Figura 20.9(b). Per tracciare i grafici delle due trasformate di Fourier della (20.18), si ricordi che la funzione sinc si annulla quando il suo argomento e` uguale a n, con n intero. Percio`, per la trasformata di pðtÞ nella (20.18a), ! =2 ¼ 2f =2 ¼ n ! f ¼ n=, e per la trasformata di pð2tÞ nella (20.18b), !=4 ¼ 2f =4 ¼ n ! f ¼ 2n=. I grafici delle trasformate di Fourier sono mostrati in Figura 20.9, dalla quale si vede che la compressione nel tempo corrisponde a una espansione nella frequenza. Ci si poteva aspettare questo risultato intuitivamente, perche´ quando il segnale viene compresso nel tempo, esso subisce variazioni piu` rapide, dando luogo alla comparsa di componenti a frequenze piu` alte.

Figura 20.9 Effetto dello scaling nel tempo: (a) trasformata dell’impulso, (b) la compressione nel tempo dell’impulso provoca l’espansione nella frequenza.

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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier

Traslazione nel tempo Se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora F ½ f ðt  t0 Þ ¼ ej!t0 Fð!Þ

ð20:20Þ

cioe`, un ritardo nel dominio del tempo corrisponde a una traslazione di fase nel dominio delle frequenze. Per dimostrare la proprieta` di traslazione nel tempo, si nota che Z 1 F ½ f ðt  t0 Þ ¼ f ðt  t0 Þej!t dt ð20:21Þ 1

Ponendo x ¼ t  t0 cosı` che dx ¼ dt e t ¼ x þ t0 , allora Z 1 f ðxÞej!ðxþt0 Þ dx F ½ f ðt  t0 Þ ¼ 1

¼e

j!t0

Z

1

f ðxÞe

j!x

dx ¼ e

ð20:22Þ j!t0

Fð!Þ

1

In maniera simile, F ½f ðt þ t0 Þ ¼ e j!t0 Fð!Þ. Per esempio, dall’Esempio 20.3, F ½eat uðtÞ ¼

1 a þ j!

ð20:23Þ

La trasformata di f ðtÞ ¼ eðt2Þ uðt  2Þ e` Fð!Þ ¼ F ½eðt2Þ uðt  2Þ ¼

ej 2! 1 þ j!

ð20:24Þ

Traslazione in frequenza (o modulazione di ampiezza) Questa proprieta` afferma che se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora F ½ f ðt Þe j!0 t  ¼ F ð!  !0 Þ

ð20:25Þ

cioe`, una traslazione di frequenza nel dominio delle frequenze corrisponde alla aggiunta di uno sfasamento alla funzione del tempo. Infatti, per definizione, Z 1 F ½ f ðt Þe j!0 t  ¼ f ðtÞe j!0 t ej!t dt 1

¼ Per esempio, cos !0 t ¼

1 2

Z

ð20:26Þ

1

f ðtÞe

jð!!0 Þt

dt ¼ Fð!  !0 Þ

1

ðe j!0 t þ ej!0 t Þ. Usando la proprieta` della (20.25),

F ½ f ðtÞ cos !0 t ¼

 1   1  F f ðtÞe j!0 t þ F f ðtÞej!0 t 2 2

1 1 ¼ Fð!  !0 Þ þ Fð! þ !0 Þ 2 2

ð20:27Þ

Figura 20.10 Spettri di ampiezza di: (a) segnale f ðtÞ, (b) segnale modulato f ðtÞ cos !0 t.

Quest’ultima equazione costituisce un importante risultato legato alla modulazione, Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627

20.3 Proprieta` della trasformata di Fourier

nella quale le componenti di un segnale vengono traslate lungo l’asse delle frequenze. Se, per esempio, lo spettro di ampiezza di f ðtÞ e` quello mostrato in Figura 20.10(a), allora lo spettro di ampiezza di f ðtÞ cos !0 t sara` quello mostrato in Figura 20.10(b). Della modulazione di ampiezza si parlera` in modo piu` approfondito nel Paragrafo 20.7.1.

Derivazione rispetto al tempo Data Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, F ½ f 0 ðtÞ ¼ j!F ð!Þ

ð20:28Þ

In altre parole, la trasformata della derivata di f ðtÞ si ottiene moltiplicando la trasformata di f ðtÞ per j!. Infatti, per definizione, Z 1 1 f ðtÞ ¼ F 1 ½F ð!Þ ¼ Fð!Þe j!t d! ð20:29Þ 2 1 Derivando ambo i membri rispetto al tempo t, si ottiene Z 1 j! f 0 ðtÞ ¼ F ð!Þe j!t d! ¼ j!F 1 ½F ð!Þ 2 1 cioe` F ½ f 0 ðtÞ ¼ j!F ð!Þ

ð20:30Þ

Applicando ripetutamente la (20.30) si ha F ½ f ðnÞ ðtÞ ¼ ð j!Þn F ð!Þ

ð20:31Þ

Per esempio, se f ðtÞ ¼ eat , allora f 0 ðtÞ ¼ aeat ¼ af ðtÞ

ð20:32Þ

Trasformando secondo Fourier il primo e l’ultimo membro, si ottiene j!Fð!Þ ¼ aFð!Þ

¼)

Fð!Þ ¼

1 a þ j!

ð20:33Þ

che e` in accordo con il risultato dell’Esempio 20.3.

Integrazione nel tempo Data Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, F

Z

t

 Fð!Þ f ðtÞ dt ¼ þ Fð0Þð!Þ j! 1

ð20:34Þ

cioe`, la trasformata dell’integrale di f ðtÞ si ottiene dividendo la trasformata di f ðtÞ per j! e sommando il risultato a un termine impulsivo che rappresenta la componente costante Fð0Þ. Ci si potrebbe domandare il perche´ della integrazione sull’intervallo ½1, t invece che sull’intervallo ½1, 1. Se si eseguisse l’integrale su ½1, 1, il risultato non dipenderebbe piu` dal tempo, e si otterrebbe quindi la trasformata di Fourier di una costante. Quando invece si integra su ½1, t, si ottiene l’integrale della funzione dal lontano passato fino all’istante t: il risultato dipende allora da t e se ne puo` calcolare la trasformata di Fourier. Se ! viene sostituito con 0 nella (20.8), Z 1 f ðtÞ dt ð20:35Þ Fð0Þ ¼ 1

indicando che la componente continua e` nulla quando l’integrale di f ðtÞ su tutto l’asse Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627

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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier

dei tempi e` nullo. La dimostrazione della formula di integrazione nel tempo della (20.34) verra` fornita piu` avanti, quando si parlera` della proprieta` di convoluzione. Per esempio, e` noto che F ½ðtÞ ¼ 1 e che l’integrazione della funzione impulso fornisce la funzione gradino unitario [si veda la (7.39)]. Applicando la proprieta` della (20.34), si ottiene la trasformata della funzione gradino unitario come Z t  1 ðtÞ dt ¼ F ½uðtÞ ¼ F þ ð!Þ ð20:36Þ j! 1

Inversione Se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora F ½ f ðtÞ ¼ F ð!Þ ¼ F  ð!Þ

ð20:37Þ

dove l’asterisco denota il complesso coniugato. Questa proprieta` afferma che l’inversione di f ðtÞ rispetto all’asse dei tempi inverte anche Fð!Þ rispetto all’asse delle frequenze. Puo` anche essere considerata come un caso particolare dello scaling nel tempo in cui a ¼ 1 nella (20.15). Per esempio, 1 ¼ uðtÞ þ uð1Þ. Di conseguenza, F ½1 ¼ F ½uðtÞ þ F ½uðtÞ 1 ¼ þ  ð!Þ j! 1 þ  ð!Þ  j! ¼ 2   ð!Þ

Dualita` Questa proprieta` afferma che se Fð!Þ e` la trasformata di Fourier di f ðt Þ, allora la trasformata di Fourier di FðtÞ e` 2f ð!Þ; in formule F ½ f ðtÞ ¼ F ð!Þ
...