Fourier Und Laplace Transformation PDF

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Elektronische Messtechnik Fourier- und Laplace-Transformation

Prof. Dr.-Ing. Clemens Gühmann Technische Universität Berlin Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Institut für Energie und Automatisierungstechnik Fachgebiet Elektronische Mess- und Diagnosetechnik

1

Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

2

Übersicht 3 Laplacetransformation 3.1 Zusammenhang zwischen Fourier- und Laplacetransformation 3.2 Definition und Existenz 3.3 Inverse Laplacetransformation 3.4 Korrespondenzen 3.5 Eigenschaften 3.6 Inverse Laplacetransformation gebrochen rationaler Funktionen 3.7 Lösung linearer Differenzialgleichungen 3.8 Anwendungsbeispiel

3

Fourier- und Laplace-Transformation 1 Einführung

Mathematiker und Physiker Er führte ein bewegtes Leben in der Zeit der französischen Revolution, der napoleonischen Herrschaft und der Restauration. Fourier war der Sohn eines armen Schneiders, besuchte zuerst eine Militär-, dann eine Ordensschule. .

Jean Baptiste Joseph Fourier *21. März 1768 in Auxerre † 16 Mai 1830 in Paris

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier 10/13

4

Fourier- und Laplace-Transformation 1 Einführung Lebenslauf Während der Revolution in Auxerre war er abwechselnd Gefangener und Präsident des Revolutionskomitees. Mit Napoleon ging er nach Ägypten, wurde nach Napoleons plötzlichem und heimlichem Rückzug von den Engländern gefangen gehalten, konnte aber mit den Expeditionsberichten nach Frankreich zurückkehren und wurde 1802 in Grenoble Präfekt des Departement Isère. Dort vollendete er die lange vergeblich versuchte Trockenlegung der Sümpfe bei Lyon und rottete dadurch die Malaria aus. Er verfasste die historische Einleitung zum Expeditionsbericht "Description de l'Egypte".

Bildquelle: Medienarchiv Wikimedia Commons

5

Fourier- und Laplace-Transformation 1 Einführung Wissenschaftliche Leistungen Seit 1807 beschäftigte sich Fourier mit dem Problem der Wärmeleitung. 1822 erschien seine "Théorie analytique de la chaleur". Von da ab waren Temperatur und Wärmetransport berechenbar, dabei halfen Fourierreihen und Fourierintegrale. Anfangs hatte Fourier Schwierigkeiten, seine Theorie gegen Einwände von Laplace, Poisson und Biot zu behaupten

f

X ( jZ )

³ x (t )  e

 jZ t

dt

f

x( t)

1 2S

f

³ X ( jZ )  e

f

6

jZ t

dZ

Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiel: Rechteckimpulsfolge 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Übersicht 3 Laplacetransformation 3.1 Zusammenhang zwischen Fourier- und Laplacetransformation 3.2 Definition und Existenz 3.3 Inverse Laplacetransformation 3.4 Korrespondenzen 3.5 Eigenschaften 3.6 Inverse Laplacetransformation gebrochen rationaler Funktionen 3.7 Lösung linearer Differenzialgleichungen 3.8 Anwendungsbeispiel

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Fourier- und Laplace-Transformation 1 Einführung Warum Transformationen? Konventionelle Analyse Transformations-Analyse Transformation

Problemstellung Y=X/Z

log(Y)= log(X)-log(Z)

Komplizierte Analyse Aufwendige Division

Vereinfachte Analyse LOG-Tabelle und Subtraktion

Inverse Transformation

Lösung

LOG-Tabellen 9

Fourier- und Laplace-Transformation 3 Laplace-Transformation

3.7 Lösung linearer Differenzialgleichungen Originalbereich (Zeitbereich) Differenzialgleichung mit Anfangswerten

Lösung Im Zeitbereich

Bildbereich

L-Transformation

L-1-Transformation

10

Algebraische Gleichung

Lösung der Gleichung

Fourier- und Laplace-Transformation 1 Einführung

Im Allgemeinen führen Transformationen zu einer Vereinfachung der Problemlösung. Die Fourier-Transformation und die Laplace-Transformation haben sich bei der Vereinfachung vieler wissenschaftlich-technischer Probleme als sehr effektiv erwiesen

11

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransfornation Eine Anwendungen der Fourier-Transformation Bestimmung des Übertragungsverhaltens G(Z) eines linearen Systems aus beliebigen nichtperiodischen Zeitsignalen

x(t)

y(t) Lineares Messsystem t

t

G(Z) ist ein komplexer Ausdruck, der sich in den Betragsgang | G(Z Z) | und in den Phasengang arg(G(Z Z) ) aufspalten lässt. Die Übertragungsfunktion entspricht der komplexen Spektralfunktion des Ausgangssignals, wenn das Eingangssignal ein Dirac-Impuls oder weißes Rauschen ist.

´

G (Z )

F ^y(t)` F ^x(t )` 12

Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransfornation Signaltypen Kontinuierliche und periodische Signale Î Fourierreihenentwicklung Kontinuierlich und aperiodisch Î Fouriertransformation Getastet und aperiodisch Î Fouriertransformation diskreter Signale - kommt später in der Vorlesung Messdatenverarbeitung Getastet und periodisch Î Diskrete Fouriertransformation - kommt später in der Vorlesung Messdatenverarbeitung

14

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransfornation 2.1 Fouriertransformation periodischer, kontinuierlicher Signale Fouriertransformierte eines kontinuierlichen, periodischen Signals Zerlegung des Signals in sinusförmige Anteile

15

Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung Kontinuierliche Signale x(t) mit der Periodizität Z0 =2S/T können als Summe einer Kosinus- und Sinus-Reihe beschrieben werden, f

Synthesegleichung:

x (t ) a 0  ¦ ak coskZ 0t   bk sin kZ 0t  k 1

wenn die Funktion x(t) beschränkt und stückweise stetig ist. Für die Koeffizienten ergibt sich:

?

T

Analysegleichung: Tafel für ak

T

a0

1 x (t )dt T ³0

bk

2T x (t ) sin kZ0t dt T ³0

17

und a k

2 x (t ) coskZ 0t dt T ³0 k 1,2,K

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung - Orthogonalität

18

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung - Orthogonalität

19

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung Die Darstellung durch Sinus- und Kosinusfunktion kann auch ersetzt werden, wenn ausgenutzt wird, dass

ak cos k Z0 t  bk sin k Z0 t  bksin(kZt), akcos(kZt); akcos(kZt)+bksin(kZt)

ist.

Ak cos k Z0 t  Mk 

Addition Sinus- und Cosinusfunktion 4

3.6056cos(kZ 0t-0.98) 3

2

3sin(kZ 0t)

1

0

2cos(kZ 0t)

-1

-2

-3

-4 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Zeit [s] 20

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung Es ergeben sich folgende Zusammenhänge f

x(t)

a0  ¦ Ak cos kZ0 t  Mk  k 1

Ak

a k2  bk2 und M k

§b ·  arctan ¨¨ k ¸¸ © ak ¹

Die Fourierreihendarstellung ermöglicht eine Zerlegung eines periodischen Signals in Cosinusschwingungen, d.h. die Angabe der im Signal enthaltenen sinusförmigen Frequenzanteile und deren Gewichte Eine angenäherte Darstellung periodischer Signale durch eine endliche Anzahl cosinusförmiger Schwingungen Die Darstellung beliebiger Signale durch Cosinusschwingungen in einem vorgegebenen Intervall 21

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.1 Fourierreihenentwicklung Beispiel Strom am Dimmer

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Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation

2.1.2 Beispiel: Rechteckimpulsfolge Mit Hilfe der Fourierreihenentwicklung soll das Amplituden- und Phasenspektum einer Rechteckimpulsfoge bestimmt werden (Harmonische Analyse).

A x (t ) ® ¯0

für 0 d t  DT für DT d t  T

24

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation

2.1.2 Beispiel: Rechteckimpulsfolge Es ergibt sich mit den Analysegleichungen T

a0

1 x( t) dt DA T 0³

ak

2 x (t ) coskZ0t dt T 0³

bk

2 x (t ) sinkZ0 t dt T 0³

T

A sin 2SDk  kS

T

A >1 cos2SDk @ kS

25

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation

2.1.2 Beispiel angeschnittener Strom Mit Hilfe der Fourierreihen können periodische Signale approximiert werden, in dem man die Synthesegleichungen mit endlichem Laufindex k auswertet. N

x (t ) a0  ¦ ak cosk Z0t  bk sin k Z0 t  k 1

Beispiel angeschnittener Strom (Originalsignal)

Python-Beispiel für den angeschnittenen Strom: FourierStromAngeschnitten..py

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Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.3 Komplexe Fourierreihe Wird in die Fourierreihendarstellung f

x (t ) a0  ¦ Ak coskZ 0 t M k  k 1

die Eulerschen Beziehungen

cos(D )

e jD  e jD 2

eingesetzt, ergibt sich die komplexe Fourierreihe f

x(t )

¦c e

jkZ 0t

k

k f

mit den Koeffizienten c k

T2

1 x(t )  e jk Z0t dt ³ T T 2 28

k

0,r1, r2,...

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.3 Komplexe Fourierreihe Der Zusammenhang zu den vorherigen Darstellungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) ergibt sich aus

ck

0.5ak  jbk 

0.5 Ak e jM k

Die Folge der Koeffizienten {ck} wird als komplexes Amplitudenspektrum von x(t) bezeichnet. Grafisch lässt es sich als Linienspektrum für den Betrag |ck|

ck

Re{ck }2  Im{ck }2

1 2 2 bk  ak 2

und für die Phase arg(ck)

§ Im{c k } · ¸¸ arg c k  arctan¨¨ © Re{ck } ¹ an den Stellen Zk=k Z0, -∞ < k < ∞, darstellen. 29

Übersicht 1 Einführung 2 Fouriertransformation 2.1 Fouriertransformation kontinuierlicher, periodischer Signale 2.1.1 Fouriereihenentwicklung 2.1.2 Beispiele 2.1.3 Komplexe Fourierreihe 2.1.4 Beispiel: Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers 2.2 Fouriertransformation kontinuierlicher, aperiodischer Signale 2.2.1 Herleitung 2.2.2 Existenz 2.2.3 Deltafunktionen 2.2.4 Eigenschaften

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Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers Klirrfaktor Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Verzerrung d.h. ein Abweichen der Spannung oder des Stromes von der Sinusform

ki

I 22  I 32  .... I

Im Klirrfaktor wird der Effektivwert sämtlicher Oberschwingungen zum Effektivwert der Gesamtschwingung ins Verhältnis gesetzt. Î Liegt an einem Verstärker eine sinusförmige Eingangsspannung mit der Frequenz f0 an, so dürfen für eine verzerrungsfreie Verstärkung keine zusätzlichen Harmonische im Ausgangssignal erzeugt werden, d h. es muss eine lineare Verstärkung stattfinden

31

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers: Linearer Verstärker Eingangssignal

1.5

15

1

Ue

Ua

10

0.5

5

0

0

-5

Ausgangssignal

2

20

-0. 50

0

0. 5

1

1.5

2

Zeit [s]

2. 5

3

3.5

0.5

1

1. 5

4 x 10

2

2.5

3

3. 5

Zeit [s]

-3

4 -3

x 10

Messgröße z.B.

Messignal linearer Verstärker Ua=aUe

10 9 8 7

Kennlinie eines linearen Verstärkers >

Ergebnis: Am Ausgang erscheint das Signal ua=a∙ue Î keine zusätzlichen harmonischen Anteile 32

Ua [V]

6 5 4 3 2 1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Ue [V]

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers Nichtlineare Eingangskennlinie eines Transistors Arbeitspunkt Ube=0.6336 V und Ib=0.15A, f0=1000 Hz Eingangskennlinie Ib=f(Ube) 0.25

0.2

Ib [A]

0.15

0.1

0.05

0 0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 Ube [V]

33

0.55

0.6

0.65

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers: Nichtlinearer Verstärker Arbeitspunkt Ube=0.6336 V und Ib=0.15A, f0=1000 Hz Eingangssignal U be 0.7

Ausgangssignal Ib

0.8

0.68

0.7 0.6

0.66

0.5 Ib [A]

U e [V]

0.64 0.4

0.62

0.3

0.6

0.2 0.1

0.58 0.56 0

0

0.5

1

1.5

2 Zeit [s]

2.5

3

3.5

0

0.5

1

1.5

4 x 10

2 Zeit [s]

2.5

3

3.5

Messgröße z.B.

4 x 10

-3

-3

Messignal Eingangskennlinie Ib=f(Ube)

0.25

0.2

Ib [A]

0.15

0.1

0.05

Eingangskennlinie eines Transistors > 34

0 0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 Ube [V]

0.55

0.6

0.65

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers: Nichtlinearer Verstärker Arbeitspunkt Ube=0.6336 V und Ib=0.15A, f0=1000 Hz, Eingangssignal ube=0.005 sin(2Sf0t) Harmonische Analyse Eingangssignal Ube

1

0.642

n=1

0.64

x 10

-3

0

0.638

U [V]

0.636

e

-1 0 -3 0.5 x 10 1

0.634 0.632

n=2

0.63 0.628

0

0.5

1

1.5

2 Zeit [s]

2.5

3

3.5 x 10

-3

-1 -3 0.5 0 x 10 1

Ausgangssignal Ib

n=3

0.17

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

0

4

Ausgangssignal 0.18

1

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

0

Ib [A]

0.16

0.15

-1 0 -3 0.5 x 10 1

0.14

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

x 10

0.13

0.12 0

0.5

1

1.5

2 Zeit [s]

2.5

3

3.5

4

-3

x 10

n=4

0 -1 0

0.5

1

1.5

2

Zeit [s]

Klirrfaktor k=0.042 35

2.5

3

3.5

4 -3

x 10

Fourier- und Laplace-Transformation 2 Fouriertransformation 2.1.4 Klirrfaktor – Verzerrung eines Verstärkers: Nichtlinearer Verstärker Arbeitspunkt Ube=0.6336 V und Ib=0.15A, f0=1000 Hz, Eingangssignal ube=0.02 sin(2Sf0t) Harmonische Analyse Eingangssignal Ube

0.66

n=1

0.65

0.64

0.01 0

Ue [V]

-0.01

0.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

0.62

0.61

0

0.5

1

1.5

2 Zeit [s]

2.5

3

3.5

4

x 10

Ausgangssignal

n=2

-3

0.01 0 -0.01 0

Ausgangssignal I b

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

0.3

n=3

0.25

0.2

0.01 0

Ib [A]

-0.01 0

0.15

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 -3

x 10 0.01

0....