Centroide Bedfor 2 - mecanica PDF

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Problemas

Problemas y

䉴 7.27 En el ejemplo activo 7.3, suponga que el área se coloca en la forma mostrada. Sean las dimensiones R  6 pulg, c  14 pulg y b  18 pulg. Use la ecuación (7.9)1 para determinar la coordenada x del centroide.

10 pulg y x R x b

c

20 pulg

Problema 7.27 䉴 7.28 En el ejemplo 7.4, suponga que al área se le hace un segundo recorte semicircular como se muestra en la figura. Determine la coordenada x del centroide.

Problema 7.30 y

y

100 mm

0.8 m

140 mm x

50 mm

140 mm

x 0.6 m

200 mm 1.0 m

Problema 7.28

Problema 7.31 En los problemas 7.29 a 7.36, determine las coordenadas de los centroides

y

y

30 pulg 2 pulg

8 pulg

40 pulg 3 pulg x

x 20 pulg

4 pulg

6 pulg 10 pulg

Problema 7.29

Problema 7.32

325

326

Capítulo 7 Centroides y centros de masa y

7.37 En la figura se tienen las dimensiones b  42 mm y h  22 mm. Determine la coordenada y del centroide de la sección transversal de la viga mostrada. 7.38 Si el área de la sección transversal de la viga mostrada es de 8400 mm2 y la coordenada y del centroide del área es– y 90 mm, ¿qué valores tienen las dimensiones b y h?

400 mm

y

300 mm x 300 mm

Problema 7.33

300 mm

200 mm h

y

120 mm

x

2 pies

b

3 pies

Problemas 7.37/7.38 x 4 pies

Problema 7.34

7.39 Determine la coordenada y del centroide de la sección transversal de la viga mostrada. y

y

20 mm 5 pulg

2 pulg

30 mm 20 mm

10 mm

8 pulg

30 mm x

x

90 mm

Problema 7.35

3 pulg

5 pulg

5 pulg

3 pulg

Problema 7.39

y

7.40 Determine las coordenadas del centroide del estabilizador vertical del avión que se muestra en la figura.

5 mm

y

15 mm 50 mm 11 m

5 mm

5 mm

x

x

70 12.5 m

15 mm

Problema 7.36

48

15 mm 10 15 15 10 mm mm mm mm

Problema 7.40

7.3 Cargas distribuidas 7.41 El área mostrada tiene bordes elípticos. Si a  30 mm, b  15 mm y e  6 mm, ¿cuál es la coordenada x del centroide del área?

327

7.43 Se muestran las tres velas de un velero New York. Las coordenadas de los puntos est·n en pies. Determine el centroide de la vela 1. 7.44 Determine el centroide de la vela 2.

7.42 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada en el problema 7.41 en términos de a, b y e, y evalúe su límite cuando e S 0; con esto demuestre que la coordenada x del centroide de un cuarto de elipse es x =

7.45 Determine el centroide de la vela 3.

4a1a + 2b2 . 3p1a + b2

y

1

2

3

(a)

´ y

y

b

y (14, 29)

(12.5, 23) (20, 21) (3, 20)

(3.5, 21)

x a

´

1

2

(16, 0)

Problemas 7.41/7.42

x

3

(10, 0)

x

(23, 0)

x

(b)

Problemas 7.43–7.45

7.3 Cargas distribuidas ANTECEDENTES La carga ejercida sobre una viga (larguero) que soporta el piso de un edificio está distribuida sobre la longitud de la viga (figura 7.5a). La carga ejercida por el viento sobre una torre de televisión está distribuida a lo largo de la altura de la torre (figura 7.5b). En muchas aplicaciones de ingeniería, las cargas están distribuidas en forma continua a lo largo de líneas. En esta sección se mostrará que el concepto del centroide de un área puede ser útil en el análisis de objetos sometidos a dichas cargas.

(a)

(b)

Figura 7.5 Ejemplos de fuerzas distribuidas: (a) Carga uniformemente distribuida, ejercida por el piso sobre una viga de la estructura de un edificio. (b) Carga del viento distribuida a lo largo de la altura de una torre.

328

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Descripción de una carga distribuida

y

x

(a) y w x

(b)

Figura 7.6 (a) Carga de una viga con sacos de arena. (b) La carga distribuida w representa la carga ejercida por los sacos.

Se puede usar un ejemplo sencillo para demostrar cómo se expresan de manera analítica este tipo de cargas. Suponga que se apilan sacos de arena sobre una viga, como se muestra en la figura 7.6a. Resulta claro que la carga ejercida por los sacos se distribuye sobre la longitud de la viga, y su magnitud en una posición x dada depende de qué tan alto estén apilados los sacos en esa posición. Para describir la carga, se define una función w tal que la fuerza descendente sobre un elemento infinitesimal dx de la viga es w dx. Con esta función es posible representar la magnitud variable de la carga ejercida por los sacos de arena (figura 7.6b). Las flechas indican que la carga actúa hacia abajo. Las cargas distribuidas en líneas, desde los casos más simples como el del propio peso de una viga, hasta los más complicados como la carga de sustentación distribuida a lo largo del ala de un avión, se modelan mediante la función w. Como el producto de w y dx es una fuerza, las dimensiones de w son (fuerza)兾(longitud), y w se puede expresar en newtons por metros en unidades del SI y en libras por pie en unidades de uso común en Estados Unidos.

Determinación de la fuerza y el momento Suponga que se conoce la función w que describe una carga distribuida particular (figura 7.7a). La gráfica de w se llama curva de carga. Como la fuerza actúa sobre un elemento dx de la línea es w dx, es posible determinar la fuerza F ejercida por la carga distribuida integrando la curva de carga con respecto a x:

F =

w dx. LL

(7.10)

También es posible integrar para determinar el momento respecto a un punto ejercido por la carga distribuida. Por ejemplo, el momento respecto al origen debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dx es xw dx, por lo que el momento total respecto al origen debido a la carga distribuida es

M =

xw dx. L L

(7.11)

y w

x

x

dx w dx

Cuando sólo se tiene interés en la fuerza total y el momento total ejercidos por una carga distribuida, ésta se puede representar con una sola fuerza equivalente F (figura 7.7b). Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posición– x sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual al momento de la carga distribuida respecto al origen:

(a)

xF =

y F

_ x

x (b)

Figura 7.7 (a) Una carga distribuida y la fuerza ejercida sobre un elemento diferencial dx. (b) La fuerza equivalente.

LL

xw dx.

Por consiguiente, la fuerza F es equivalente a la carga distribuida si ésta se coloca en la posición

LL

xw dx . x = w dx LL

(7.12)

7.3 Cargas distribuidas

329

Analogía del área Observe que el término w dx es igual a un elemento de “área” dA entre la curva de carga y el eje x (figura 7.8a) (se utilizan comillas porque w dx es en realidad una fuerza y no un área). Interpretada de esta manera, la ecuación (7.10) establece que la fuerza total ejercida por la carga distribuida es igual al “área” A entre la curva de carga y el eje x:

y w dA  w dx x

F =

LL

w dx =

LA

(a)

dA = A.

(7.13)

y

LL

xw dx

LL

= w dx

LA

FA A

Sustituyendo w dx  dA en la ecuación (7.12), se obtiene

x =

x

dx

x (b)

x dA

LA

.

(7.14)

dA

La fuerza F es equivalente a la carga distribuida si actúa en el centroide del “área” entre la curva de carga y el eje x (figura 7.8b). El uso de esta analogía para representar una carga distribuida mediante una fuerza equivalente puede ser muy útil cuando la curva de carga es relativamente simple.

Figura 7.8 (a) Determinación del “área” entre la función w y el eje x. (b) La fuerza equivalente es igual al “área”, y la línea de acción pasa por su centroide.

RESULTADOS y w

x

x

dx

Para representar una carga que se distribuye a lo largo del eje x, se define una función w tal que la fuerza descendente sobre un elemento dx del eje x sea w dx. La gráfica de w se llama curva de carga.

w dx

F M

LL

L L

w dx,

(7.10)

xw dx,

(7.11)

y

La fuerza total descendente y el momento horario total respecto al origen debido a la carga distribuida w que actúa sobre un intervalo L del eje x pueden determinarse por integración.

FA A x

La fuerza total descendente F debida a una carga distribuida es igual al “área” A entre la curva de carga y el eje x. Cuando dicha fuerza se representa mediante un vector, éste es equivalente a la carga distribuida si se coloca en el centroide del “área”. (Es decir, el momento horario respecto al origen debido al vector de fuerza es igual a M.) Lo anterior se denomina analogía del área.

330

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo activo 7.5

Viga con una carga distribuida (䉴 Relacionado con el problema 7.46) La viga de la figura está sometida a una carga distribuida “triangular” cuyo valor en B es de 100 N/m (es decir, la función w se incrementa linealmente de w  0 en A hasta w  100 N/m en B). Determine las reacciones de la viga en A y B.

100 N/m A

B 12 m

Estrategia Es posible usar la analogía del área para representar la carga distribuida mediante una fuerza equivalente. Luego se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A y B. Solución y

El “área” de la carga distribuida triangular es igual a un medio de su base por su altura, o 1 (12 2

2

(12 m) 3 8 m

m)  (100 N/m)  600 N.

El centroide del “área” triangular está en 2

x  3 (12 m)  8 m.

1 (12 m)(100 N/m) 2  600 N

x

Ax Ay

B 12 m

Fx  Ax  0, Fy  Ay  B  600 N  0, Mpunto A  (12 m)B  (8 m)(600 N)  0.

Aplique el equilibrio.

Resolviendo se obtiene Ax  0, Ay  200 N, y B  400 N.

Problema de práctica a) Determine w como una función de x para la carga triangular distribuida en este ejemplo. b) Use las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza descendente total y el momento horario total respecto al extremo izquierdo de la viga debido a la carga triangular distribuida. Respuesta: a) w =

100 x N/m. b) F  600 N, M  4800 N-m. 12

331

7.3 Cargas distribuidas

Ejemplo 7.6

Viga sometida a cargas distribuidas (䉴 Relacionado con el problema 7.48)

La viga que se muestra en la figura está sometida a dos cargas distribuidas. Determine las reacciones en A y B.

400 N/m

6m

800 N/m

6m

A

400 N/m B 6m

Estrategia En este caso puede aplicarse con facilidad la analogía del área a la carga uniformemente distribuida entre A y B. Se tratará a la carga distribuida sobre la sección vertical de la viga como la suma de cargas uniforme y triangular, y se usará la analogía del área para representar cada carga distribuida mediante una fuerza equivalente.

y



6m 400 N/m

x

Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga, expresando la carga distribuida a la izquierda como la suma de cargas uniforme y triangular. En la figura b se representan las tres cargas mediante fuerzas equivalentes. El “área” de la carga distribuida uniforme a la derecha es (6 m)  (400 N/m)  2400 N, y su centroide está a 3 m de B. El área de la carga distribuida uniforme sobre la parte vertical de la viga es (6 m)  (400 N/m)  2400 N y su centroide está en y  3 m. El área de la carga distribuida triangular es–2 1(6 m)  (400 N/m)  1200 N y su centroide se ubica en y  –21 (6 m)  2 m. A partir de las ecuaciones de equilibrio 兺Fx  Ax  1200 N  2400 N  0, 兺Fy  Ay  B  2400 N  0, 兺Mpunto A  (6 m)B  (3 m)(2400 N)  (2 m)(1200 N)  (3 m)(2400 N)  0, se obtiene Ax  3600 N, Ay  400 N y B  2800 N.

Razonamiento crítico Cuando se analiza un problema que implica cargas distribuidas, ¿debería usarse siempre la analogía del área para representar las cargas como se hizo en este ejemplo? La analogía del área es útil cuando una curva de carga es suficientemente simple para que su área y la ubicación de su centroide sean fáciles de determinar. Cuando no se da este caso, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza y el momento ejercidos por una carga distribuida. Este enfoque se ilustra en el ejemplo 7.7.

400 N/m

Ax

400 N/m

Ay

6m

B 6m

(a) Diagrama de cuerpo libre de la viga. y

2400 N 1200 N 2m

2400 N 3m

3m Ax 6m

x Ay

B 6m

(b) Representación de las cargas distribuidas mediante fuerzas equivalentes.

332

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.7

Viga con una carga distribuida (䉴 Relacionado con el problema 7.49) La viga que se muestra en la figura está sometida a una carga distribuida, a una fuerza y a un par. La carga distribuida es w  300x  50x2  0.3x4 lb/pie. Determine las reacciones en el soporte fijo A. y 2000 lb w 10,000 pies-lb x

A

10 pies

10 pies

Estrategia Como se conoce la función w, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza y el momento ejercidos sobre la viga por la carga distribuida. Después pueden emplearse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A. Solución En la figura a se aísla la viga y se muestran las reacciones en el soporte fijo. La fuerza descendente ejercida por la carga distribuida es 10

w dx = 1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 4330 lb. L0 3

L

El momento horario respecto al punto A ejercido por la carga distribuida es

3

10

xw dx =

L

L0

x1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 25,000 pies-lb.

A partir de las ecuaciones de equilibrio 兺Fx  Ax  0, 兺Fy  Ay  4330 lb  2000 lb  0, 兺Mpunto A  MA  25,000 pies-lb  (20 pies)(2000 lb)  10,000 pies-lb  0, se obtiene Ax  0, Ay  2330 lb y MA  25,000 pies-lb. y 2000 lb w

MA Ax

10,000 pies-lb x A

Ay

10 pies

10 pies

(a) Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Razonamiento crítico Cuando se utiliza la ecuación (7.11), es importante tener en cuenta que se está calculando el momento horario debido a la carga distribuida w respecto al origen x  0.

333

Problemas

Problemas 䉴 7.46 En el ejemplo activo 7.5 suponga que la carga distribuida se modifica como se indica en la figura. Determine las reacciones sobre la viga en A y en B.

7.50 Determine las reacciones en el soporte fijo A que se muestra en la figura. y

60 N/m A

w  3(1  x2/25) kN/m

B 8m

4m

Problema 7.46

A

5m

Problema 7.50

7.47 Determine las reacciones en los puntos A y B de la figura.

6 pies

200 lb/pie A

B

7.51 Un ingeniero mide las fuerzas ejercidas por el suelo sobre una sección de 10 m de la cimentación de un edificio y encuentra que dichas fuerzas están descritas por la carga distribuida w  10x  x2  0.2x3 kN/m. a) Determine la magnitud de la fuerza total ejercida sobre la cimentación por la carga distribuida. b) Determine la magnitud del momento respecto a A debido a la carga distribuida.

6 pies

4 pies

x

y

200 lb/pie

Problema 7.47

2m

10 m

A x

䉴 7.48 En el ejemplo 7.6, suponga que las cargas distribuidas se modifican como se indica en la figura. Determine las reacciones sobre la viga en A y en B. 400 N/m

Problema 7.51 6m 600 N/m

6m

A

400 N/m B

7.52 Determine las reacciones sobre la viga mostrada en A y en B.

6m

Problema 7.48

3 kN/m

2 kN/m A

䉴 7.49 En el ejemplo 7.7, suponga que la carga distribuida que actúa sobre la viga desde x  0 hasta x  10 pies está dada por w  350  0.3x3 lb/pie. a) Determine la fuerza descendente y el momento horario respecto a A ejercido por la carga distribuida. b) Determine las reacciones en el soporte fijo.

B 4m

2m

Problema 7.52

334

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.53 La fuerza de sustentación aerodinámica del ala que se 7.54 Determine las reacciones sobre la barra AB mostrada en A y muestra en la figura está descrita por la carga distribuida en B. w = -300 21 - 0.04x2 N/m. La masa del ala es de 27 kg y su centro de masa está ubicado a 2 m del punto R en la raíz del ala. 400 lb/pie B a) Determine las magnitudes de la fuerza y el momento respecto a y R ejercidos por la fuerza de sustentación del ala. 2 pies b) Determine las reacciones sobre el ala en R. y 600 lb/pie

400 lb/pie

2 pies x

4 pies

x

R

A

4 pies

Problema 7.54

2m 5m

Problema 7.53

7.55 Determine las reacciones sobre el elemento AB en A y en B. 300 lb/pie A

B

6 pies

6 pies

6 pies

C

300 lb/pie

Problema 7.55

7.56 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE de la armadura mostrada e indique si están en tensión (T) o en compresión (C). 2m A

2m B

2m D

2m F

H 2m

C

E

4 kN/m

G

8 kN/m

Problema 7.56

7.4 Centroides de volúmenes y líneas

7.58 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC del bastidor que se muestra en la figura.

7.57 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado en A y en B.

A

400 N/m 200 N/m

1m

3 kN/m

C

B

160 mm

1m

C

B 2m D E

400 N/m 160 mm

160 mm

160 mm

Problema 7.57

7.4 Centroides de volúmenes y líneas ANTECEDENTES En esta sección se definen los centroides, o posiciones p...