Chapitre 6 Les paramètres de concentration d’une série statistiques PDF

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Chapitre 6 : Les paramètres de concentration d’une série statistiques

I.

LE DEGRÉ DE CONCENTRATION

1) Définition La concentration se mesure par la différence entre l’écart médiane et médiale, noté ∆𝑀 rapporté à l’étendue de la distribution.

Plus ∆𝑀 est élevé par rapport à l’étendue, plus la distribution est concentrée. Pour ce calcul il faut connaître la médiale.

2) La médiale : définition et exemple o La médiane est la valeur de la variable qui partage l’effectif de la série en deux parties égales (Rappel). La médiale est la valeur de la variable qui partage la masse en deux parties égales. On appelle masse le produit (𝑛𝑖.𝑥𝑖) des effectifs par les valeurs de la variable. Ce produit indique l’importance que représente chaque valeur de la variable. o Considérons l’exemple suivant pour cerner la notion de masse.

Les 88 étudiants ayant validé 2 modules ont au total validé 176 modules soit 176/350 = 50,3% du nombre total de modules validés de l’ensemble des étudiants

3) La médiale : calcul La médiale se calcule exactement comme la médiane. La seule différence est que au lieu des fréquences cumulés des effectifs (𝑛i)on se sert plutôt des fréquences cumulées des masses (𝑛i.𝑥i). Le calcul de la médiale se fait en deux étapes : 1) On calcule la série des masse (𝑛i.𝑥i) 2) On calcule la médiale à partir de la série des (𝑛i.𝑥i) comme dans le cas d’une médiane.

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4) Les 4 étapes du calcul de la concentration 1. On calcule la médiane de la série 2. On calcule la médiale de la série 3. On mesure l’écart entre médiale et médiane (∆𝑀 est toujours positif) 4. On calcule le rapport ∆𝑀 par l’étendue.

5) Interprétation En règle générale : -

Une concentration inférieure à 40% est faible

-

Une concentration comprise entre 40% et 60% est moyenne

-

Une concentration supérieure à 60% est forte.

6) Exemple Soit la distribution suivante des revenus en K€ des salariés d’une entreprise.

La classe médiane est [40 ; 50[ et la Me = 46,50 K€ (50% des salarié ont un revenu inférieur à 46 500 €. La classe médiale est [50 ; 80[ et Ml = 61,27 K€ (50% de la masse totale des revenus va aux salariés gagnant moins de 61 270 €). Concentration = (61,27 – 46,50) / (100 – 10) = 0,1641111 (soit 16,4%) La concentration des revenus est donc faible.

II.

L’INDICE DE CONCENTRATION (DE GINI)

1) Définition L’indice de Gini, noté IG, l surface comprise entre la bissectrice et la courbe de concentration : la surface de concentration. L’indice de Gini est compris entre 0 et 1 les valeurs d’une distribution égalitaire et une distribution intégralement inégalitaire.

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2) Courbe de concentration La courbe de concentration (ou courbe de Lorentz) est la courbe qui relie les fréquences cumulées des effectifs (en abscisse) et les fréquences cumulées des masses (en ordonnées). Dans le cas de l’exemple traité plus haut on a les valeurs suivantes :

3) Calcul : courbe d’égalité parfaite Elle est décrite par la bissectrice du repère qui traduit la situation où un pourcentage de population a un pourcentage équivalent de la masse.

4) Calcul : courbe d’inégalité parfaite Elle décrit le cas où1% de la population reçoit la totalité de la masse.

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5) Calcul : surface de concentration C’est l’aire entre la courbe d’égalité parfaite et la courbe de concentration.

6) Calcul : rapport des aires

Si A = 0 égalité parfaite, IG = 0 Si B = 0 inégalité parfaite, IG = 1 Aire (A+B) = ½ Donc IG = 2x Aire (A)

7) Calcul aire de concentration L’aire de concentration (Z) est égale à la différence entre l’aire de forte concentration (égale à ½ ) et l’aire sous la courbe de concentration (égale à la somme des trapèzes).

8) Calcul : rapport des aires Donc comme on a :

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