Cifras significativas y Notación científica Vicky Mañalich Arana PDF

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apunte de clase sobre cifras significativas...

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Lic. Ma. Victoria Mañalich Arana

Unidad 1

CIFRAS SIGNIFICATIVAS • ¿Qué son las cifras significativas? Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas El número de cifras significativas viene determinada por el error en la determinación de esa magnitud

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas dan un sentido de la precisión de un resultado. Por ejemplo, supongamos que en el laboratorio tenemos un termómetro con una escala de décima de grado (0,1°C) y leemos que la temperatura es de 22,2ºC. ¿Qué pasaría si el valor estuviera entre 22,2 y 22,3ºC? Algunos alumnos darían el valor 22,25 y esto no es correcto ya que no podemos dar mas cifras significativas que la mínima unidad que nos da el aparato de medida.

COMO CRITERIO DE LA CÁTEDRA, VAMOS A CONSIDERAR 3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA TODOS LOS EJERCICIOS (excepto para la última unidad de la guía – pH)

CIFRAS SIGNIFICATIVAS • ¿Cómo determinamos las cifras significativas? Para saber qué cifras de un número son significativas, utilizamos reglas: Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos Por ejemplo: 3,14159 → seis cifras significativas → 3,14159 5,694 → cuatro cifras significativas → 5,694 Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos Por ejemplo: 2,054 → cuatro cifras significativas → 2,054 506 → tres cifras significativas → 506

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos Por ejemplo: 0,054 → dos cifras significativas → 0,054 0,0002604 → cuatro cifras significativas → 0,0002604 Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos Por ejemplo: 0,0540 → tres cifras significativas → 0,0540 30,00 → cuatro cifras significativas → 30,00

CIFRAS SIGNIFICATIVAS - REDONDEO • Cuando realizamos algún tipo de operación matemática puede ser interesante reducir el número de decimales que obtenemos para evitar trabajar con valores excesivamente grandes

Se denomina redondeo al proceso de eliminar las cifras situadas a la derecha de la última cifra significativa.

• Para saber cómo y cuándo realizar el “Redondeo”, existen Reglas:

CIFRAS SIGNIFICATIVAS - REDONDEO Regla 1. Cuando el primero de los dígitos descartados es cinco o mayor que cinco, la cifra anterior se aumenta en una unidad Ejemplo: Redondear el número 45,367892 a cuatro cifras significativas. Dado que nos tenemos que quedar con 4 cifras, hay que descartar desde la 5ª en adelante, es decir desde el 7, que es mayor que 5 por lo que aumentamos en una unidad la cifra significativa anterior (corte). 45,367892

7 es mayor que 5

Por lo tanto se obtiene como respuesta 45,37

CIFRAS SIGNIFICATIVAS - REDONDEO Regla 2. Cuando el primero de los dígitos descartados es menor que cinco, la cifra anterior se mantiene igual Ejemplo: Redondear el número123,643421 a 5 cifras significativas Dado que nos tenemos que quedar con 5 cifras, hay que descartar desde la 6ª en adelante, es decir desde el 3, es menor que 5 por lo que la cifra significativa anterior la dejamos inalterada 123,643421

3 es menor que 5

Por lo tanto se obtiene como respuesta 123,64

CIFRAS SIGNIFICATIVAS – OPERACIONES MATEMÁTICAS • Cuando realizamos operaciones matemáticas con valores decimales, el resultado debe redondearse hasta un número determinado de cifras significativas. • Teniendo en cuenta que los números con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritméticas con dichos números • Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicación intenta cumplir con esta condición

CIFRAS SIGNIFICATIVAS – OPERACIONES MATEMÁTICAS Cifras significativas en sumas y diferencias Regla 1. Cuando sumamos o restamos, el resultado debe tener el mismo número de decimales (números después de la coma) que el número que menos decimales tenga Por tanto, en una adición o una resta, el número de cifras significativas de los números que se suman o se restan no es el criterio para establecer el número de cifras significativas del resultado, mientras que sí lo es el número de decimales Por ejemplo: (a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 (b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 (c) 34,6 + 17,8 + 15,7

68,1

67

11,6

CIFRAS SIGNIFICATIVAS – OPERACIONES MATEMÁTICAS • Supongamos que hacemos la siguiente cuenta: 12,8 + 1,2 = 14,0 En este caso, tenemos que expresar el resultado con un decimal, por lo que escribimos 14,0 Si expresamos el resultado como 14, es incorrecto ya que estamos disminuyendo la precisión del mismo • Supongamos que tenemos la cuenta 4,00 x 2,50 = 10,0 3 c.s.

3 c.s.

3 c.s.

El resultado debemos expresarlo como 10,0 y no como 10 Aunque nos parezca que el 0 después de la coma no es importante, no escribirlo implica disminuir la precisión con la que se informa un valor

CIFRAS SIGNIFICATIVAS – OPERACIONES MATEMÁTICAS Cifras significativas en productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones) Regla 2. En un producto o una división el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo número de cifras significativas que el número de origen que posea menor número de cifras significativas Por lo tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicación o la división el número de cifras significativas de las cantidades que intervienen en la operación sí es el criterio a la hora de determinar el número de dígitos significativos del resultado. Ejemplo: 12,07 x 3,2 = 38,624 ≈ 39 4 c.s.

2 c.s.

2 c.s.

Se realiza el corte luego de la segunda cifra significtaiva. Como la c.s. siguiente es mayor a 5, se redondea sumando una unidad (se dice que se redondea “para arriba”).

NOTACIÓN CIENTÍFICA • ¿Qué es la notación científica? La notación científica es una forma de representar números para simplificar la forma en que se escriben. Se utiliza sobre todo cuando los números son muy grandes o muy pequeños Cualquier número puede ser representado con notación científica, expresándolo como el producto de un número (con o sin decimales) y una potencia de 10 Para expresar un número en notación científica, podemos seguir los siguientes pasos:

NOTACIÓN CIENTÍFICA Si la parte entera del número es distinta a 0 1. Contamos el número de dígitos de la parte entera del número Por ejemplo, si queremos escribir 1567,12 en notación científica, la parte entera es 1567, tiene 4 dígitos 2. Desplazamos la coma hasta situarla detrás del primer dígito En nuestro ejemplo: 1,56712 3. A continuación, lo multiplicamos por 10 elevado al número de dígitos de la parte entera menos 1 Como eran 4 dígitos, lo multiplicaremos por 10 elevado a 3: 1,56712 x 103 4. El número obtenido será la notación científica Por tanto 1567,12 = 1,56712x103 5. Teniendo en cuenta el criterio de la Cátedra de utilizar tres cifras significativas y el redondeo correspondiente, el número anterior deberíamos escribirlo como: 1,57x103

NOTACIÓN CIENTÍFICA Si la parte entera del dígito es igual a 0 1. Contamos el número de ceros de la parte decimal (después de la coma) hasta llegar a un número distinto de 0 Por ejemplo si queremos convertir 0,000734 a notación científica, la parte decimal es 000734 que tiene tres dígitos iguales a 0 2. Desplazamos la coma hasta situarse detrás del primer dígito que no sea 0. En nuestro caso quedaría 7,34 3. A continuación lo multiplicamos por 10 elevado al número de ceros que contamos anteriormente más 1 adicional, y luego le cambiamos el signo Como eran 3 ceros, si le sumamos 1 más son 4 y si le cambiamos el signo será -4, por tanto el resultado lo multiplicaremos por 10 elevado a -4. En nuestro caso quedaría como 7,34 x 10-4 4. El número obtenido será la notación científica En nuestro caso, 0.000734 = 7,34x10-4

NOTACIÓN CIENTÍFICA •Más ejemplos Escribir en notación científica los siguientes números a) 10460000000 b) 0,0000000425 c) 0,00000000007204 d) -4325000000000,15

NOTACIÓN CIENTÍFICA Respuestas: a) 10460000000 Como la parte entera del número NO ES 0: 1. Contamos el número de dígitos de la parte entera: 11 dígitos. 2. Desplazamos la coma hasta situarla detrás del primer dígito: 1,0460000000 3. Lo multiplicamos por 10 elevado al numero de dígitos menos 1: 1,0460000000 x 1010 4. Eliminamos todos los ceros de la parte decimal desde la derecha a la izquierda hasta encontrar un dígito distinto de 0: 1,046x1010 (o lo que es lo mismo 1,046E10) 5. Teniendo en cuenta el criterios de la Cátedra de utilizar tres cifras significativas y el redondeo correspondiente, el número anterior deberíamos escribirlo como: 1,05x1010

NOTACIÓN CIENTÍFICA Respuestas: b) 0,0000000425 Como la parte entera del número ES 0: 1. Contamos el número de ceros de la parte decimal (después de la coma) hasta llegar a un número distinto de cero, siete dígitos 0. 2. Desplazamos la coma hasta situarse en el primer dígito que no es 0, que en nuestro caso sería 4,25 3. A continuación lo multiplicamos por 10 elevado al número de ceros que contamos anteriormente más 1 adicional (y luego le cambiamos el signo) : 4,25x10-8 o lo que es lo mismo 4,25E-8. 4. El número anterior ya cumple el criterios de la Cátedra de utilizar tres cifras significativas

NOTACIÓN CIENTÍFICA Respuestas: c) 0,00000000007204 Como la parte entera del número ES 0: 1. Contamos el número de ceros de la parte decimal (después de la coma) hasta llegar a un número distinto de cero, diez dígitos 0. 2. Desplazamos la coma hasta situarse en el primer dígito que no es 0, que en nuestro caso sería 7,204 3. A continuación lo multiplicamos por 10 elevado al número de ceros que contamos anteriormente más 1 adicional (y luego le cambiamos el signo) : 7,204x10-11 o lo que es lo mismo 7,204E-11. 4. Teniendo en cuenta el criterios de la Cátedra de utilizar tres cifras significativas y el redondeo correspondiente, el número anterior deberíamos escribirlo como: 7,20x10-11

NOTACIÓN CIENTÍFICA Respuestas: d) -4322000000000,15 Como la parte entera del número NO ES 0: 1. Contamos el número de dígitos de la parte entera: 13 dígitos. 2. Desplazamos la coma hasta situarla detrás del primer dígito: -4,3220000000015 3. Lo multiplicamos por 10 elevado al numero de dígitos menos 1: -4,3220000000015x1012 4. El número que obtenemos es -4,3220000000015x1012 o lo que es lo mismo -4,3220000000015E12 5. Teniendo en cuenta el criterio de la Cátedra de utilizar tres cifras significativas y el redondeo correspondiente, el número anterior deberíamos escribirlo como: -4,32x1012...