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Deficinion y aplicaciones del circulo de mohr...

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Introducción al Circulo de Mohr Christian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máximos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se lama Circulo de Mohr, este método fue desarrollado cerca del año 1882. El método de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibujo de un círculo en el plano sT. El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante (τ) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal (σ) en el eje horizontal. A continuación, se hará una breve explicación sobre este método haciendo énfasis en los conceptos más importantes además de la resolución de problemas empleando este método.

Circulo de Mohr

El círculo de Mohr, es un me.todo utilizado en el campo de la ingeniería para representar gra.ficamente el estado tensional que padece un punto de un so.lido en un instante determinado. También, es posible calcular momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptándolos a las características que posee una circunferencia, dígase, radio, centro, entre otros, Por otro lado, nos facilita el cálculo del esfuerzo cortante absoluto y la deformación máxima absoluto. Desde tiempo atrás, los círculos de Mohr han sido una forma de solucio.n gráfica de la ecuacio.n que determina el esfuerzo cortante máximo, y también, solución gráfica para conseguir los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. Muchos libros de texto sobre disen1o de ma.quinas presentan el me.todo del ci.rculo de Mohr como una te.cnica primordial de solucio.n para la determinacio.n de esfuerzos principales. Antes de la llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el me.todo gra.fico de Mohr era una forma razonable y pra.ctica de resolucio.n de la ecuacio.n. Sin embargo, en la actualidad y debido a ciertos avances, es posible y mucho más práctico determinar numéricamente los esfuerzos principales. El plano de Mohr (en el cual se trazan los ci.rculos de Mohr) se organiza con sus ejes mutuamente perpendiculares, aunque en el espacio real el a.ngulo entre ellos representa 180o. Todos los a.ngulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados σx, σy y σz, se trazan a lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 tambie.n se determinan sobre este eje. La ordenada es el eje para todos los esfuerzos cortantes. Se utiliza para trazar los esfuerzos cortantes aplicados τXY, τXZ y τYZ y determinar el esfuerzo cortante ma.ximo5. Mohr utilizo. una regla convencional de signos para esfuerzos cortantes, que hace que los pares esfuerzo cortante en sentido del movimiento de las agujas del reloj sean positivos, lo que no es consistente con la regla de la mano derecha, ahora esta.ndar. Aun así, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el ci.rculo de Mohr. La mejor manera de demostrar el uso del ci.rculo de Mohr es mediante ejemplos.

Estado bidimensional Considere un cuerpo sobre el cua.l actu.a un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposicio.n se hace con el fin de no complicar por dema.s la matema.tica siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matema.tico a fin de ser asociado con el modelo fi.sico:

Figura 1

En la figura 1, adema.s de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un a.ngulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente. Queremos obtener una relacio.n entre las tensiones en las a.reas Ax , Ay y Aθ. Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direccio.n del eje x: −σx.Ax −τθ.Aθ.senθ+σθ.Aθ.cosθ = 0 (1) Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direccio.n del eje y: −σy.Ay +τθ.Aθ.cosθ+σθ.Aθ.senθ = 0

(2)

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

−σx.cosθ−τθ.senθ+σθ.cosθ=0,dondeAθ @ 0 (1-1) −σy.senθ+τθ.cosθ+σθ.senθ=0, dondeAθ @ 0 (2-2) Multiplicando la ecuacio.n (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a: 0 = −σx.cos^2 (θ) −σy.sen^2 (θ) +σθ (3) Y considerando las relaciones trigonome.tricas:

Se llegaría a:

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuacio.n (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonome.tricas (4) se llega a:

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son más que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuacio.n de la circunferencia se obtiene considerando la relacio.n

trigonome.trica sen2θ+cos2θ=1, entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el a.ngulo formado por la recta con origen en el centro de la misma ([(σx +σy)] / 2 ) y un punto cualquiera perteneciente al peri.metro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinacio.n del plano para el cua.l las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.

Figura 2

Así como se calculo. el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aqui. es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones. Estado tridimensional Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cua.l adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo.

Figura 3

Sean las tensiones σi y las a.reas Ai correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro. El equilibrio de fuerzas de este so.lido se puede expresar a partir de la siguiente ecuacio.n vectorial:

Como dAi = dA.νi , a.ngulo entre los planos dA y dAi . (a) se puede escribir

donde υi es el coseno del vectores normales a los De esta manera la ecuacio.n de la forma:

Ahora la componente normal al plano oblicuo de συ se puede obtener proyectando esta sobre la direccio.n ν:

Ahora la componente normal al plano oblicuo de συ se puede obtener proyectando esta sobre la direccio.n ν:

Considerando que el versor νtiene coordenadas cartesianas υi, entonces: υ = υi . t i , donde t i es el versor en la direccio.n Xi. Considerando la ecuacio.n (b) entonces la (c) se puede escribir como:

Luego la tensio.n total puede expresar en funcio.n coincidente con el plano oblicuo:

, ver figura 1. sobre el plano oblicuo se de sus componentes normal y

Figura 4

Entonces a partir de (b) llega a:

Supongamos que elegimos coordenados de modo que principales (ejes principales: la tensio.n normal de las nula y el corte nulo). El tensiones en ese caso para cúbico sera.:

y

(d)

se

los ejes estos son los aquellos en donde caras es ma.xima o tensor de un elemento

Si queremos conocer el versor ν de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del vector ν es uno (υ12 + υ22 + υ32 = 1), se obtienen las siguientes ecuaciones:

Este es un sistema de ecuaciones con tres inco.gnitas. Suponga que tensiones principales magnitudes tal que: σI > . Las inco.gnitas de este son:

tres las tienen σII > σIII sistema

Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben cumplir:

Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los ci.rculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son sime.tricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. Una gra.fica a modo de ejemplo se presenta a continuacio.n:

Figura 5

Caso particular: Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en mo.dulo, este caso se denomina de tensiones hidroesta.ticas, en e.ste, el ci.rculo de Mohr se representa por un punto. Se llama asi. porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto cu.bico diferencial se sumerge en un li.quido, sus seis caras esta.n sometidas a la misma tensio.n y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinacio.n de este objeto, las tensiones siempre sera.n normales.

Circunferencia de Mohr para momentos de inercia Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En

muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos: Centro de la circunferencia

Radio de una circunferenci

Ejemplo del Círculo de Mohr Determinacion de esfuerzos planos mediante los circulos de Mohr:

Problema Un elemento de esfuerzo biaxial tiene σx, = 40.000psi, σy = 20 000 psi y τxy = 10.000 psi en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (ccw). Determi+nense, mediante ci+rculos de Mohr, los esfuerzos principales.

Pasos: 1. Trazamos los ejes del plano de Mohr segu.n se muestra en la figura, e identifi.quelos como σ y τ. 2. Se señala el esfuerzo dado σx, (como li.nea OA) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normales (horizontal). Nuevamente, en este ejemplo σx, es un esfuerzo de tensio.n (positivo). 3. Se sitúa el esfuerzo σy (como li.nea OB) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normal. σy es tambie.n un esfuerzo de tensio.n (positivo) y,

por lo tanto, aparece en la misma direccio.n que σx, a lo largo del eje de σ. 4. Un par de esfuerzos cortantes τxy crean un par contra las agujas del reloj sobre el elemento. Este par esta. equilibrado por el par con las agujas del reloj proporcionado por los esfuerzos cortantes τyx, Recuerde que ambos esfuerzos cortantes (τxy y τyx,), son iguales, de acuerdo con la ecuacio.ny positivos, de acuerdo con la regla convencional de signos de esfuerzos. 5. Trazamos una li.nea vertical hacia abajo de la punta de σx, (como li.nea AC) para representar la magnitud a escala de τxY. Mediante una li.nea vertical hacia arriba de la punta de σy (como li.nea BD) se representa la magnitud a escala de τyx. 6. El dia.metro de un ci.rculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La li.nea AB atraviesa a la li.nea CD. El ci.rculo se dibuja tomando esta interseccio.n como centro. 7. Dos de los tres esfuerzos normales principales se encuentran a continuacio.n en las dos intersecciones que este ci.rculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales en los puntos P1, y P3: σ1 = 44.142 y σ2 = 15.858 psi. Si nos detenemos en este momento, el esfuerzo cortante ma.ximo parece ser τ12 = 14.142 psi, segu.n queda definido por la proyeccio.n de una tangente horizontal desde la parte superior del ci.rculo con el eje de las τ, segu.n se muestra en la figura 1.b. 8. Dado que en este ejemplo no hay ningu.n esfuerzo aplicado en la direccio.n z, se trata de un estado de esfuerzos en dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal, σ3, se sabe que es igual a cero, por lo tanto esta. localizado en el punto 0, tambie.n marcado como punto P3. 9. Todavía quedan dos ci.rculos de Mohr por dibujar. Los tres ci.rculos de Mohr quedan definidos por los dia.metros (σ1 – σ3), (σ1 – σ2) y de (σ2 – σ3), los cuales, en este caso, son las li.neas P1P3, P1P2 y P2P3, segu.n se observa en la Figura 1. 10. Llevamos li.neas tangentes horizontales de la parte de los extremos superior e inferior de cada ci.rculo de Mohr hasta cruzar el eje del cortante (vertical). Esto determina el valor de los esfuerzos cortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: es decir, τ13 = 22.071, τ12 = 14.142 y τ23 = 7.929 psi. El mayor de

todos e.stos es τ máx= 22.071, y no el valor 14.142 que se determino. en el paso 7. 11. Siempre es el ci.rculo que esta. entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante ma.ximo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo principal igual a cero no era el menor de los tres, porque uno de los esfuerzos principales era negativo. En este ejemplo, el esfuerzo principal igual a cero es el menor. Por lo tanto, si se dejan de dibujar los tres ci.rculos, se hubiera llegado a un error serio en el

valor de τ máx.

Parte de la solución gráfica: Figura 6

Conclusión El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La razón para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. Las aplicaciones de esta construcción gráfica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores.

Bibliografía

Antico, F., & Pezzoti, S. (2008). Circulo de Mohr para el cálculo de tensiones princiales en el plano y espacio. Obtenido de http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de %20Mohr2.pdf Círculo de Mohr. (s.f.). Obtenido http://www.bdigital.unal.edu.co/53252/48/circulodemohr.pdf

de

Representación del Estado Tensional de un Sólido. (s.f.). Obtenido de http://lim.ii.udc.es/docencia/din-sismec/circulos.pdf Rodrìguez, H. (12 de Enero de 2014). Circulo de Mohr. Obtenido de https://www.academia.edu/7518816/CIRCULO_DE_MOHR? ends_sutd_reg_path=true...