Elasticité - Schéma de Mohr PDF

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Notes de cours, niveau L3/M1 de mécanique des milieux continus. Notes prises en 2017, retapées en 2018....

Description

ÉLASTICITÉ – SCHÉMA DE MOHR I – Représentation graphique de Mohr I.1 : Cadre du problème On considère un milieu continu en deux dimensions. Le vecteur contrainte est donc un vecteur de deux composante et le tenseur des contraintes est une matrice 2×2 de 4 éléments, qui se diagonalise dans un repère propre R∗.=( ux , uy ) . On note σ I et σ II les contraintes principales respectivement sur les axes x et y . À la surface de ce milieu, on considère un n et le vecteur tangentiel est point M dont le vecteur normal (normale sortante) est noté  t . On note R le repère engendré par ces deux vecteurs et le point M . Enfin, on noté  n . désigne par θ l’angle entre l’axe principal x et le vecteur normal  σ  Le vecteur contrainte est noté T =(τ ) dans le repère R . Dans le repère R∗. , (n , t )

n et  les vecteurs  t s’écrivent trivialement :

(

)

 n = cos( θ ) sin ( θ )

(

)

t = −sin(θ ) et  cos(θ )

( ux , uy )

( ux , uy )

Le tenseur des contraintes, lui, s’écrit en fonction des contraintes principales :

(σ

^ σ=

0

I

0 σ II

)

(ux , u y)

On cherche à exprimer les différentes composantes τ et σ du vecteur contrainte en fonction des scalaires σ I , σ II et θ .

I.2 : Calcul des composantes dans le repère local

σ n au point M , soit T =^ La relation de Cauchy donne 

(

)

cos(θ )  T= σ I σ II cos(θ )

. Mais

( ux , uy)

T =σ n + τ t dans le repère propre R∗. donne également l’égalité : l’autre décomposition 

(

)

 T = σ cos(θ )− τ sin (θ ) σ sin ( θ )+τ cos( θ )

{

. On résout donc le système suivant : ( ux , uy )

}

σ I cos(θ )=σ cos ( θ )− τ sin(θ ) σ II sin(θ )= σ sin( θ )+τ cos(θ )

La « multiplication » des lignes par cos(θ ) ou sin(θ ) permet de résoudre aisément le système en utilisant la linéarisation des formules trigonométriques, et on obtient :

σ +σ σ −σ II σ =σ I cos ²( θ )+ σ II sin ² ( θ )=( I II )+( I )cos(−2 θ ) 2 2 σ I −σ II )sin(−2θ )................... τ =( σ I −σ II )cos( θ )sin (θ )=( 2

En notant p=

{

σ I + σ II σ I −σ la demi-somme et r= 2 2

{στ

II

}

la demi-différence, on a alors :

}

= p+r cos(−2θ ) =r sin (−2 θ ).....

On retrouve l’équation d’un cercle de rayon r et de centre ( p ,0) , c’est le cercle de Mohr.

I.3 : Représentation de Mohr La représentation de Mohr consiste à tracer le cercle de Mohr dans le repère orthonormé ( σ , τ ) . L’état du système en chaque point peut se lire alors sur le cercle en utilisant l’angle que la normale à la surface en ce point fait avec l’axe x du repère propre.

Un état de contrainte sur une facette dont la normale à la surface faisant un angle θ par rapport à l’axe principal majeur est représenté par un point sur le cercle de Mohr obtenu en tournant de −2θ par rapport à l’axe des abscisses. On retrouve les contraintes principales aisément : - La facette de normale ux correspond à un angle nul dans l’espace réel et donc un angle nul dans la représentation de Mohr, soit σ = p+r= σ I et τ =0 (contrainte principale majeure, pas de cisaillement), ce qui correspond au point I sur le cercle de Mohr. - La facette de normale uy , l’angle correspondant est π /2 dans l’espace réel, soit un angle −π dans la représentation de Mohr, soit σ = p+r=σ II et τ =0 (contrainte principale mineure, pas de cisaillement), ce qui correspond au point J sur le cercle de Mohr. De manière plus générale, deux facettes perpendiculaires sont représentées par deux points diamétralement opposés sur le cercle de Mohr.

II – Cas particuliers II.1 : Contraction uniaxiale Dans le cas de la contraction uniaxiale, la contrainte principale est nulle : σ II =0 ; le tenseur des contraintes peut se réduire au scalaire σ I . Les caractéristiques sont cercles sont alors : σ + σ II σ I σ I − σ II σ I = p= I = et r= 2 2 2 2 Le cercle, dont le rayon et l’abscisse du centre valant σ I /2 , est tangent à l’axe des ordonnées.

II.2 : Contraction isotrope Une contraction isotrope peut être obtenue en plongeant un système dans un fuide de pression homogène, la contrainte uniforme σ 0 étant alors la pression régnant dans le fuide. 0 σ 0= σ 0 Le tenseur des contraintes est alors ^ dans toutes les bases, les contraintes 0 σ0 principales étant égales. Les caractéristiques du cercle sont alors p= σ 0 et r=0 : le rayon des cercle est nul : la représentation de Mohr fait apparaître un point sur l’axe des abscisses.

(

)

II.3 : Cisaillement pur Le cas du cisaillement pur est intéressant. Par exemple, on peut engendrer de telles conditions sur un cube (un carré, en 2D) en exerçant une force surfacique τ 0 uniquement sur ses coins. La symétrie du problème indique alors clairement que les axes propres du système sont ceux engendrés par les diagonales du carré.

(

)

σ= 0 τ 0 Le tenseur des contraintes est alors ^ τ0 0

. (ux ,uy )

^ )=0 : le cercle est centré dans la L’invariance du changement de base donne p=Tr (σ représentation de Mohr. On montre alors que la valeur du rayon du cercle de Mohr est τ 0 .

III – Critères de plasticité ou de rupture III.1 : Nécessité de critères de plasticité Plusieurs tests sont généralement effectués en laboratoire pour mesurer la résistance d’un matériau. Deux cas majoritaires apparaissent : le matériau garde son élasticité hookéenne avant de rompre pour une certaines valeur de contrainte (cas des verres) et on parle de rupture fragile fragile, ou il perd son élasticité hookéenne sans rompre (cas des métaux), et on parle de rupture ductile ductile. Dans les deux cas, il est nécessaire de ne pas dépasser une certaine valeur de contrainte pour rester dans un cadre linéaire.

Un critère de plasticité, ou critère d'écoulement plastique, est un critère permettant de savoir, sous des sollicitations données, si un système se déforme plastiquement ou si il reste dans le domaine élastique.

III.2 : Critères de Tresca et de Von Mises De nombreux essais ont montré que l'on pouvait utiliser deux critères principaux : le critère de Tresca ou le critère de Von Mises. Ces deux critères de plasticité, qui sont des critères phénoménologiques, se formulent sous la forme d’une inégalité mettant en jeu les contraintes principales (deux valeurs, σ I et σ II , en deux dimensions), et une limite d’élasticité R e . · Le critère de Tresca s’écrit |σ I −σ II|≤R e : son tracé consiste en un hexagone dans la représentation de Mohr. · Le critère de Von Mises s’écrit √σ I ²+σ II ²−σ I σ II ≤Re : son tracé consiste en une ellipse dans la représentation de Mohr.

III.3 : Autres critères Il existe beaucoup d’autres critères phénoménologiques qui ne s’appliquent qu’à certains types de matériaux qui ont des propriétés spécifiques (critère de Rankine pour les matériaux dits « fragiles », critère de Mohr-Coulomb pour les milieux granuleux, …). Ces critères peuvent être plus précis que les critères de Tresca ou Von Mises mais leur expression est généralement plus compliquée. En pratique, le choix final du critère à utiliser dépend des exigences liées à l’utilisation du système étudié.

IV – Théorie en 3 dimensions IV.1 : Tricercle de Mohr Les résultats évoqués dans tout ce chapitre diffèrent lorsque l’on passe de deux à trois dimensions. En effet, chaque point du système peut également se trouver dans un état de contrainte triaxial (cas typique des points d’un solide soumis à une pression hydrostatique). Le tenseur des contraintes ^ σ possède alors trois valeurs propres σ I , σ II et σ III . L’étude du système se fait alors dans chaque plan défini par les axes propres : on étudie 0 0 0 σ I ,II = σ I σ I , III = σ I σ II , III = σ II les 3 matrices 2×2 ^ , ^ ,et ^ 0 σ III (u , u ) 0 σ III ( u , u ) 0 σ II ( u ,u )

(

)

x

y

(

)

x

z

(

)

y

plutôt qu’une matrice 3×3 diagonale contenant les trois valeurs propres. La représentation de Mohr contient alors trois cercles dans le même plan : on parle de tricercle de Mohr.

z

IV.2 : Critères de plasticité Les critères de plasticité se généralisent tous en 3 dimensions, ce qui donnent des expressions plus compliquées. La limite d’élasticité s’écrit : · R e=max(|σ I − σ II|;|σ I −σ III|;|σ II −σ III|) dans le critère de Tresca ; 1 · R e= √( σ I − σ II )²+( σ I −σ III ) ²+( σ II − σ III )² dans le critère de Von Mises. √2...