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teoría y resolución ejercicios dedicado al curso de resistencia de materiales 1 acerca del circulo de mohr...

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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA Resistencia de Materiales I – Sección “B-1”

CIRCULO DE MOHR

Tutor:

Ing. mayoupoma

Autores: CANO PUENTE JHONATAN BRAYAND ABY MARCO ANGEL Huancayo-Peru, agosto de 2020

INTRODUCCIÓN Christian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinar los esfuerzos máximos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se lama Circulo de Mohr, este método fue desarrollado cerca del año 1882. El método de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibujo de un círculo en el plano sT. El círculo de Mohr se dibuja en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante (τ) marcado en el eje vertical y el esfuerzo normal (σ) en el eje horizontal. A continuación se hará una breve explicación sobre este método haciendo énfasis en los conceptos más importantes además de la resolución de problemas empleando este método.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

Pág. ii

1.- Circulo de Mohr.

4

2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos.

4

2.1.- Caso bidimensional.

4

2.2.- Caso tridimensional.

5

3.- Círculo de Mohr para la tracción simple.

6

4.- Esfuerzo principal.

7

5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr.

7

Ejercicio 10-11

9

Ejercicio 10-27

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CONCLUSIÓN

13

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

14

ANEXOS

15

1.- Circulo de Mohr El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918). 2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos 2.1-

Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º: Medida 1

( σ x ,−τ )

Medida 2

( σ y,τ )

Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal ( σ ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial ( τ ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

4

 Centro del círculo de Mohr:

C :=σ med , 0¿=(

σ x +σ y , 0) 2

 Radio de la circunferencia de Mohr:

r :=

√(

)

σ x −σ y 2 2 +r xy 2

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por: σ max = σ med +r σ max =σ med + r Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por: T|x , y =

2.2.-

[

σx τ τ σy

]

Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

[

]

σ x τ xy τ xz T |x , y , z = τ yx σ y τ yz τ xz τ yz σ z

En el caso general, las tensiones normal ( σ ) y tangencial ( τ ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama ( σ , τ ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más

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complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares ( σ , τ ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr. 3.2.-

Círculo de Mohr para la tracción simple.

El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma: Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:  El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

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 El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.  El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

4.- Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales se notan como

σ 1 , σ 2 , σ 3 , y donde

σ 1 >σ 2> σ 3 , y en el

ángulo de rotación en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como τ max

y en el ángulo de rotación al que se da los

esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos. 5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr. Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento: 1.- Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas ya τ como eje de las ordenadas. 2.- Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y

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bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σ y, - τ) son los puntos que se trazarán. 3.- Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el diámetro del círculo cuyo centro es el punto C. 4.- Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV.

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10-11.

Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con

el circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos

σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom .

b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje

σ 1 y el eje τ máx .

d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS: σ x =−840 KPa

σ y =−35 KPa τ xy=650 KPa SAH

El lado inferior del triangulo: 1 a= (σ x −σ y ) 2 1 a= (−840− (−35 ) )=−402,5 KPa 2 El radio del circulo: 2 2 R= √a + b 2 2 R= √(−402,5 ) +(650 ) =764,53 KPa

El centro O del circulo esta en σ prom : 1 σ prom = (σ x +σ y ) 2 1 σ prom = ( −840+(−35 ) )=−437,5 KPa 2 El lado vertical del triangulo b=τ xy=650 KPa Esfuerzo cortante máximo = 764,53 KPa

σ 1=O+ R σ 1=σ prom +R σ 1=−437,5 +764,53=327,03 KPa Ángulos:

O=σ prom σ 2 =O−R σ 2 =−437,5−769,84=−1202,03 KPa

2∅=tan−1

2∅' =90º −2 ∅

9

( ba )

2∅' =90º −(−58,23 )=148,23º ∅' =

2∅=tan

1

10

−1

(

650

)=58,23º

10-27.

Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con

el circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos

σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom .

b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje

σ 1 y el eje τ máx .

d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS: σ x =775 KPa

σ y =−145 KPa τ xy=0 KPa

El lado inferior del triangulo: 1 a= (σ x −σ y ) 2 1 a= ( 775− (−145 ) ) =460 KPa 2 El radio del circulo: 2 2 R= √a + b 2 2 R= √( 460 ) +(0 ) =460 KPa

El centro O del circulo esta en σ prom : 1 σ prom = (σ x +σ y ) 2 1 σ prom = ( 775+( −145) ) =315 KPa 2 El lado vertical del triangulo b=τ xy=0 KPa Esfuerzo cortante máximo = 460 KPa

σ 1=O+ R σ 1=σ prom +R σ 1=315+460=775 KPa Ángulos:

O=σ prom σ 2 =O−R σ 2 =315−460=−145 KPa

11

−1

'

2∅=tan

2∅ =90º −0=90 º

'

2∅=tan−1

90º =45 º 2

0 ∅= =0 º 2

2∅ =90º −2 ∅

∅' =

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( ba ) ( 4600 )=0 º

CONCLUSIÓN

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros). Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La razón para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y los computadores.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BECARRY, F., 2007 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ LUNA, A., 2011 “Circulo de Mohr y Columnas”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-de-Materiales-Circulo-de-Mohry-Columnas. CASTRO, C., 2009 “Esfuerzos principales y el Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.scribd.com/doc/13955724/Esfuerzos-principales-y-elCirculo-de-Mohr LEÓN, D., 2006 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr

ANEXOS...