Tarea 4 Tiviano - Ejercicios resueltos de esfuerzos combinados, vigas continuas, circulo de mohr, PDF

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Ejercicios resueltos de esfuerzos combinados, vigas continuas, circulo de mohr, columnas, etc....

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra Resistencia de materiales II T 2018

Deber 4 Resistencia de materiales Profesor: Ing. Carlos Salvatierra Ayudante: Johan Sudario Nombre: Tiviano Milán Inés Vigas continuas 1) Una viga continua ABC con dos claros desiguales, uno con longitud L=5m y el otro con longitud 2L, soporta una carga uniforme de intensidad q=4KN/m (consulte la figura). Determine las reacciones RA, RB y RC para esta viga. Además, trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. (Resolver mediante ecuación de los tres momentos)

𝑴𝟏 𝑳𝟏 + 𝟐𝑴𝟐 (𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 ) + 𝑴𝟑 𝑳𝟐 +

𝑘𝑁 (4 𝑚 ) (5𝑚)3 6𝐴1 𝑎1 𝑤 𝐿3 = 125 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 = = 4 𝐿1 4

𝟏 𝟔𝑨𝟐 𝒃𝟐 𝟔𝑨𝟏 𝒂 =𝟎 + 𝑳 𝑳𝟏 𝟐

𝑘𝑁 (4 𝑚 ) (10𝑚)3 6𝐴2 𝑏2 𝑤 𝐿3 = = = 1000 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 𝐿2 4 4 2𝑀2 (15) + 125 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 + 1000 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 = 0 𝑀2 = −37,5 𝑘𝑁 ∙ 𝑀

∑ 𝑴𝑩 = 𝟎

5 𝑴𝟐 + 5(4) ( ) − 𝑅𝑎 (5) = 0 2 𝑅𝑎 = 2,5 𝑘𝑁 ∑ 𝑴𝑩 = 𝟎

𝑴𝟐 − 6(2)(5) − 𝑅𝑐 (10) = 0 𝑅𝑐 = 16,25 𝑘𝑁 +↑ ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎

𝑅𝐴 + 𝑅𝐶 + 𝑅𝐵 − 60 = 0 𝑅𝐵 = 41,25 𝑁

2) Resolver el ejercicio anterior por el método de Cross En los ejercicios de Cross utilizamos Excel para facilitar los calculos A

B

8333.33 -8333.33 -8375 8375 -4187.5 4187.5 -2093.75 2093.75 -1046.875 1046.875 -523.4375 523.4375

𝑅𝐴𝑏=

𝐼

𝐿

-8333.33 -16750 -4166.665 -8375 4187.5 -4187.5 2093.75 -2093.75 1046.875 -1046.875 523.4375 -523.4375 - 37624.995

and

𝐾𝐴𝑏 = 2

𝑀1 = 8333.33 and 𝐹𝐴𝐵 =

𝐾𝐴𝐵 ∑𝐾

=

𝑀1 = 0 and

C

2

3

and

D 33333.33 -8250 16666.665 -4125 2062.5 -2062.5 1031.25 -1031.25 515.625 -515.625 257.8125 -257.8125 37624.995

𝐾𝐶𝐵 = 1

;

𝑀2 = 33333.33 𝐹𝐵𝐶 =

𝑀2 = 37.6 Knm

𝐾𝐵𝐶 ∑𝐾

=

and

1

3

𝑀3 = 0

𝑀=

-33333.33 33333.33 -4125 4125 -2062.5 2062.5 -1031.25 1031.25 -515.625 515.625 -257.8125 -257.8125

𝑊𝐿3 12

3) De las siguientes vigas continuas calcular las reacciones, determinando los momentos internos correspondientes (Ecuación de los tres momentos)

𝑴𝟏𝑳𝟏 + 𝟐𝑴𝟐(𝑳𝟏 + 𝑳𝟐) + 𝑴𝟑𝑳𝟐 + 𝑴𝟐𝑳𝟐 + 𝟐𝑴𝟑(𝑳𝟐 + 𝑳𝟑) + 𝑴𝟒𝑳𝟑 +

𝟏 𝟔𝑨𝟐𝒃𝟐 𝟔𝑨𝟏𝒂 =𝟎 + 𝑳𝟐 𝑳𝟏

𝟔𝑨𝟐𝒂 𝟐 𝟔𝑨𝟑𝒃𝟑 =𝟎 + 𝑳𝟑 𝑳𝟐

𝑤 𝐿3 6𝐴1 𝑎1 6(4)3 = = 96 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 = 𝐿1 4 4

6𝐴2 𝑏2 6𝐴2 𝑎2 8(2) 2 ( 4 − 22 ) = 48 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 = = 𝐿2 4 𝐿2 6𝐴3 𝑏3 8(10)(6)3 = 288 𝑘𝑁 ∙ 𝑚2 = 60 𝐿3

∑𝑴 = 𝟎

𝑴𝟏 + 6(2)(1) = 0 𝑴𝟏 = −12 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

(−5)16 𝑀2 + 4𝑀3 = 96

(4) 𝑀2 + 20𝑀3 = −336 𝑀2 = −1,894 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑀3 = −16,421 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

∑ 𝑴𝟐 = 𝟎

𝑴𝟐 + 𝑴𝟏 + 6(6)(3) − 𝑅1 (4) = 0 𝑹𝟏 = 23,52 𝑘𝑁

∑ 𝑴𝟑 = 𝟎

𝑴𝟐 + 𝑴𝟏 + 3(6)(7) − 𝑅1 (8) − 𝑅2 (4) + 8(2)(2) = 0 𝑹𝟐 = 8,24 𝑘𝑁

4) Resolver el ejercicio anterior por el método de Cross A

B

0

1

-12000 0

8000 4000

-12000

12000

1

3/7

3/7

C

D

4/7

2/3

1/3

-8000 2000

4000

-4000

18000 6000

-12000 12000

-6000 857,1

4000 1142.9

-4000 13333.3

24000 -6666.7

0

4/7

2/3

1/2

1

-2000 2000

-2000 1000

2666.7

-2666.7

2666.7 666.7

-1333.3 1333.3

0

-1000 -714.3 71.4

2666.7 -952.4 -166.7 95.3 119.1 -68.1 -12 6.9 1688.8

-2666.7 -333.4 -476.2 238.1 47.6 -23.9 -34.1 17.1 -3231.3

3333.4 -333.4

0

-51 5.1 0

-1688.8

𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐴𝐵 = 3 4

9

9

4

𝐹𝐷𝐵𝐶 = 3/( + 3) =

𝐹𝐷𝐴𝐵 =1

4

3 3

and

𝐹𝐷𝐶𝐷 = 2/( + 3) = 2

9 9

𝐹𝐷𝐵𝐴 = 4/( + 3) = 4

3

𝐹𝐷𝐵𝐶 = 3/( + 3) = 2

𝑀1 = 0 and

𝐾𝐶𝐷 =

and 4

7 1

3

238.1 -23.9 17.1 3231.3 3 4

0 3

𝐾𝐶𝐷 = 2

𝐹𝐷𝐷𝐶 =1

3

7

2

3

𝑀2 = -1688.8 Nm

and

𝑀3 = -3231.3 Nm

1

5) De las siguientes vigas continuas calcular las reacciones, determinando los momentos internos correspondientes (Ecuación de los tres momentos)

6𝐴𝑏 =0 𝐿1 6𝐴𝑎 6𝐴𝑏 3𝑀1 + 12𝑀2 + 3𝑀3 + + =0 𝐿1 𝐿2 6𝐴𝑎 3𝑀2 + 6𝑀3 + =0 𝐿1 6𝑀1 + 3𝑀2 +

6𝐴𝑏 7 𝑤𝐿3 = 12.6 𝑘𝑁. 𝑚2 = 60 𝐿1 6𝐴𝑎 8 𝑤𝐿3 = 14.4 𝑘𝑁. 𝑚2 = 60 𝐿1 6𝐴𝑏 6𝐴𝑎 1 3 = = 𝑤𝐿 = 13.5 𝑘𝑁. 𝑚2 4 𝐿2 𝐿2 6𝐴𝑎 𝑃𝑎 2 (𝐿 − 𝑎2 ) = 30 𝑘𝑁. 𝑚2 = 𝐿2 𝐿 6𝐴𝑏 𝑃𝑏 2 (𝐿 − 𝑏 2 ) = 24 𝑘𝑁. 𝑚2 = 𝐿2 𝐿

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙

(1)

(2)

(3)

6) Resolver el ejercicio anterior por el método de Cross

En los ejercicios de Cross utilizamos Excel para facilitar los cálculos A

B

14400 0 -5775 5775 0 0 -1443.75 1443.75 0 0 -360.9375 360.9375 8.625

-14400 -11550 0 0 2887.5 -2887.5 0 0 721.875 -721.875 0 0 -25950

𝐾𝐴𝑏 = 1 and 𝐾𝐶𝐵 = 1 𝐾

𝐹𝐴𝐵 = ∑𝐴𝐵 = 𝐾

1 6

C

𝐹𝐵𝐶 =

𝑀𝐵𝐶 = 1500 and 𝑀𝐵𝐶 = 6000

𝑀1 = 8625 Nmand 𝑀1 = 0.8625 Knm

D

37500 -11550 0 0 2887.5 - 2887.5 0 0 721.875 - 721.875 0 0 25950

𝐾𝐵𝐶 ∑𝐾

𝑀2 = 2595 Nm

=

10 6

and

𝑀2 = 2.5950 Knm

; 𝑀=

- 37500 0 -5775 5775 0 0 -1443.75 1443.75 0 0 - 360.9375 360.9375 -5925

𝑊𝐿3 12

𝑀3 = 5925 Nm and

𝑀3 = 5.925 Knm

En este ejercicio ya que se realizó por dos métodos diferentes, los valores salen aproximados a los valores obtenido por el Método de 3 Momentos.

Esfuerzos combinados 7) Una ménsula en forma de L en un plano horizontal soporta una carga P = 150 lb (consulte la figura). La ménsula tiene una sección transversal rectangular hueca con espesor t = 0.125 in y dimensiones exteriores b = 2.0 in y h = 3.5 in. Las longitudes hasta las líneas centrales de los brazos son b1 = 20 in y b2 = 30 in. Considerando sólo la carga P, calcule el esfuerzo de tensión máximo σt, el esfuerzo de compresión máximo σc y el esfuerzo cortante máximo τmáx en el punto A, que está situado en la parte suprior de la ménsula en el soporte.

30 ) = 375 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 12 20 𝑀 = 150 ( ) = 250 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 12

𝑇 = 150 (

𝜏𝑥𝑦

Analizando punto A 𝜏𝑥𝑦

𝜎=

375(12) 𝑇 = 1306.62 𝑝𝑠𝑖 = = 2 0.106(3.5)(4) 𝑐𝑎𝑏

𝐶=

𝑀𝑐 𝐼

=

250(12)(1.75)

1 [2(3.5)3−(1.75)(3.25)3 ] 12

= 2453.67 𝑝𝑠𝑖

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = 1226.83 𝑝𝑠𝑖 2

𝑅 = √(

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2

𝜎

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 1792.33 𝑝𝑠𝑖 = 𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 + 𝑅 = 3019.15 𝑝𝑠𝑖 [𝑇] 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎 − 𝑅 = −565.5 𝑝𝑠𝑖 [𝐶]

𝜎

8) Un letrero está soportado por un poste circular con sección transversal hueca, como se muestra en la figura. Los diámetros exterior e interior del poste son 10.5 in y 8.5 in, respectivamente. El poste tiene una altura de 42 ft y pesa 4.0 k. Las dimensiones del letrero son 8 ft × 3 ft y pesa 500 lb. Observe que el centro de gravedad está a 53.25 in desde el eje del poste. La presión del viento contra el letrero es 35 lb/ft2. (a) Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento de esfuerzo en el punto A, que está en la superficie exterior del poste en su “frente,” es decir, la parte del poste más cercana al observador. (b) Determine los esfuerzos máximos de tensión, compresión y cortante en el punto A.

D=8.5 D=10.5

𝑃=

𝐹 𝐿𝑏 = (35 2 ) (24𝑓𝑡 2 ) 𝐴 𝑓𝑡 𝐹 = 840𝐿𝑏

Solo existe cortante por torsión en A 𝜎=

𝜏𝑥𝑦 =

𝜏𝑥𝑦 =

𝑤 𝐴

𝜏𝑥𝑦 =

𝑇𝑐 𝐽

𝑇𝐶 𝐽

𝝉𝒙𝒚 = 𝟒𝟑. 𝟏𝟏 𝑷𝑺𝑰𝑨 𝜎𝑤 = 𝜋 4

−4000 𝐿𝑏

(10.52 −8.52 )

𝝈𝒘 = −𝟏𝟑𝟒. 𝟎𝟐𝟓 𝑷𝑺𝑰

𝑇 = (840)(53.25𝑖𝑛) 𝐽=

10.5 2 5446.74𝑥104

(44.73𝑥103 )(

𝑇 = 𝐹𝐷

)

𝐽=

𝜋

32 𝜋

32

𝑻 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟑𝒙𝟏𝟎𝟑 𝑳𝒃 . 𝒊𝒏

(𝐷𝑒𝑥𝑡 4 − 𝐷𝑖𝑛𝑡 4 )

(10.54 − 8.54 )

𝑱 = 𝟓𝟒𝟒𝟔. 𝟕𝟒 𝒊𝒏𝟐 𝐶=

𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2

=

−134.025 2

𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(

𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2

→ 𝑪 = −𝟔𝟕. 𝟎𝟏 𝑷𝑺𝑰 2

) + 𝜏𝑥𝑦 2

𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟕𝟗. 𝟔𝟖 𝑷𝑺𝑰

𝜏𝑚𝑎𝑥𝑇 = 𝐶 + 𝑅 → 𝝉𝒎𝒂𝒙𝑻 = 𝟏𝟐. 𝟔𝟕 𝑷𝑺𝑰

𝜏𝑚𝑎𝑥𝐶 = 𝐶 − 𝑅 → 𝝉𝒎𝒂𝒙𝑪 = −𝟏𝟒𝟔. 𝟔𝟗𝑷𝑺𝑰

9)

Para el estado de esfuerzo que se muestra en la figura, determine el rango de valores de θ para los cuales el esfuerzo normal σx´ es menor o igual que 20 ksi.

∁=

∁=

20 ksi R a

C

𝝋

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

18−0

∁= 𝟗

𝑹 = 𝟏𝟓 𝒌𝒔𝒊

2

sin 𝜑 = sin 𝜑 =

20−𝐶 𝑅

20−9 15

𝜑 = sin−1 ( 15) 11

𝝋 = 𝟒𝟕, 𝟐°

Por lo tanto:

𝑅 = √92 − 122

𝜽 ≤ 𝟐𝟑, 𝟔°

𝜑 = 2𝜃

𝜃=

𝜑

𝜽 = 𝟐𝟑, 𝟔°

2

10) Para el estado de esfuerzo que se muestra en la figura, se sabe que los esfuerzos normal y cortante están dirigidos como se indica y que x 14 ksi, y 9 ksi y mín 5 ksi. Determine a) la orientación de los planos principales, b) el esfuerzo principal máx, c) el esfuerzo cortante máximo en el plano.

𝜎𝑥 = 14𝑘𝑠𝑖 𝜎𝑦 = 9𝑘𝑠𝑖

a)

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 5𝑘𝑠𝑖 𝑐=

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 14 + 9 = = 11.5𝑘𝑠𝑖 2 2 2.5

cos 2𝜃 =

2𝜃 = cos−1 = 67.38° 6.5 𝜃 = 33.69°

b) 𝑟 = 𝑐 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 11.5 − 5 = 6.5 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑐 + 𝑟 = 11.5 + 6.5 = 18𝑘𝑠𝑖

c) 𝜏𝑥𝑦 = 𝑟 = 6.5 𝑘𝑠𝑖

2.5 6.5

Columnas 11) Una columna articulada de 2 m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo E=13 GPa y σ permisible = 12 MPa y usando un factor de seguridad de 2.5, para calcular la carga crítica de pandeo de Euler, determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar: a) una carga de 100 kN, b) una carga de 200 kN.

𝐸 = 13 𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑝 = 12𝑀𝑃𝑎 𝐹. 𝑆 = 2.5 𝑃𝑒𝑟 = 𝑃 ∗ 𝐹. 𝑆

𝑃 = 100𝐾𝑁 𝐸𝐼𝜋 2 𝑃𝑒𝑟 = 2 𝐿 (2.5)(100𝐾𝑁)(4) = 7.79𝑥10−6 𝑚4 𝐼= 𝑁 (1.3𝑥109 2 ) (𝜋 2 ) 𝑚 2 = √3.1175𝑥10−3 𝑚4 𝐿 𝐴 = 5.5834𝑥10−3 𝑚2 a)

b) 𝑃 = 200𝐾𝑁 𝐼 = 1.5587𝑥10−5 𝐿4 = 1.87𝑥10−4 𝐴 = 0.0136 𝑚2

12) La barra uniforme de aluminio AB tiene una sección transversal rectangular de 20 x 36 mm y está apoyada mediante pasadores y ménsulas, como se muestra en la figura. Cada extremo de la barra puede rotar libremente alrededor de un eje horizontal a través del pasador, pero la rotación respecto del eje vertical se evita por medio de las ménsulas. Si se utiliza E = 70 GPa, determine la carga céntrica permisible P si se requiere un factor de seguridad de 2.5.

𝑃=

𝑃=

𝐸𝐼𝜋2 𝐿𝑒 𝐹𝑠

𝜋2 (70𝑥109 )(7,78𝑥10−8 ) (2)(2,5)

𝑃 = 10749,97 𝑁

𝐼=

(363 )(20) 12

𝐼 = (7,78𝑥10−8 𝑚4 )

𝑃 = 10,74997 𝐾𝑁 𝑃=

𝜋2 (70𝑥109 )(2,4𝑥10−8 ) (2)(2,5)(0,5)

𝑃 = 6,63 𝐾𝑁

𝐼=

(203 )(36) 12

𝐼 = (2,4𝑥10−8 𝑚4 )

13) Cada uno de los cinco puntales consisten en un tubo de aluminio de 32 mm de diámetro exterior y 4 mm de espesor de pared. Con E = 70 GPa y un factor de seguridad de 2.3, determine la carga permisible P0 para cada una de las condiciones de apoyo que se muestran en la figura.

Caso1,4,5 𝐿

𝑅

=

0,7(2)

0,0625

= 22,4

𝜋

𝐴 = (∆𝑒𝑥𝑡 2 − ∆𝑖𝑛𝑡 2 ) 4

𝐴 = 351,85𝑚𝑚2

𝑟=√

𝐼=

4

𝜋

𝑟 4 = 64 (∆𝑒𝑥𝑡 2 − ∆𝑖𝑛𝑡 2 )

𝐼 = 21,9911𝑚𝑚4 𝜎𝑇 = 176 𝑀𝑃𝑎

𝐼 𝐴

𝑟 = 0,0625 76𝑥106 𝑁 351,85 ) )( 𝑃=( 1 𝑚2 100000

𝜋

𝑃 = 61,93 𝐾𝑁

Caso 2 𝐿

𝑅

2(2) = 64 = 0,0625

𝜎𝑇 =

372𝑥103 𝐿 ( )2 𝑅

𝜎𝑇 = 90,82 𝑀𝑃𝑎 90,82𝑥103 𝑁 351,85 ) )( 𝑃=( 1 𝑚2 100000

𝑃 = 31,95 𝐾𝑁

Caso 3

𝐿 0.5(2) = 16 = 𝑅 0,0625 𝐿 𝜎𝑇 = 212 − 1,59 ( )1 𝑅

𝜎𝑇 = 186,56 𝑀𝑃𝑎

186,56 𝑥106 𝑁 351,85 )( 𝑃=( ) 1 𝑚2 100000

𝑃 = 65,64 𝐾𝑁...