Cocientes notables-2 - Productos Notables PDF

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COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmos correspondiente, osea sin necesidad de efectuar la operación. Estos casos especiales son de la forma general:

x, a son las bases y n  N * Condiciones que deben cumplir: a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales así:

x n a n x a

x n a n x a

Numéricamente

x10 a 10 x a

Donde:

ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

n n x a

;

x a

n n x a

;

x a

x

x a

b)

Calculo del resto Por el teorema del resto: x – a = 0  x = a R = an – an = 0

a

+

;

n n x a x a

R=0 Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

xn  a n

1

n a

x a

PRIMER CASO:

a)

n

0

a

+

0

+

0

Calculo del cociente Efectuando la división por el Método de Ruffini, donde previamente en el dividendo tendrá que completarse con ceros como términos falten.

+ ……………… 0

a2

a3

2

3

…………… a

n–1

–a

a

n

n

n–1

1 a a a …………… a 0 Como se está dividiviendo un polinomio de grado n entre uno de primer RESIDUO grado, el cociente resultante será de grado (n – 1) Entonces: n n x a x a

= xn–1 + xn–2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ a n – 1

Para cualquier valor de “n” Ejemplos: Calcular el cociente en forma directa de:

1)

x4  a4 = x3 + x2 a + x a2 +a3 x a

8x 3  27 y 3 = (2x) 2 + (2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 2x  3y 6xy + 9y2

x–a=0 x=a R = an + a n R = 2an  0

2)

SEGUNDO CASO

n n x a x a (NO ES COCIENTE NOTABLE) a)

Veamos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. b) Calculo del cociente Análogamente aplicando la regla de Ruffini: Q(x) = xn + 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4a3 + … + a n – 1 R = 2a n Luego el cociente completo es:

Calculo del resto

n n x a x a

= xn–1 + xn–2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 +……+ a n – 1 +

2a n x a

Para cualquier valor de “n”. Importante:

Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta en consecuencia NO ES UN COCIENTE NOTABLE. TERCER CASO

x a)

n

a

n

x a

Calculo del resto:

x + a = 0  x = –a

R = (–a) n + an Si: n = # par  R = a + a = 2a  0  cociente completo Si: n = # impar  R = – an + an = 0  cociente exacto b) Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini se obtiene: 1) Para n = # Par: Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a 2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 n

n

R = 2a n  0 Luego el cociente completo es: n = # par

n n x a x a c)

n

n Términos

= xn–1 – xn–2a + xn – 3 a2 – xn – 4 a3 +……–a n – 1 +

Para n = # impar:

Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a 2 – x n – 4 a3 + ……… + a n – 1

n Términos

2a

n

x a

R= 0 Luego el cociente exacto es: n = # impar

n n x a x a

n–1

=x

–xn–2 a + xn – 3 a 2 – xn – 4 a3 +……+ a n – 1

CUARTO CASO:

xn  an x a

a)

Calculo del resto: x+a=0  x=–a R = (–a)n – a n Sí : n = # par  R = an – an = 0 [Cociente exacto] Sí : n = # impar  R = – a n – an = – 2a n  0 [ cociente completo] b) Calculo del cociente: Aplicando el método de Ruffini, se obtiene: 1)

Para n = # par Aplicando el método de Ruffini se obtiene:

Lugar par Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a 2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 R= 0

n Términos

Luego el cociente exacto es: n = # par

n n x a x a 2)

n–1

=x

–xn–2 a + xn – 3 a 2 – xn – 4 a3 +……–a n – 1

Para n = # impar

Lugar impar

Q(x) = x n – 1. – x n – 2 a + x n – 3 a 2 – x n – 4 a3 + ……… – a n – 1 R = –2an  O Luego el cociente completo es: N = # impar

n n x a x a

n Términos

= xn–1 –xn–2 a + xn – 3 a2 – xn – 4 a 3 +……+a n – 1–

2a n xa

El signo del último término del cociente varía por estar ocupando diferente lugar. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que:

n n x a x a Donde:

= xn–1 + xn–2 a + x n – 3 a2 + xn – 4 a3 ……+ xa n – 2 + an –1

T1

T2

T3

T1 = x n – 1 = x n – 1 a 0 T2 = x n – 2 a = x n –2 a1 T3 = x n – 3 a 2 = x n – 3 a 2

T4

. . ..

T69 = ……… = x n – 69 a 68

. ..

En. general

T = k

x

n –k k–1

(1  k  n)

a

Signo

* Donde K es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador. “Ósea el exponente de x es igual al exponente común de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1” * Regla para el SIGNO

Todos son positivos (+)

a) Cuando el divisor es de la forma (x – a) b) Cuando el divisor es de la forma (x + a) Ejemplos: 1) x

6

 a

x a

6

K = # impar  (Positivo +) K = # par (Negativo – ) = x5 – a x 4 + a2 x3 – a3 x 2 + a4 x – a5

2) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo: Solución:

x

155

93 a 5 3 x a

 5 31  a 3 31

* Dando la forma de un cociente notable: x

5 3 x a

Como el divisor es de la forma (x + a) y el término a buscar es par (k) tendrá signo negativo (–)

 T22 = – (x5)31 – 22 (a3) 22 – 1 T22 = –(x 5)9 (a3)21  T22 = – x45 a63

LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE 1) Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente. Ejemplo:



 2) 3) 4) 5) 6) Ejemplo

x 100



x



y 100 y



# de términos del cociente = 100

 

 

4 50  y6 50 y 200  x  # términos del cociente = 50 6 4 6  y x  y El cociente se caracteriza por ser completo, y ordenado respecto a sus bases además de ser homogéneo respecto a las mismas. El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. Apartir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno a uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. Si el divisor es un binomio diferente (x – a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si en un binomio suma (x +a) los términos del cociente serán alternados ( los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos). Solo cuando “ n ” es impar, las bases del término central tendrán igual exponente.

x 200 x4



x7  a 7

= x 6 + x 5 a + x 4 a2 + x3 a3 + x2 a4 + xa5 +a6 x a 7) Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de: x121  a 121 Solución:

x a

121  x 121 * Intercambiamos las bases de la siguiente manera: a a x *Luego: T35 = a121 – 35 x35 –1 Izquierda Derecha T35 = a86 x34 O también T35 = x34 a 86

8)

Sí:

xm  a n p q , Origina un cociente notable. x a

Entonces se cumple:

m n  Además: p q

m n   Número de Tér min os p q Ejemplo: n 1 200  y x Sí: 2 4 Origina un cociente notable, x  y calcular el valor de “n” Solución: * Como origina un cociente notable:

n 1 200   n + 1 = (50)(2) 2 4

PROBLEMAS Hallar “n” si el cociente es notable: 5 n 6  x5n 3  y    x n 1  yn 2

a) 1 d) 4 2.

b) 2 e) 5

c) 3

a) x y d) x15y5

x 3  y2 b) x12.y e)15.x15 y6

c) x6y15

3. Calcular (a + b), sabiendo que el término de lugar 12 del cociente notable es: x a  yb 2 23 es : x y 2 3 x  y a) 60 b) 62 c) 65 d) 63 e) 50 4. ¿Cuántos terminos posee el siguiente cociente notable?

a2m 6  b m 3 m 1 m  3  b a

a) 2 d) 32

b) 4 e) 30

a) 83 d) 86

c) 16

n y Es: x2 y 82 y2

b) 84 e) N.A.

c) 85

6. Calcular el término de lugar 82 en el desarrollo del cociente notable.

x500  a400 5 4 x a a) –x85 .a328 b) x85 .a328 d) x90.a 324 e) x90 .a 7.

c)-x90 .a324

Calcular “n” si el cociente es notable: 5 n 6 x5n 3  y  x n  1  yn 2

b) 5 e) N.A.

c) 6

8. Hallar el número de términos en el siguiente cociente notable:

x 22n  1  y28m 4 ; sí el término de lugar 17 es: x m  yn

x56y128 9. Hallar el grado absoluto del T15 En el C.N.

xm  x2 

Hallar el término cuarto en: x 27  y18 15 6

n x  x2 

a) 3 d) 7

n = 100 – 1  n = 99 1.

5. Calcular “n” si se sabe que el penúltimo término del desarrollo de:

a) 36 d) 44

yn ; Sí el término 7 tiene la forma: xb .yb y3 b) 40 e) 48

c) 42

10. Reducir:  x 44  x 33    1   x 4  x 3    1

   1  x 50  x 45    1    10  x 9    1    x Respuesta: ......................... TAREA DOMICILIARIA 11. Hallar a + b + c. Sí el termino central del cociente notable: 3 3 a  40  yb  114 x xa  y b

Es el noveno y es igual a: x 40 y c a) 11 b) 48 d) 54 e) 59

c) 53

12. Cuál es el valor numerico del término central de:  x  y  100   x  y100 2 2 8xy x  y





para x = 3; y = 2 2 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

De su desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que: a + c = 20 a3 +c3 = 5840 Calcular “K” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10 15. En la división notable exacta: uno de los términos del cociente

notable es: (x + y) 25 y17 . hallar el lugar que ocupa dicho término, contado a partir del final. a) 23 b) 32 c) 26 d) 62 e) 49 16. Si: xp y28 ; x16 y2(p-6) Son términos equidistantes en el cociente notable de la división

x

m

y

n

x4  y 7

.Calcular (m + n + p)

a) 235 b) 225 d) 255 e) 265 17. En el siguiente C.N.

a=b=c=d=1 a) 1 d) 2

b) -1 e) 3

c) 0

Cusco,3/05/2021

14. Dado el cociente notable: x a  y12 ; El término de lugar “K” xb  yc

xy

         Hallar el V.N. del término central para

c) 3

13. Si un término en el desarrollo del cociente notable: n p xn  y es x12 x 3y n  3  yn 2 Hallar “n-p” a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

 x  y n  y n

2 2 50 2 2 50  ad b  c bc a  d a 2b 2  c 2d 2 a 2 c2  b2 d2

c) 245...