Álgebra 2 - Productos Notables y Factorización PDF

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Productos Notables
Factorización...

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Algebra Productos Notables y Factorización II. Aprendizajes Esperados:  Operar expresiones algebraicas aplicando reglas de factorización y productos notables. III. Síntesis esquemática de Contenidos 4. MÓDULO ÁLGEBRA.  Productos notables:  Cuadrado de binomio  Cubo de Binomio.  Suma por diferencia  Producto de dos binomios con un término común.  Factorización:  Máximo factor común.  Diferencia de dos cuadrados.  Suma y diferencia de dos cubos.  Agrupamiento de términos. Recordar: PRODUCTOS NOTABLES: Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Esto puede escribirse de memoria sin hacer todos los pasos de la multiplicación. Veremos los más comunes. 1. Cuadrado de Binomio:

( a+b )2 =a2 +2ab +b2 ( a−b)2 =a 2−2 ab+b2

El cuadrado de binomio lo podemos representar por el área de un cuadrado cuyo lado es un binomio:

2. Cuadrado de trinomio: 3. Cubo de Binomio: . Suma por su diferencia: 4 5. Suma de cubos: 6.

Diferencia de cubos:

7. Producto de binomios:

(a+b+c )2 =a2 +b2 +c 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ac 3 ( a±b ) =a 3 ±3 a2 b+3 ab2 ±b3 ( a+b ) (a−b )=a 2−b 2 2 3 3 (a+b )(a 2−ab +b )=a + b ( a−b ) ( a 2 +ab + b2) =a 3−b3

( x+a)( x +b )= x 2 + x(a + b )+ ab

FACTORIZACIÓN: Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como producto de sus factores, es decir, en forma de multiplicación. Las formas más usuales de factorización son:

1. Factor Común:

ax +ab +5 a

Se factoriza por un factor común, por ejemplo: en

“a” es el factor común en todos

a ( x+b +5)

los monomios. Luego queda:

2. Factor Común Compuesto: Aquí no todos los términos de una expresión algebraica contienen factores comunes, pero agrupando adecuadamente podemos encontrar factores comunes por grupos, por ejemplo: Factorizar

ax + ay + bx +by

:

ax +ay + bx +by=( ax +ay )+( bx +by )=a( x + y )+b ( x+ y )= ( x + y )( a+b ) 3. Factorización por Productos Notables: Todas las fórmulas de los productos notables pueden ser usadas como fórmulas de factorización si las leemos de derecha a izquierda. 2

a) Cuadrado de Binomio:

a2 ±2 ab + b2 =( a±b )

a2 + b2 +c 2 +2 ab+2 bc +2 ac=( a+b+c )2 3 a3 ±3 a 2 b+3 ab 2 ±b 3=( a± b ) c) Cubo de Binomio: 2 2 Diferencia de cuadrados (suma por su diferencia): a −b = ( a+b ) ( a−b ) b) Cuadrado de trinomio:

d)

e) Suma de cubos: f)

Diferencia de cubos:

g) Producto de binomios:

a3 + b3 =(a+b )( a2 − ab + b2 ) a3 −b 3 =( a−b ) ( a2 + ab + b2 ) x 2 +x (a+b )+ab=( x+a )( x+b )

IV. Actividades (individuales o grupales). Desarrolla los siguientes ejercicios: Parte 1: Marque la alternativa correcta, previo análisis y desarrollo. 2

x +5 x+ 4 a) ( x−4 )( x +1 ) b) ( x+4 )( x+1 ) 1. El trinomio

se puede escribir como:

( x+4 )( x−1 ) d) ( x+5 )( x−1 ) c)

e) Ninguna de las alternativas anteriores.

2.

Si al área de un cuadrado de lado resulta: a)

0

c) 4 ab

2ab

b)

(a+b ) se le resta el área de cuadrado de lado d) 2 b

2

e)

(a−b )

a2 b2

3. ¿Cuál de los siguientes términos no es parte del resultado de la multiplicación 2 ( x 2−x +2)( x + x +1 )

a)

2

?

x

b)

( x+8)

2

2 ( x+ 8 )

b)

5. Si (a+3 )( a−3 )=( 1−a)a a) -9 b) -3

6.

, entonces c) 0

8. Sea a) 17

R=

3

d) 2( x−3)

[( ) ( ) ] 1 1 2 −b ÷ +b a a2

e)

e)

es igual a: d) 3

(x + y )2 −( x 2 − y 2) −2 xy 2 xy +2 y

b) 1

7. El valor de a a) 1−ab

a

x3

x4

( x−3) , el otro lado

. Si uno de sus lados mide

2( x−4)

c)

2

Al simplificar la expresión a) 0

d)

2 x + 2 x−24

4. El área de un rectángulo es mide: a)

2 x2

c)

2( x+4)

e) 9

se tiene:

c) 2 xy

d)

y x +1

2

e)

2y x +1

−1

es:

a b) 1+ab

c)

1+ab b

1 −b d) a

1 +b e) a

( x−9)( x +8 ) x 2 −ax−72 ¿Cuál debe ser el valor de a para que R=1 ? b) -17 c) 1 d) -1 e) 4 2

9. El área de un cuadrado está dada por la expresión x +2 x +1 , si el lado del cuadrado aumenta 2 unidades, ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a su nueva área? 2

a) c)

x +2 x+3 x+ 3 2

x +9 2 d) x +6 x + 9 2 e) x +3 x + 9 ( x+ 2)( x 2−4 ) =? ( x−2)( x 2 + 4 x +4 ) 10. a) 0 b) 1 c)

1

2

3

c) 2 4

d) 5

x+ 2 6

e) 7

x−2 8

9

10

b c Respuestas:

d

e

e

d

a

c

d

Parte 2: Resuelva según corresponda: 1. Desarrolle los siguientes cuadrados de binomios: 2

a) b)

2

( x+ y ) 2 ( 3 x−2 y )

d)

( 4 x y +5 x y ) 2 ( 9 x 2−7 y 2)

e)

( 2 a−3 b ) 2 +( 3 a−5 b )2

c)

(

3 x−

b 5

)

Sol. Sol.

16 x y +40 x y + 25 x y

Sol.

81 x −126 x y +49 y

3 22

2 3

2

x +2 xy+ y 2 2 9 x −12 xy +4 y

Sol.

4 6

5 5

4

2 2

4

2

13 a −42 ab+ 34 b

Sol.

2

6 4

2

2 6 b 9 x − xb+ 25 5 2

f) Sol. 2. Desarrolle las sumas por diferencias, cubos de binomios, según corresponda:

c)

( x−3 ) ( x +3 ) ( 2 x+ y ) (2 x− y ) ( 2 x−5 xy ) (2 x+ 5 xy )

d)

( 3 n2 −4 m3 ) (3 n2+4 m3 )

a) b)

e) f) g)

( a+3 x ) (a−3 x ) 3 ( x+2 ) ( 2 x+3 y )3

2

Sol.

i) j)

( y−2)3

4x −y

2 2

Sol. 4

6

9 n −16 m

Sol.

a −9 x

2

Sol.

2

x 3 +6 x 2 +12 x +3

3

Sol. Sol.

2 2

4 x −25 x y

Sol.

3

( t 2+t 3 ) 3 ( 1+x 4)

h)

x 2−9

Sol.

2

2

8 x +36 x y + 54 xy +27 y

3

t 6 +3 t 7 +3 t 8 + t 9 4

8

12

Sol.

1+3 x + 3 x + x

Sol.

y −6 y +10 y −8

Sol.

x 2 ( x 4 −3 x 2 +8 x −4 )

3

2

3. Factorizar: a)

x 6 −3 x 4 +8 x 3 −4 x 2

b)

3 x−12xy

c)

x y −x y +xy

2 2

Sol.

3 x ( 1−4 y)

Sol.

xy ( xy −x 2 y 2 +1 )

3 3

b

Sol.

5 m (3 n−2) Sol. 2 (1−2 x)

Sol. Sol.

6 x 2 y 4 ( y −2 x 2 y 2 +3 x) 5 yz ( x−1 )

2 2 a b a b a2 b5 + 2 − 3 x x x

Sol.

x 5 y 8 z 6 ( xyz 6 + x+ y 2 z 4) Sol. ( x−3) ( a+b+c ) a2 b2 ab b3 1+ − 2 x x x

xz + xw + yz + yw

Sol.

d)

15 mn −10 m

e)

2−4 x 2 5

f) g)

6 4

3 4

6 x y −12 y x +18 x y 5 xyz−5 yz 6 9 12

8 6 6

10 5 8

h)

x y z + y x z +z x y

i)

a( x −3 )+b (x −3)+ c ( x −3 )

Sol.

3 3

j) 4. Factor común compuesto: a) b)

ax − ay + bx −by+ cx − cy

c)

1+b + a +ab

d)

2 ax+2bx − ay −by −az −bz

(

)

( z+w )( x + y ) Sol. ( x− y )( a+b+c ) Sol. (1+ b )(1 + a) Sol. (a+b )( 2 x− y−z )

5. Factorizar: 2

2

a)

x −y

b)

9 m2−16 n4

c)

100 a −64 b

d)

25 x −49 y

e)

x 2−5 x +6

f)

x −2 x +1

Sol. Sol.

2

4

8

2

Sol.

2

Sol.

2

g)

x −22 x +121

Sol.

2

h)

x +8 x+ 16

i)

x + x −6

2

Sol.

2

j)

6 x +13 x+ 6

k)

12 x −23 x+ 5

2

Sol.

2

l)

8 x −2 x−15

m)

5 x −26 x + 5

2

n) o)

4

3

3

2

Sol.

2

x +5x +6 x

x −3 x −40 x

Sol. Sol.

( x− y )( x+ y )

( 3 m−4 n2 ) ( 3 m+4 n2 ) 4 4 Sol. ( 10 a−8b ) ( 10 a+8b ) 2 2 Sol. ( 5 x −7 y ) (5 x +7 y ) ( x−3 ) ( x−2) ( x−1 ) ( x−1) = ( x−1)2 ( x−11) ( x−11 ) = ( x−11) 2 2 Sol. ( x+4 ) ( x+4 ) = ( x+4 ) ( x+3 ) ( x−2) Sol. ( 2 x+3 ) ( 3 x+2 ) ( 4 x−1) ( 3 x−5) Sol. ( 2 x−3) ( 4 x+5 ) ( x−5 ) (5 x−1 ) x 2 ( x+3 ) ( x+2) x ( x +5 ) ( x−8 )

V. Evaluación de la Actividades Acciones de evaluación Indicadores de evaluación Cantidad de ejercicios correctos1. 48 - 55 40 - 47 33 - 39 22 - 32 1- 21

: Formativa : Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tus logros. Cantidad de ejercicios buenos: _________ Evaluación desempeño

Equivalencia en Nota

Muy Bueno Bueno Regular Deficiente Muy Deficiente

6,0 – 7,0 5,0 – 5,9 4,0 – 4,9 3,0 – 3,9 1,0 – 2,9

VI. Síntesis de los contenidos: Los conceptos más importantes que aprendí esta semana son:

Lo que puedo aplicar en mi trabajo, o en mi rutina personal o familiar es:

Las actitudes que desarrollé esta semana son:

1 Los ejercicios correctamente resueltos son aquellos en los que se logran responder todas las interrogantes del problema.

VII. Glosario Factorizar

( a±b) 2

consiste en escribir una expresión algebraica como producto de sus factores, es decir, en forma de multiplicación. Cuadrado de binomio

2

(a+b+c ) 3 ( a±b) ( a+b )(a−b )

Cuadrado de trinomio Cubo de binomio Suma por su diferencia

VIII. Links de interés Link extraído el 05 de enero de 2012 desde: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm http://www.vitutor.net/1/6.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm http://www.vitutor.com/ab/p/d_i.html...