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ÁREA DE MATEMÁTICAS Curso: ÁLGEBRA Grado: 3º SECUNDARIA Tema: PRODUCTOS NOTABLES Fecha: 14 / 04 / 2015 Profesor: GUILLERMO ROGGERO CALDAS PRODUCTOS NOTABLES 5. Producto de 2 binomios con un término común Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab que...

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ÁREA DE MATEMÁTICAS Curso: ÁLGEBRA Tema: PRODUCTOS NOTABLES Profesor: GUILLERMO ROGGERO CALDAS

PRODUCTOS NOTABLES

Grado: 3º SECUNDARIA Fecha: 14 / 04 / 2015

5.

Producto de 2 binomios con un término común

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

efectuar la operación de multiplicación. 1.

Desarrollo de un binomio al cuadrado

T.C.P.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – – (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 –

T.C.P.

–

Nota: (a – b)2 = (b – a)2

2 2 (a  3) (a  3) (a  3a  9) (a  3a  9) P 6 a  729

4) Si: x +

Diferencia de cuadrados

E = x3 +

(a + b) (a – b)= a2 – b2

Calcular el valor de: R = a5 + b5  a b  2  a b  2   a  2  b  2  R           4        b a   b   b a    a     2

Desarrollo de un binomio al cubo 3

2

2

3

7) Si:

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a +– b)3 = a3 -– 3a2–b + 3ab2–- b3

– – – – (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a –- b) = a -–b +–3ab(a - –b) 3

–

3

3

–

–

–

PROPIEDADES: (a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2) (a + b)3 - (a – b)3 = 2b(3a2 + b2) 4.

Suma y diferencia de cubos

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

x3

6) Simplificar:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)

3

1 = 4, hallar el valor de: x 1

5) Si se tiene que: a + b = 4 y ab = 2

IDENTIDADES DE LEGENDRE

3.

2) Simplificar:

3) Si a + b = 6 y ab = 8, hallar a2 + b2 y a3 + b3

T.C.P.: Trinomio cuadrado perfecto

2.

1) Efectuar: A = (x + 1) (x – 1) (x2 + 1) (x4 + 1) (x8 + 1) + 1

1 x2



1 y2

Hallar: E 



2

2 , xy

x 2  3y 2

7x 2  5y 2

8) Simplificar:

 1 1  1 1         ab a b a b  1 R=  2  ab 2

2

9) Simplificar:

n  n n   n 1 n 1  n 2  n  y 2   x 2 E   x 2  y 2   x 2  y 2   x 2    

10) Si:

2 2 m n 

Hallar el valor de: 2 2 P  m n 

2 2 2 m n  n ,

2 2 m n

21) Si: a + b = 5  ab = 7

11) Sabiendo que:

x=

3

1

3 14 5 5



3

1

Hallar: a4 + b4

3 14 5 5

A) 20 D) 30

12) Calcular el valor de 5x3 + 3x + 1 22) Si:

Si: x  3 16  8 5  3 16  8 5 Calcular: E

3 x  12x  4

13) Sabiendo que: E

Calcular:

x + 2 = 23 2x x 2 8 2x

m n   2, n m

E = 

A) 3 D) 2

B) 5 E) 1/2

k

C) 1

B) –x E) –2x

A) 2x D) –x

C) 0

24) Si a + b = x2 + y2  a – b = 2xy Hallar:

M = (x + 3)2 – (x – 3)2 – 12x + 5 B) 2x E) N.A.

C) x + 1

P = (x2 – y2)2 B) (a – b)2 E) 4ab

A) 2ab D) (a + b)2 25) Si: a + b = 6

16) Reducir: Hallar: E = – (x + 2) (x + 2) (x + 1) – x

A) x D) 0

k

Se obtiene:

15) Reducir:

B = (x +

m n     n m

Calcular:

[(x+1)2(x2+2x–1) – (x–1)2(x2–2x–1)]1/3

1  x  1 x x   1  x  . x x   1     x    x     

2)3

C) 23

23) Después de simplificar:

14) Si: x2 – 3x + 1 = 0, calcular:

A) 5 D) 4

B) 21 E) 10

B) 2 E) N.A.

ab = 4

3 3 a b

A) 12 D) 9

C) 1



C) 0

B) 11 E) 8

C) 10

26) 17) Si a + b = 4 y ab = 7, hallar a2 + b2 A) 3 D) 4

B) 2 E) N.A.

C) 5 Hallar el valor numérico de:  x  z  2  x  w  2       E    w  y  z  y     

18) Simplificar: 

1 

1 

1 

 P =  x    x    x 2   x  x   x2 

19) Si x 2  A) 7 D) 3

A) 1 D) 9

B) x2 – x4 E) N.A.

A) x4 + x–4 D) x8 – x–8 1 x

2

= 7, hallar B) 2 E) 5

B) 1 E) N.A.

B) 2 E) 25

2

C) 4

C) x4 – x–4 27) Simplificar: x

(x + 1)2 (x – 1)2 (x2 + x + 1)2(x2 – x + 1)2 – (x6 + 1) (x6–1)

1 x

A) x12 + x6 – 1 C) x6 – 2 E) –2x6 + 2

C) 4

20) Si x2 + y2 = 36; xy = 18, calcular x – y A) 0 D) 3

Si: (x + y + z + w)2 + (x + y – z – w)2 = 4 (x + y) (z + w)

C)

6

B) x6 + x + 1 D) x6 – 1

28) Al reducir: 3 2

P 

3 2



3 2

D)

A

C) 9

29) Efectuar: A=

– 6x –

3

1

B) 8 E) 12

(x2

E)

35) Sea:

3 2

A) 7 D) 10

mn



–

(x2

– 6x –

2)2

– 2(x –

B) –21 E) N.A.

3)2

C) –15

A) 1/9 D) 9 36) Si a –

x + y = 3 ; xy = 2 Hallar el valor de x5 + y5 A) 33 D) 31

B) 45 E) 63

= 1, hallar a12 + 12 a a

A) 326 D) 366

(a+b–c+d)(a+b+c–d) + (a–b+c+d)(a–b–c–d) + 2c2 +2d2

A) 0 D) 2

B) b2 – c2 – d2 D) b2 + c2

2x



2y

x  3y

1 1 4 ; xy  0   x y xy

C) 6

33) Si (x2 + y2) x–1 y–1 = 2 con x,y  +

D)

4

x y 4 xy

2

B)

x

A)

3n

C)

2x

m  4n 3n

C)

B) 3 E) 6

40) Sabiendo que:

C) 4

9 x a  7 9 a x

y

E) x

B)

C) 3

2 22 4 2 2 (a  b )  3c  12a b 2 2 (c  2ab)  (c  2ab) A) 2 D) 8

34) Si a3 + b3 = m; a + b = n, calcular (a – b)2

3 n  4m

B) 2 E) N.A.

39) Siendo a, b y c los lados de un triángulo rectángulo donde c > a > b, reduzca la siguiente expresión:

B) 4 E) 1

A) 1

B) –1 C) 1 E) Más de una

38) El equivalente de:

A) 1 D) 4

Cuando:

Hallar: S 

C) 340

 2a  b 2a  b   2a  b  2a  b   (2a  b) 2  4ab   es:  2a  b 2a  b   4ab      2a  b 2a  b 

32) ¿Cuál es el valor que asume: x  2y

B) 322 E) 318

37) Si: (a + b)3 = a3 + b3; b  0

C) 60

A) 4 (ab + cd) C) 2 (ab + cd) E) 2 (a2 + b2)

C) 3

1

1

Calcular a / b

A) 2 D) 8

2 xy

B) 1/3 E) 1

31) Simplificar:

xy

2

Calcule: A

30) Sabiendo que:





y ; xy  0  1  1 1 1    3   xy2 y x2  x3 y3   x

2

Si se cumple: 9(x + y) =xy, 1)2

A) 12 D) 17

2 2 x y

1

4m  n3 3n

4mn 3

9 a 4 x 4  El valor de la expresión: es: 9 a x A)  3

B) 9

D)

E) 3

3

C)

5

4  15 +

41) Si: x =

4  15

48) Si se cumple: x2 – 3x + 1 = 0

Calcular:

x7  x5  x3

Calcular: E =

x5

E = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1) A) 9 D) 9999

B) 99 E) 99999

A) 6 D) 3

C) 999

(x  ab  c) (x  ab  d)cd x  a b  c  d

P = x + x–1

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A) a+b+c+d D) a

C) 3

43) Reducir: P=

9

50) Si:

(x  1)(x

2

 x  1) (x

6

 x  1) (x

B) x3 E) x10

A) x D) x6



3

18

x

9

 1)  1

8

2 1  24 5  1

C) x9 15

 54  1  58  1 

A) 5 D) 125

B) 25 E) N.A.

C)

a7 3 11 a

3

C) 5

Sabiendo que: x = A) 1/2 D) 2/3

3

B) 3/2 E) 1/3

a

3

3

5



2

b

C) x

2

5

3

b



a

b a

C) 3

 2 , el equivalente de:

es:

a

B)

D)

b

E) 2 a 2 a



b

2

a

a+ b

C) 2 b

= a + b; a  –b

 a3  b3   a2  b2 (a  b)

Calcular: 3  z3  2  z2

C) 1/5

C) 1/5

32ab

b

a 7

A)

b

5ac

B) 5 E) –1

5

8 15

x ab  a  b

1/ 3

(a  5) (5  c) (a  c)

A) 1 D) 2





b

b

52) Si:

47) Si: 5a + 5c + ac = 0, calcular el valor de: S=

b

B) 2 E) 5

46) Calcular:

C=

  2

5

x ab  b

B) 4 E) 7

(x  ab)(x  a c)bc x  ab  c

B) b E) x+a+b+c

A) 1 D) 4

13x 7

 x 9  9x 3 z 3  z 9     x 6  6x 2 z 2  z 6 

3

51) Si: x =

 x 8  x   x 3  x 2    

A) 3 D) 6

a

5

5

45) Si se sabe que: x2 – 3x + 1 = 0, calcular el valor de:

E=



–

Calcular:

44) El equivalente de: Q=

C) 4

49) Simplificar:

42) A partir de x4 + x–4 = 47, Calcular:

B) 5 E) 2

ab (2a  b)

A) 1 D) 8

B) 2 E) 6

C) 4

53) Si se cumple: 1

xy



1

xz



EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4

2x  y  z

Calcular:

1.

Simplificar: C = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) + x2 y2

2.

Si:

A) 1 D) 3/2

3

2 3

y=

3 5

z=

B) 1/2 E) –1

C) 1/4 Calcular el valor de:

54) Si: a + b + c = 2, calcular: E=

5 2

x=

2 2 x  xy  z  xz 2 2 x  2xz  y

3.

3 3 3 (1  a)  (1  b)  (1  c)  3abc

P

3 3 3 x y z xyz

a+b+c=0 abc = 5 Hallar el valor de:

A) 2 D) 0

B) 1 E) –2

C) 1/2 E = ab (a + b)4 + bc (b + c)4 + ac (a + c)4

PRODUCTOS NOTABLES 2

4.

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

P=

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Desarrollo de un trinomio al cubo:

Si: ab + bc + ac = 0 Hallar:

5.

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c) (a+c)

3 3 3 a  b  c  3abc 3 (a  b  c)

Si: x + y + z = 0 el equivalente de: S=

3 3 3 (3x  y)  (3y  z)  (3z  x) (3x  y) (3y  z)(3z  x)

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc (a+b+c)3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) – 2(a3 + b3 + c3) + 6abc 6. Identidad trinómica (Argan´d): (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1

Si: a2 + b2 + c2 = 0 Reducir: S=

3 3 3 3 (a  b  c)  2(a  b  c ) 12abc

(x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 7. IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , I.

Hallar el equivalente de:

se cumple:

3 3 3 a  b  c  3abc

a3 + b3 + c3 = 3abc

(a  b  c)(ab  bc  ac)

II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 8.

Nota:

Sean: a; b; c   y m; n  N

Dado: a+b+c=1 ab + bc + ac = 0

a2n + b2m = 0  a = b = 0 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac  a = b = c

EQUIVALENCIA DE GAUSS:

Si: a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ac),

Halle:

2 2 2 (ab)  (bc)  (ac) abc

9.

Si x; y  , cumple la igualdad: 2x2 – 4x + 4 + y2 – 2xy = 0

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)[a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ac)] Dar el valor de:

x

3 y 4

es:

10. Si: a–1 + b–1 + c–1 = 0 y abc  0



 

Hallar:



  



2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a  2b  b b  2c  c c  2a 2 2 2 (a  b  c) a  b  c 1

ab

11. Si:

Halle:



1

c b

ab c b





a  c  2b  4

; a  b, c  b, a+c  2b

ac

18. Si se cumple: (x + y + z)2 = xy + xz + yz Calcular: x (x  y)  y(y  z)

P 

z (z  x)

C) 2

19. Si: a + b + c = 0, calcular:

b

M

3 3 3 (a  b)  (a  c)  (b  c) (a  b) (a  c) (b  c)

P=

12. Dadas las condiciones: a3 + b3 + c3 = 2 (a + b) (b + c) (a + c) a + b + c = 1, Calcular el valor de:

B) –1 E) N.A.

A) 1 D) –2

1  5abc

ab  ac  bc

A) 1

B) 3

D) 9

E) 1/9

C) 1/3

20. Si: a + b + c = 2 ; abc = 4 13. Si: 2p = a + b + c; el equivalente de: k = (p – a)3 + (p – b)3 + (p – c)3 + 3abc , es:

Calcule:

14. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:

a3 + b3 + c3 + 6(ab + bc + ac)

E

2 2 2 a b c ab  ac  bc

A) 1

B) 2

D) –2

E) –4

C) 3

A) 6

B) 8

D) 12

E) 4

21. Si: Sabiendo que: a2 + ac = b2 + bc ; a  b

15. Si: m + n + p = 0 E=

3 3 3 2 (m  n  p ) Hallar: 2 2 2 m n p

A) 3

B) 6

D) 9

E) N.A.

A) C)

a8

+

3a4

+

a4

+1

+1

3 3 3 a b c abc

A) 0

B) 3

D) 4

E) 1

C) 2

C) 27 22. Si: a2 + b2 + c2 = 49, calcular: C = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 – (a + b + c)2

16. Efectuar: (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)(a4 – a2 + 1) a8

C) 20

B)

a8

D)

a4

–1

+

a4

+

3a2

A) 5

B) 6

D) 36

E) 49

C) 7

+1 23. Si: x2 + y2 + z2 = 6 xy + xz + yz = –3

E) a8 – a4 + 1 17. Si: a + b + c = 4 a2 + b2 + c2 = 2 Calcular: ab + bc + ac

Calcule:

z

2

x

2

xy

A) 6

B) 2

D) 4

E) 10

y

2

; xy  0

C) 7 A) 2

B) 7

D) 9

E) 6

C) 3

24. ¿A qué equivale: a3 + b3 + c3 – 6abc? 30. Si:

b

Si se cumple: a (a – b) + b (b – c) + c (c – a) = 0 A) –3abc D) a3 + b3 + c3 a3

25. Siendo:

B) (a + b + c)3 E) 0 b3



a

B) 1/4 E) 1/6

B) 1

D) 2

E) abc

C) 1/12

ab

a b

31. Si:

Calcule:

a b c

B) 2 E) –1

27. Si:



y

y

A) 0

B) –1

D) 2

E) –2

= 3(x – y)

K=

B) 6

D) 0

E) 2

2n 2n1 C) a  a 1

C) 1

33. Sean a, b, c números reales / a = b + 1 = c + 2  b  0  a1

(x + y + 2z)2 + (x + y – 2z)2 = 8z (x + y)

E=

xz   zy

7

n n2 D) a  a  1

2n1 2n E) a  a 1

Halle el valor de:

3 3 3 (a  1)  b  8(c  1) 2 b(a  1)

A) 3

B) –3

D) 6

E) 1

28. Si se cumple que:

9

2n 2n1 B) a  a 1

2n 2n1 A) a a 1

8 8 3 (x  y ) 2 2 2 (x y )

A) 4

xy    2z 

C) 1

(a2+a+1) (a2–a+1) (a4–a2+1) (a8–a4+1) ... “n” factores

2

Hallar:

b>c

32. Efectuar:

x

Hallar:

y

C) –2

A) 1

2

c ; a, b  +

bc

D) 1/2

x



C) –1

bca

2

ab  bc  ac

Calcular: P =

 0

A) –2

26. Si: (a – b)–1 + (b – c)–1 + (c – a)–1 = 0

2

a

 2 a2  bc b2  ac  c2  ab

+ + = 30 a+b+c = 3 abc = 4

2

c

E  abc

c3

A) 1/3 D) 1

c



Calcular el valor de:

C) abc

a–1 + b–1 + c–1

Calcular:

b

zx   zy

8

C) –6

34. Si: x + y + z = 5 C) –1

A) 3

B) 1

D) 0

E) N.A.

(x + 1) (y + 1) (z + 1) = 17 Calcular el valor de xyz.

29. Reducir: J=

[(x2

– x + 1)

x2 + y2 + z2 = 3

(x2

+ x + 1)

(x4

–

A)

x3

B) x

D)

x2

E) N.A.

x2

+ 1)

(x4

– 1) +

1]1/6

C) x + 1

A) 1

B) 5

D) 7

E) 0

C) 5

35. Reducir:

3 3 3 (x  y)  (y  z)  (z  x) 9 (x  y) (y  z) (z  x)

A) 1

B) 2

D) 1/4

E) 1/3

C) 1/2

36. Con x3 +...