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Commande Robuste Université de Strasbourg Télécom – Physique – Strasbourg 3A - Option ISAV Master IRIV - Option Automatique Robotique Edouard Laroche [email protected] http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student 2013–2014 Table des matières 1 Introduction 5 2 Notions mathématiques 7 2....

Description

Commande Robuste

´ de Strasbourg Universite ´le ´com – Physique – Strasbourg Te 3A - Option ISAV Master IRIV - Option Automatique Robotique

Edouard Laroche [email protected] http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

2013–2014

Table des mati` eres 1 Introduction

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2 Notions math´ ematiques 2.1 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Positivit´e d’une matrice . . . . . . . . . . 2.3 In´egalit´e matricielle affine ou lin´eaire . . . 2.3.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Exemple de LMI . . . . . . . . . . 2.3.3 R´esolution . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Valeurs singuli`eres . . . . . . . . . . . . . 2.5 Norme sur les signaux et les syst`emes LTI 2.5.1 Norme H∞ . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Norme H2 . . . . . . . . . . . . . 2.6 Lemmes de simplification . . . . . . . . . 2.6.1 Compl´ement de Schur . . . . . . . 2.6.2 Lemme de projection . . . . . . . . 2.6.3 Lemme de Finsler . . . . . . . . . 2.6.4 S-procedure . . . . . . . . . . . . .

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3 Mod´ elisation des syst` emes 3.1 Les diff´erentes repr´esentations d’´etat . . . . . 3.1.1 Syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Syst`eme lin´eaire ` a param`etres variants 3.1.3 Syst`eme non-lin´eaire . . . . . . . . . . 3.2 Op´erations sur les syst`emes LTI . . . . . . . . 3.2.1 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . 3.2.2 Transformation lin´eaire fractionnaire . 3.3 Repr´esentation lin´eaire fractionaire . . . . . .

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4 Analyse des syst` emes 4.1 Stabilit´e au sens de Lyapunov . . . . . . . . . 4.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Cas des syst`emes ` a temps-discret . . . 4.1.4 Commandes Matlab . . . . . . . . . . 4.2 Dissipativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Caract´erisation LMI de la norme H∞ . 4.2.3 Passivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Performances d’un syst`eme asservi . . . . . . 4.3.1 Sch´ema de commande . . . . . . . . . 4.3.2 Les crit`eres . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Sch´emas d’analyse et de synth`ese H∞

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` TABLE DES MATIERES

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4.4

Lieu des pˆ oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 R´egions LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Condition LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Synth` ese pour les syst` emes LTI 5.1 Retour d’´etat stabilisant . . . . . . 5.2 Commande H∞ . . . . . . . . . . . 5.2.1 Probl`eme et solutions . . . 5.2.2 M´ethodologies de synth`ese .

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6 Analyse des syst` emes LPV incertains 6.1 Stabilit´e au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Syst`eme non-lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Syst`eme LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Maximisation du taux de d´ecroissance . . . . . . . . . 6.1.5 Matrice de Lyapunov d´ependant des param`etres . . . 6.2 Dissipativit´e, norme H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Syst`eme LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Dissipativit´e avec matrice de Lyapunov d´ependant des 6.3 Application ` a un syst`eme m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Pr´esentation du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Analyse ` a partir du mod`ele LPV . . . . . . . . . . . . 6.3.3 µ-analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Lieu des pˆ oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliography

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 1

Introduction En Automatique, la synth`ese d’une loi de commande se fait g´en´eralement sur un mod`ele nominal simplifi´e qui ne prend pas en compte toute la complexit´e du syst`eme. Des dynamiques sont n´eglig´ees, comme celles qui se trouvent en dehors de la bande passante du syst`eme asservi ; les valeurs des param`etres du mod`ele sont consid´er´es ´egales `a leurs valeurs nominales. Du fait de ces approximations, il est g´en´eralement n´ecessaire de recourir `a une ´etape de validation a posteriori de la loi de commande. On parle d’analyse de la robustesse ; il s’agit en effet d’analyser la robustesse du comportement du syst`eme asservi face aux perturbations externes (variation des conditions de fonctionnement, comme la temp´erature) ou internes (variation des param`etres) du syst`eme. L’analyse de la robustesse s’appuie g´en´eralement sur la formulation d’un mod`ele variant dans le temps, variation qui peut s’exprimer en fonction d’un certain nombre de param`etres incertains. La premi`ere question concerne la stabilit´e. L’analyse de la robustesse en stabilit´e consiste `a ´etablir si le syst`eme demeure stable malgr´e les variations attendues des param`etres. On peut aussi souhaiter que le syst`eme maintienne certaines performances (comme la bande passante). L’analyse de la robustesse en performance cherche `a ´etablir si le syst`eme maintient les performances pr´evues pour les variations attendues des param`etres. On peut distinguer deux principales sources de perturbation susceptibles de d´estabiliser un syst`eme asservi ou de diminuer ses performances : les variations de ses param`etres et les dynamiques n´eglig´ees. Pour traiter le second cas, celui des dynamiques qui ont ´et´e n´eglig´ees lors de la synth`ese, il suffit simplement de les inclure dans le mod`ele d’analyse. On se retrouve donc finalement ` a analyser la robustesse `a partir d’un mod`ele qui peut ˆetre plus sophistiqu´e que le mod`ele de synth`ese et dont les param`etres sont incertains dans certains intervalles et peuvent, selon les cas, varier au cours du temps avec des dynamiques ´eventuellement born´ees. Avant de se lancer dans l’analyse de la robustesse, c’est-`a-dire dans l’´etude des modification du comportement du syst`eme en fonction des param`etres, il convient de connaˆıtre son fonctionnement nominal. La premi`ere question est celle de la stabilit´e nominale, la seconde est celle des performances nominales. Une ´etude de robustesse en stabilit´e n’a de sens que si la stabilit´e nominale est assur´ee. De mˆeme pour les performances. La question de la robustesse peut-ˆetre abord´ee de deux mani`eres, pour la stabilit´e comme pour les performances : – ´etant donn´e les intervalles de variation des param`etres, le syst`eme est-il robuste ? A cette question, on r´epond par oui ou non ; – quel taux de dilatation faut-il appliquer aux intervalles des param`etres pour amener le syst`eme en limite de stabilit´e ou de performance ? Le taux de dilatation est aussi appel´e marge de robustesse. La robustesse est assur´ee si la marge de robustesse est sup´erieure ` a 1. 5

6

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Puisque la stabilit´e est une condition suffisante pour les performances, la marge de robustesse en performance est n´ecessairement plus faible que la marge de robustesse en stabilit´e. Les m´ethodes d’analyse diff`erent en fonction du mod`ele choisi. Les mod`eles lin´eaires d´ependant des param`etres (LPV), mod`eles pour lesquels des m´ethodes efficaces et d´esormais bien connues, sont disponibles sous deux formes : – les mod`ele LPV avec une d´ependance affine des matrices d’´etat en fonction des param`etres ; – les repr´esentations lin´eaires fractionnaire (LFR) form´es d’un bouclage entre un syst`eme linaire `a temps invariant (LTI) et une matrice de gains fonction des param`etres. Ce second type correspond aux syst`emes lin´eaires dont les matrices d’´etat d´ependent rationnellement des param`etres ; il s’agit donc d’une g´en´eralisation du premier type. Pour les syst`emes LPV affines, des formulation LMI sont disponibles pour l’analyse en stabilit´e et en performance dans le cas de param`etres constants ou variants. Ces m´ethodes, disponibles dans les boites ` a outils 1 de Matlab, sont pr´esent´ees dans ce fascicule. La m´ethode la plus classique destin´ee aux mod`eles LFR est la µ-analyse 2 . Cette m´ethode fait ´egalement parti du contenu du cours. D’autres boites ` a outils sont ´egalement disponibles. Citons par exemple Romuloc, d´evelopp´ee par D. Peaucelle qui permet de traiter `a la fois les mod`eles LPV affines et les LFR [10].

1. Les m´ethodes d’analyse des syst`emes LPV affines ont ´et´e propos´ees dans la LMI Control Toolbox [7]. Ces fonctions sont d´esormais disponibles dans les version r´ecentes de la Robust Control Toolbox[8] 2. Ces m´ethodes sont disponibles dans la µ-Analysis and Synthesis Toolbox [9] ou dans les versions r´ecentes de la Robust Control Toolbox [8].

Chapitre 2

Notions math´ ematiques La maˆıtrise d’un certain nombre de concepts math´ematiques sont n´ecessaires en commande robuste. Citons notamment les In´egalit´es Matricielles Affines ou LMI qui prennent une place de plus importante dans les m´ethodes modernes de l’automatique. De nombreux r´esultats ant´erieurs trouvent une formulation LMI et ce formaliste permet aussi de r´esoudre de nouveaux probl`emes qui n’avaient pas trouv´e jusqu’alors de solution.

2.1

Valeurs propres

D´ efinition 1 (Valeur propre) Soit A une matrice carr´ee de r´eels ou de complexes. On appelle valeur propre la grandeur λ telle qu’il existe un vecteur propre x v´erifiant Ax = λx. >> eig([1 2; 3 4]) ans = -0.3723 5.3723

La matrice A de dimension n × n repr´esente une application lin´eaire de Rn dans Rn . Les directions propres, c’est-` a-dire les directions des vecteurs propres, sont les directions de Rn invariantes par A. Les valeurs propres sont les gains d’amplifications dans ces directions. Le nombre de valeurs propres distinctes est au plus n. La dimension du sous-espace propre correspondant `a une valeur propre donn´ee est variable. Une base de vecteurs propres peut ˆetre obtenue. En utilisant la relation Axi = λi xi o` u λi est la i`eme valeur propre et xi un vecteur propre qui lui est associ´e, on peut concat´ener les n relations obtenues pour i = 1 . . . n en AX = XD o` u X = [x1 . . . xn ] est la matrices des vecteurs propres formant une base et D = diag{λ1 , . . . λn } est la matrice des valeurs propres o` u chaque valeur propre est r´ep´et´ee autant de fois que la dimension de son sous-espace propre. Propri´ et´ e 1 (Matrice sym´ etrique ou hermitienne) Les valeurs propres des matrices r´eelles sym´etriques (AT = A) et complexes hermitiennes (AH = (A∗ )T ) sont toutes r´eelles.

2.2

Positivit´ e d’une matrice

D´ efinition 2 (Matrice positive) Une matrice A ∈ Rn est dite positive et on note A ≥ 0 si la forme quadratique xT Ax est positive pour tout vecteur x. Cette d´efinition se transpose ´evidemment au cas n´egatif. On peut toujours ´ecrire une forme quadratique ` a partir d’une matrice sym´etrique. Ainsi, xT Ax = 12 xT (AT + A)x. On ne contentera 7

´ CHAPITRE 2. NOTIONS MATHEMATIQUES

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donc de consid´erer le cas des matrices sym´etriques. Ces matrices ont la particularit´e d’avoir toutes leurs valeurs propres r´eelles. Propri´ et´ e 2 (Matrice positive) Une matrice A sym´etrique est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives et on note A ≥ 0. On d´efinit aussi la positivit´e stricte et on dit qu’une matrice est d´efinie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. C’est ´equivalent `a dire que la forme quadratique correspondante xT Ax est strictement positive pour tout x non nul. Propri´ et´ e3 – Soit λ un scalaire, A − λI > 0 si et seulement si les valeurs propres de A sont strictement sup´erieures ` a λ. – P > 0 ⇔ −P < 0 ; on peut donc toujours se ramener ` a un probl`eme de positivit´e (ou de n´egativit´e). Propri´ et´ e 4 (Somme de matrices) – A > 0, B > 0 ⇒ A + B > 0 Cette propri´et´e se d´emontre facilement ` a partir de la d´efinition A > 0 ⇐⇒ xT Ax > 0 ∀x 6= 0. Propri´ et´ e 5 (Produit de matrices) – A > 0, B > 0 ⇒ AB > 0 – A > 0, B < 0 ⇒ AB < 0 D´ emonstration 1 (Explication) Ces propri´et´es se comprennent facilement en consid´erant qu’une matrice positive est une application qui, ` a un vecteur de composantes positives, associe un vecteur de composantes toutes positives ; une matrice n´egative, au contraire, est une application qui, ` a un vecteur de composantes positives, associe un vecteur dont les composantes sont toutes n´egatives. D´ emonstration 2 (D´ emonstration plus compl` ete) Pour une d´emonstration plus compl`ete, on peut consid´erer une valeur propre λAB de AB associ´ee au vecteur propre V AB , v´erifiant donc λAB V AB = ABV AB ,

(2.1)

et chercher ` a montrer qu’elle est positive. L’id´ee des calculs ci-dessous consiste ` a calculer les coordonn´ees du vecteur propre d’abord dans la base des vecteurs propres de B not´es VkB puis dans ceux de A not´es VlA . Ainsi, on peut ´ecrire X V AB = βk VkB (2.2) k

o` u les βk sont les coordonn´ees de V AB dans la base des vecteurs propres de B et X VkB = αkl VlA

(2.3)

l

o` u les αkl sont les coordonn´ees de VkB dans la base des vecteurs propres de A. En rempla¸cant A B B B u λA et λB sont les dans (2.1) et en utilisant le fait que AVlA = λA l Vl et BVk = λk Vk o` l k valeurs propres respectivement de A et B, on obtient : ! ! X X X X A AB λA λB βk αkl VlA (2.4) l k βk αkl Vl = λ l

k

l

k

´ ´ MATRICIELLE AFFINE OU LINEAIRE ´ 2.3. INEGALIT E

9

Il s’agit d’une ´egalit´e entre deux vecteurs. Leurs coordonn´ees dans la base VlA sont donc identiques et X X AB λA λB βk αkl ∀l (2.5) l k βk αkl = λ k

k

P B P Dans l’hypoth`ese o` u A et B sont toutes deux positives, les quantit´es λA k λk βk αkl et k βk αkl l sont n´ecessairement de mˆeme signe et λAB est donc positif (AB positive). Si A et B sont de signe contraire, ces deux quantit´es seront de signe contraire et AB est alors n´egative.

2.3 2.3.1

In´ egalit´ e matricielle affine ou lin´ eaire Pr´ esentation

D´ efinition 3 (In´ egalit´ e matricielle affine) On appelle in´egalit´e matricielle affine (ou in´egalit´e matricielle lin´eaire et en anglais linear matrix inequality, not´e LMI) le probl`eme suivant : ´etant donn´ees les matrices r´eelles, carr´ees et sym´etriques Mk , k = 1..n, trouver les r´eels xk , k = 1...n tels que M0 + x1 M1 + ... + xn Mn > 0. Le succ`es des LMI vient du d´eveloppement des m´ethodes dites du point int´erieur (interior point methods) qui permettent de r´esoudre de mani`ere efficace ces probl`emes [11]. Il est ´egalement li´e au fait que de nombreux probl`emes, notamment de l’automatique, peuvent ˆetre formul´e sous forme de LMI. Remarque 1 (Un syst` eme de plusieurs LMI est une LMI) 

2.3.2

P (x) > 0 ⇔ Q(x) > 0



P (x) 0 0 Q(x)

 >0

(2.6)

Exemple de LMI

Les LMI ne se pr´esentent pas directement sous la forme de l’in´egalit´e pr´esent´ee ci-dessus. Prenons un exemple classique de l’automatique : la stabilit´e de Lyapunov 1 pour un syst`eme lin´eaire x˙ = Ax. Il s’agit de trouver une matrice r´eelle P = P T > 0 de mˆeme dimensions que A telle que AT P + P A < 0. Consid´erons `a titre d’exemple, le cas o` u A est une matrice 2 × 2.   a1 a2 A= (2.7) a3 a4 La matrice P d´epend alors de 3 param`etres xi , k = 1..3 et peut s’´ecrire   x1 x2 P = x2 x3 La condition de positivit´e de P s’´ecrit       1 0 0 1 0 0 x1 + x2 + x3 >0 0 0 1 0 0 1 L’in´egalit´e de Lyapunov, elle se r´e´ecrit :       2a1 a2 2a2 a1 + a4 0 a3 x1 + x2 + x3 0 et C(x) < 0.

2.4

Valeurs singuli` eres

D´ efinition 4 (Valeur singuli` ere) Les valeurs singuli`eres d’une matrice complexe M sont les racines carr´ees des valeurs propres de M H M o` u M H est le hermitien (transpos´e conjugu´e) de M . On les note σi (M ). Propri´ et´ e 6 (Propri´ et´ es g´ en´ erales) – Les valeurs singuli`eres sont des nombres r´eels positifs. – Les valeurs singuli`eres non nulles de M sont identiques a ` celles de M H (invariance par l’op´eration transpos´e/conjugu´e) 2. http ://robotics.eecs.berkeley.edu/˜elghaoui/ 3. http ://control.ee.ethz.ch/˜joloef/yalmip.php

` 2.4. VALEURS SINGULIERES

11

– Les valeurs singuli`eres non nulles sont au plus au nombre de min(nu , ny ), la plus petite dimension de M . Exemple 1 (Valeurs singuli` eres de matrices simples) – Les n valeurs singuli`ere de λIn , o` u λ ∈ R sont toutes ´egales ` a λ. – Les valeurs singuli`eres d’une matrice diagonale r´eelle sont ´egales aux valeurs absolues des ´el´ements diagonaux ; pour une matrice de complexes, les valeurs singuli`eres sont ´egales au...