Compendio CB-142 IIPC 2014-II PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE

ECUACIONES DIFERENCIALES : CB-142 : : C. ARAMBULO, R. CHUNG, R. ACOSTA

CICLO

2015-I

FECHA

22.04.15

SEGUNDAS PRÁCTICAS CALIFICADAS CICLO 2014-III

1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 2

A)

C) ) D)





dy   dy   B) axyy 2  x 2  ay 2  b y  xy 0  dx +1  y - x dx  =1

x

(3.0 pts) 2

y 





(4.0 pts)



 2 xy  y 2 dx  y 2  2 xy  x 2 dy 0

y  senxcos 2 ( xy) cos 2 ( xy)

(3.0 pts)

  x dx   seny  dy  0   cos 2 ( xy )   

(3.0 pts)

2.- Hallar la familia de trayectorias ortogonales e isogonales que intersecan a la familia dada con un (4.0 pts) ángulo de 45O : r( ) a(1  sen2 ) 3.- Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces la pendiente de la recta que pasa por el origen y éste punto.

(3.0 pts)

CICLO 2014-II 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y  

 2x  4 y  6 xy 3

(3.5 pts)

(3.0 pts) c) 1 - xy + x(y - x)y´ = 0 , x > 0



b) 1  xe xy

1  ye  dy dx

xy

0

(3.0 pts)

(3.5 pts)

2.- El radio es un elemento radioactivo de vida media 1600 años, que se desintegra produciendo radón, que a su vez es un elemento radioactivo con vida media 3,8 días. Si inicialmente hay 1000 kg de radio, calcular la cantidad de radio x(t) y la cantidad de radón y(t) en un tiempo posterior cualquiera t. Sugerencia: recordar que el decaimiento radioactivo está regido por la ecuación diferencial x’ + ax = 0, y que la vida media T es el tiempo en el cual decae su masa a la mitad. (3.0 pts) 3.- Cuando se combinan dos sustancia A y B se forma un compuesto C. la reacción entre ambos es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B se observa a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C gramos en función del tiempo si la velocidad o tasa de reacción es proporcional las cantidades de A y B que quedan y si al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución cuando t   (4.0 pts)

4.- El aire de una sala contiene 0,3% de CO 2 cuando se activa el sistema de ventilación. Este introduce aire fresco con un 0,03% de CO 2 , y extrae el aire de la habitación a una velocidad tal que la concentración d x x 0 , 0 0 3 de CO2 (x) en la sala después de t minutos vienen dada por la ecuación: d t 1 0 a) Expresa x en función de t b) ¿Cuál es la concentración de CO2 10 minutos después de conectar la ventilación? Sabiendo que el sistema de ventilación se para automáticamente cuando la concentración de CO 2 desciende al 0,05%, ¿cuánto tiempo estará en marcha? (3.0 pts)

CICLO 2014-I 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y cos xdx   2 y  senx  dy 0

2

3

1 3

b) xy y   y  x

(4.0 pts)

4

(4.0 pts)

2.- Un tanque contiene 50 galones de salmuera, en la que están disueltos 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t 0 , entra agua al tanque a razón de 2 galones por minuto y la mezcla homogenizada sale con la misma velocidad a través de un segundo tanque que contenía inicialmente 50 galones de agua pura. ¿ Cuándo contendrá el segundo tanque la mayor cantidad de sal?. (4.0 pts) 3.- Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es 5°F. Después de 1 minuto el termómetro marca 55°F y después de 5 minutos marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación?. (4.0 pts) 4.- Cuando un cuerpo se mueve sobre una superficie rugosa sobre este actúa una fuerza de fricción o roce que se opone a su movimiento F r =µ N donde µ es la constante de proporcionalidad conocida como coeficiente de fricción, y N es la fuerza normal o fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Supongamos que se tiene un cuerpo de 80Kg y que parte del reposo en la parte más alta de un plano inclinado de 30° sobre la horizontal, de tal manera que la resistencia del aire es numéricamente igual a la velocidad del mismo y el coeficiente de fricción con la superficie es µ. Determine la velocidad del cuerpo es cualquier instante t, después de iniciado el deslizamiento. (4.0 pts CICLO 2013-III Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:













ii ) xy  x 2  1 dx  x 2  y 2 dy 0

2 x 2 y  1  x4 y 2 dx  x3dy 0

i)

2.- Resolver:

 x  y  1 dx   x  3 y 1 dy 0

i)

ii)

 x  y  dx   2 x  2 y  dy 0

3.- Resolver

 senx tgy  1  dx  cos x sec 2 y dy 0

i)

x

ii) 4.-

3







 xy 2  x 2 y  y 3 dx  x 2 y  y 3  x 3  xy 2  xy dy 0

 2 y  3x y  dx   3x  5x y  dy 0 2 3

3 2

Ciclo 2013-II Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:



3

2





3

2



a) x  xy  y dx  y  x y  x dy 0 d) ( y  xy 2Lnx )dx  xdy 0 ;

  ( x . y )

b) ( x  y ) dx  ( x  y  1)dy 0 c) y 

1 2x  y2

3.- Se tiene un depósito que contiene 300 galones de una mezcla de agua con sal. Otra solución de salmuera es bombeado al depósito a una rezón de 3 ga/min. El contenido se agita uniformemente y es desalojado a la misma razón. Si la concentración de la solución que entra es 2 libras /gal. i) Plantee el modelo matemático que permita hallar la cantidad de sal en el depósito en cualquier instante. ii) Resuelva el modelo y determine cuanta sal habrá en el depósito después que pase mucho tiempo, si se sabe que inicialmente había en el depósito. 50 libras de sal disueltas (4.0 pts) 4.- La trayectoria de una señal eléctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado se puede modelar como un circuito RC, como en la figura mostrada; la fuente de voltaje modela la compuerta de transmisión y el condensador modela la compuerta de recepción. Por lo general, la resistencia es 100Ω y la capacitancia es muy pequeña, digamos 10-12 F (1 picofaradio, pF). Si el condensador no tiene carga inicialmente y la compuerta de transmisión cambia de manera instantánea de 0 a 5 V, ¿cuánto tiempo tarda el voltaje en la compuerta de recepción en alcanzar 3V? (Éste es el tiempo necesario para transmitir un “1” lógico). (4.0 pts)

ICLO 2013-I 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:



3

2





3

2



a) x  xy  y dx  y  x y  x dy 0 c) y 

b) ( x  y ) dx  ( x  y  1)dy 0

1 2x  y 2

d) ( y  xy Lnx) dx  xdy 0 ;   ( x . y ) 3.- Se tiene un depósito que contiene 300 galones de una mezcla de agua con sal. Otra solución de salmuera es bombeado al depósito a una rezón de 3 ga/min. El contenido se agita uniformemente y es desalojado a la misma razón. Si la concentración de la solución que entra es 2 libras /gal. i) Plantee el modelo matemático que permita hallar la cantidad de sal en el depósito en cualquier instante. ii) Resuelva el modelo y determine cuanta sal habrá en el depósito después que pase mucho tiempo, si se sabe que inicialmente había en el depósito. 50 libras de sal disueltas (4.0 pts) 2

4.- La trayectoria de una señal eléctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado se puede modelar como un circuito RC, como en la figura mostrada; la fuente de voltaje modela la compuerta de transmisión y el condensador modela la compuerta de recepción. Por lo general, la resistencia es 100Ω y la capacitancia es muy pequeña, digamos 10-12 F (1 picofaradio, pF). Si el condensador no tiene carga inicialmente y la compuerta de transmisión cambia de manera instantánea de 0 a 5 V, ¿cuánto tiempo tarda el voltaje en la compuerta de recepción en alcanzar 3V? (Éste es el tiempo necesario para transmitir un “1” lógico). (4.0 pts)

CICLO 2013-I 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) ( x  y 2) dx ( x  y 3) dy 0

b) y  

ysen2 x  xy 2 y3  sen2 x









2 3 3 2 2.- Determínese la solución general de la ecuación x y  2 y dx  2 x  2 x y dy 0

que admite un Factor Integrante que depende de xy.

Sabiendo

3.- Suponga que una substancia decrece a una razón que es inversamente proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 12 unidades presentes y si 8 unidades están presentes después de 2 días. ¿Cuánto tiempo tomará para que la substancia desaparezca? 4.- Cierta sustancia C se produce de la reacción de dos químicos A y B. La tasa a la cual se produce C es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B presentes. La formación de tal sustancia C requiere 3 libras de A por cada 2 libras de B. Si inicialmente había 60 libras de A y 60 libras de B y luego de una hora, de iniciada la reacción, se han producido 15 libras de C, determine: a) La cantidad de C en cualquier instante t. b) la cantidad de C al cabo de 2 horas de iniciada la reacción. c) La cantidad máxima de C que se puede formar.

CICLO 2012-III 1.- Resolver

a) y   3 y x 4 y1/3 4

b)  x2  y2  2 x  dx  2 ydy 0

2.- Obtener las trayectorias ortogonales de las siguientes familias b) x3 4cy 2 a) x 2  y 2 c 3.- Si la temperatura del aire es 20ºC y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100º C hasta 60º C a) ¿Determinar en cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30º C? b) Determinar además la temperatura del cuerpo en cualquier instante t. 4.- Suponga que un tanque cilíndrico que inicialmente contiene V0 galones de agua se vacía (a través de un agujero en el fondo) en T minutos. Use la ley de Torricelli para demonstrar que el volumen 2 V V0  1   t / T   del agua en el tanque después de t T minutos está dado por 5.- Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar al perro: el perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos de 45 miligramos (mg) de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, con una vida media de 5h. ¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg?

CICLO 2012-II 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a)  x  y  3  dx   3 x  y  1  dy 0

2 2 2 2 b)  3xy  x  dx   3x y  6 y  1  dy  0

3 2 2 2 2 3 c)  x  cos x  2 x y  sen x  dx  2x ydy  0

d) ycos y  sen y  x  1

2 3 2.- Resuelva la ecuación diferencial:  3 y  x  dx   2 y  6 xy  dx 0 , si su factor integrante es 2 de la forma    x  y 

3.- Halle la ecuación de la curva que pasa por (1, 3) y que satisface la siguiente propiedad: “Si la ordenada PH de cualquier punto P (x, y) de la curva corta a la recta 2x+y-10=0 en un punto Q y si sobre PH tomamos un punto M tal que PM=QM entonces el segmento OM resulta ser paralelo a la recta tangente a la curva en P” (O origen de coordenadas).

CICLO 2012-I Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 3 2

4

4

a) 4 x y dx  ( x  2 x y  1) dy 0

2.- Resuelva la ecuación diferencial:

b)

dy sec x sec y  tan x.tan y dx



y  xy 2 Lnx dx  xdy 0 ;   ( x. y ) (Forma del factor integrante)



3.- Determine la ecuación de una curva que pasa por (0, 0) y que goza de la siguiente

y x

propiedad: “la pendiente en un punto cualquiera P de ella es igual a 10 dividido entre la distancia del punto P a la recta medida sobre la recta

que pasa por P y es

perpendicular al eje X. 4.- Un pastel es retirado del horno a 210ºF y dejado enfriarse a la temperatura ambiente, 70ºF. Después de 30 minutos, la temperatura del pastel es de 140ºF. ¿Cuál es la temperatura en cualquier instante t.? ¿Cuándo estará a 100ºF?. CICLO 2011-II 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)  2 x  y  5  dx   x  2 y  3  dy 0 b) ydx  xdy  Lnx dx 0 c)

 y  xy Lnx  dx  xdy 0 2

, si su factor integrante es la forma u  ( x . y)

d) ycos y  seny x  1 2.- Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 0.5 henrios y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. Asimismo hallar el mínimo valor de la corriente si el circuito funciona indefinidamente. 3.- Halle la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad “si por un punto cualquiera P de ella se trazan las rectas tangentes LT y normal LN respectivamente, tales que, LT   eje X   A , LN   eje Y  B , obteniéndose que AB es perpendicular a OP (O origen de coordenadas). CICLO 2011-I





2 2 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) x  y  2 x dx  2 ydy 0

b)

 y cos( x)  y  x cos( x)  sen( x) 3

dx  2 sen( x) dy 0

2.- Si un circuito eléctrico contiene una resistencia R = 10 ohmios y un condensado de capacidad C 10 3 faradios en serie y una f.e.m E( t) 100 sen(120  t ) voltios a) Halle la carga q del condensador suponiendo q(0) 0 b) Halle la corriente i, suponiendo que i(0) 5 amperios 3.- Un portador de un Virus Mortífero llega a un País compuesto de 30 millones de habitantes. Si la cantidad de fallecidos después de “t” días sigue la Ecuación (E).¿En cuánto tiempo la Población desaparecerá completamente?

(E)

 dP    P(  2  4LN P)  dt 

4.- Se disuelven inicialmente 50 libras (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución

adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal., determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min.? ¿Cuánto de sal hay después de un tiempo largo?.

CICLO 2010-II 1.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:



a) 2xye c)

x2

dy ( xy dx



2

 xsenx dx  e x dy 0 x2- y 2  x )  y - x 2

b)

 y  xy Lnx  dx  xdy 0 2

, u  ( x. y )

x2- y 2

2.- Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el límite saludable. ¿A los cuántos días, después de elaborado, vence el alimento? 3.- Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia química C. La rapidez de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas que no se han convertido en la sustancia química C. Inicialmente hay 40g de A y de 50g de B se usan por cada gramo de B se usan 2g de A. Se forman 10g de C en 5 minutos ¿Cuánto se forma en 20 minutos?¿Cuál es la cantidad limite de C después de un tiempo largo?¿Cuánto queda de las sustancias química A y B después de un tiempo largo? 4.- Una colonia de bacterias cuya población es No, duplicará su población en 4Ln(2) días. Si las bacterias son extraídas a razón uniforme de R bacterias por día. Halle el número de bacterias presentes en función del tiempo. Demuestre, además, que si: R < No, la población es Creciente. , R = No, la población es Estacionaria. R > No, la población es Decreciente. En este último caso, halle el tiempo mínimo que pasará para que las bacterias se extingan.

CICLO 2010-1 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)





3x y dx  2 y  2 x y dy 0 2 2

3

3

b)  xseny  2sen 2 y  dy  dx 0

c)

x2 y  3 x y

2. Un Modelo matemático para describir la población humana x(t ) es la que se muestra a continuación. ¿Cuántos habitantes llegará tener la tierra según este modelo? Justifique sus afirmaciones.

dx 2 ax (t )  bx (t ) donde a 0,029 dt

b = 2, 695 x 10-12.

3.- Se ha determinado experimentalmente que la variación del peso, p(t), de un cierto tipo de pez sigue la ley L mostrada. ¿Para qué valor del tiempo t le parece razonable autorizar la captura de peces de esta especie?

2

dp L:  ap3 - bp dt p(t) : peso en el tiempo t

4.-Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de líquido en el que se disolvieron 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada se bombea del depósito con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos.

CICLO 2009-2

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:  1 1 2 3 2 b) 2 xy  3 y dx  7  3xy dy 0 a)  x  3  cos ydx    seny  Ln 5x 15    dy 0 y  2. Un termómetro que marca 18ºF, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70ºF, un minuto después de la lectura del termómetro es de 31ºF. Determínese las temperaturas medidas como función del tiempo y en particular la temperatura del termómetro cinco minutos después que se lleva al cuarto.









3. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de la siguiente propiedad: “si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la normal respectiva, la tangente corta al eje Y en T y la normal corta al eje X en N, resultando TN perpendicular a OP , siendo O el origen de coordenadas. x , 4. Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas

y  x  1 Ke

K es una constante

CICLO 2009-1

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) (2 xy 2  y) dx ( x 2 x 2 y  x4 y3) dx 0





2 b) 1  y dx  arctan y  x dx

2. Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas  a  sec   tan   3. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora ¿Cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al cabo de 23 / 4 horas? 4. Se disuelven inicialmente 50 libras (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal., determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min.? ¿Cuánta después de un tiempo largo?.

CICLO 2008-3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:  1 1 ( x  3) cos ydx   senyLn(5x  15)  dy...