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SISTEMA DE ECUACIONES

MATEMÁTICA RAZONES, PROPORCIONES Y ECUACIONES

Este compendio recoge textualmente documentos e información de varias fuentes debidamente citadas, como referencias elaboradas por el autor para conectar los diferentes temas. Se lo utilizará únicamente con fines educativos.

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Contenido DESARROLLO DE LOS SUBTEMAS DEL TEMA 4........................................................................................... 4 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones .................................................................................................... 5 Definición y resolución de ecuaciones cuadráticas.............................................................................. 12 Ecuaciones cuadráticas con raíces imaginarias.................................................................................... 18 MATERIAL COMPLEMENTARIO ................................................................................................................ 19 REFERENCIAS ............................................................................................................................................ 20

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DESARROLLO DE LOS SUBTEMAS DEL TEMA 4 TEMA 4 SISTEMAS DE ECUACIONES

Objetivo Comprender la importancia de las ecuaciones y su aplicación.

Introducción

Las ecuaciones son la parte más fundamental de las matemáticas ya que de este concepto de derivan un sin número de teoremas que se aplican en toda la asignatura, hablar de ecuación es hablar de una igualdad entonces todo lo que conlleva una comparación de este tipo me permite obtener una ecuación, existen varios métodos de resolución para un sistema de ecuaciones, en el presente compendio de tomaran en cuentan tanto las ecuaciones lineales como ecuaciones cuadráticas y la obtención de las raíces utilizando la formula general.

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Subtema

Ecu Ecuacion acion aciones es y sist sistemas emas de ecua ecuacion cion ciones es CONTENIDOS DEL SUBTEMA

IGU IGUALD ALD ALDAD, AD, ID IDEN EN ENTID TID TIDAD AD Y ECU ECUACI ACI ACIÓN ÓN CON CONCEP CEP CEPTO TO D DE E IG IGUAL UAL UALDAD DAD Una Identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. Ejemplo

CON CONCEP CEP CEPTO TO D DE E EC ECUA UA UACIÓN CIÓN Una ecuación es una igualdad, en la cual hay términos conocidos y desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por letras minúsculas. Ejem Ejempl pl plo o x– 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando x = 19. Porque al remplazar el valor la ecuación quedaría: 19– 2 = 17 quedando como equivalencia 17 = 17 Ejerc Ejercicios icios Pr Propu opu opuestos estos Determinar si cada igualdad es correcta  45+27 = 31+36  3x12 = 72/2  64-26+12 = 3^3  Marcos realizó un préstamo aun chulquero y debe pagar en 5 meses y los primeros 4 meses pago $ 78, $ 72, $ 87 y $ 90, respectivamente. ¿Cuánto debe pagar en el último mes para completar el préstamo de $ 400?

PRO PROPIED PIED PIEDADE ADE ADESS DE LAS IGU IGUALD ALD ALDADE ADE ADESS Las expresiones que están a ambos lados del símbolo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Expresión 1 = Expresión 2 En estas propiedades tanto x como y pueden representar expresiones algebraicas desde la más sencilla hasta las más complicadas

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Ejem Ejempl pl plo o de p prop rop ropiedad iedad iedades es de las ec ecuaci uaci uacion on ones es Analice el siguiente razonamiento, en el cual se concluye que todo número real es igual a cero;

ECU ECUACIO ACIO ACIONES NES LINE LINEALE ALE ALESS ((Resolución de ecuaciones lineales) Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:

Se indica que son ecuaciones de primer grado cuando el exponente de las variables es 1. Procedimiento para resolver ecuaciones lineales Solución Consideramos la expresión original:

7x - 5 = 4x + 7

Tengamos en consideración que siempre de un lado del igual están las incógnitas y del otro lado los valores, en base a esto sumamos 5 en ambos miembros (debe ser a ambos miembros para no alterar la ecuación, recuerde la propiedad de aditiva de las igualdades):

7x – 5 + 5 = 4x + 7 +5

Reducimos la expresión:

7x = 4x + 12

Restamos 4x a ambos miembros de la ecuación:

7x-4x=4x-4x+12

Reducimos la expresión:

3x =12

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Efectuamos el producto con el inverso multiplicativo de 3: Despejamos la incógnita x:

X=4

Comprobamos el valor de x:

P(4): 7(4)-5 = 4(4)+723 = 23

Se concluye que AP(X)=

• Si Re = R y P(X): 6x−5 = 8x+2 determine AP(x):

Ejerc Ejercicios icios Pr Propu opu opuestos estos   

Un vendedor de galletas gasta 24.00 dólares en ingredientes y cobra $ 2.00 por cada galleta. Si al final del día su ganancia neta de 88 dólares, ¿cuántas galletas vendió? Algunas empresas del país pagan el sueldo básico unificado de $ 375 más comisiones de venta. Al fin de mes recibió $ 475 ¿cuánto le dieron de comisión? Después del terremoto del 2016, en el cantón Jama de la provincia de Manabí, la Vicepresidencia de la República, el Ministerio de Desarrollo Urbano y Vivienda (Miduvi) y el Ministerio Coordinador de Seguridad (MICS) decidieron construir 175 viviendas para el reasentamiento de los afectados. La inversión total de $ 4,5 millones. ¿Cuál es el costo de cada vivienda?

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SIST SISTEM EM EMAS AS DE EC ECUACI UACI UACIONE ONE ONESS LLINEAL INEAL INEALES ES ((MÉ MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SO SOLUC LUC LUCIÓN IÓN IÓN)) DEFI DEFINICI NICI NICIÓN ÓN SISTE SISTEMA MA MASS DE EECUACI CUACI CUACIONE ONE ONESS LI LINEA NEA NEALES LES Se denomina sistema de ecuaciones lineales al conjunto finito de ecuaciones lineales que deben verificarse simultáneamente Ejem Ejempl pl plo o  Sea S un sistema de tamaño 2 × 3 en R tal que



Los sistemas:

MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SSOLUC OLUC OLUCIÓN IÓN Existen varios métodos de solución para un sistema de ecuaciones lineales entre las más usadas están: MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SSOLUC OLUC OLUCIÓN IÓN PO POR R SU SUSTIT STIT STITUCIÓ UCIÓ UCIÓN N Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en una ecuación (de preferencia la incógnita que tenga menor coeficiente) y sustituir su valor en otra ecuación. EJE EJEMPL MPL MPLO: O: Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Primero despejamos una variable, en este caso la “x” de la primera ecuación ya que tiene coeficiente 1: x = 11 - 4y Sustituimos “x” en la otra ecuación y luego simplificamos: 5*(11 – 4y) + 2y = 19 → 55 – 20y + 2y = 19 → - 18y = 19 – 55 → - 18y = – 36 → 18y = 36 → y = 36/18 → y = 2 Sustituimos ”y” en la otra ecuación y simplificamos: x+ 4*2 =11 → x + 8 = 11 → x = 11 – 8 → x=3

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MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SSOLUC OLUC OLUCIÓN IÓN PO POR R IGU IGUALA ALA ALACIÓN CIÓN Este método es muy parecido al de sustitución, consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma incógnita e igualarlas, para obtener el valor de la segunda incógnita y después sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones despejadas previamente. Ejem Ejempl pl plo: o:

Despejamos “x” en ambas ecuaciones:

Igualamos las ecuaciones y simplificamos:

Sustituimos:

Nuestros resultados son x = 3, y = 2

MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SSOLUC OLUC OLUCIÓN IÓN PO POR R RE REDUCC DUCC DUCCIÓN IÓN Éste método es para sistemas lineales y de dos incógnitas (dos ecuaciones), consiste en utilizar productos y divisiones para hacer que en las dos ecuaciones una incógnita tenga el mismo coeficiente pero diferente signo, y luego sumar las dos ecuaciones para que así esa incógnita se elimine y nos quede una sola ecuación con una incógnita. Ejem Ejempl pl plo: o:

Multiplicamos la primera ecuación por -5 y obtenemos:

Multiplicamos la primera ecuación por -5 y obtenemos:

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Ahora sumamos las dos ecuaciones:

En donde y = 36/18 = 2 Sustituimos: 5x + 2 (2) = 19

Nuestros resultados son x = 3, y = 2 MÉ MÉTOD TOD TODOS OS D DE E SSOLUC OLUC OLUCIÓN IÓN PO POR R MÉ MÉTOD TOD TODO OG GRÁFI RÁFI RÁFICO CO Este método sólo se utiliza con dos incógnitas. Los pasos son:  Despejar “y” en las dos ecuaciones (similar a método por igualación)  Construir la gráfica para cada ecuación, obteniendo la tabla de valores de cada una.  Representar las dos rectas en una gráfica.  Si las rectas se cortan, el punto de corte son los valores de “x” y “y”.  Si son la misma recta, hay infinitas soluciones que son las coordenadas de los puntos de esa recta y si las rectas son paralelas, no hay soluciones reales.

PRO PROBLE BLE BLEMA MA D DE EA APLIC PLIC PLICACIO ACIO ACIONES NES Consideremos el siguiente ejemplo; en la tabla se nuestra la información sobre la cantidad de energía (calorías) y proteínas que aportan a nuestro organismo una porción de leche en polvo y una porción de alimento fortificante.

¿Cuántas porciones de leche en polvo y alimento fortificante se requiere para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas?

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Sea “x” la cantidad de porciones de alimento fortificante y sea “y” la cantidad de porciones de leche. De acuerdo a esto, podemos formar la siguiente ecuación:

Si resuelve el ejemplo en base a lo antes aprendido debe llegar a la conclusión que x = 7,5 mientras y=2

Ejerc Ejercicios icios Pr Propu opu opuestos estos Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos antes analizados:

Un supermercado trabaja con dos marcas de conservas, A y B, y de ellas vende latas de atún en aceite (M), champiñones (N) y conservas de alberja (Q). El número de latas vendidas diariamente viene dado por la matriz:

Sabiendo que el supermercado cierra los sábados por la tarde y que la venta de la mañana es la mitad de la venta diaria, ¿cuántas latas se venden en una semana?

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Título del Subtema 1:

Defi Definició nició nición n y reso resolució lució lución n de ecua ecuacion cion ciones es ccuadr uadr uadrátic átic áticas as CONTENIDOS DEL SUBTEMA

Una ecuación cuadrática en x es de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes que pertenecen a los reales considerando que a ≠ 0. Por lo tanto, son ecuaciones de segundo grado con una incógnita  x2 + 6x + 5 = 0, donde a=1, b=6, c=5  2x2 + x+ 6 = 0, donde a=2, b=1, c=6  x2 + 3x = 0, donde a=1, b=3, c=0  3x2 + 5 = 0 donde a=3, b=0, c=5 Las dos últimas ecuaciones se pueden dividir entre 2 y 3, respectivamente, obteniéndose 1 𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 2 5 2 𝑥 − =0 3 Siendo en ambos casos el coeficiente de x2 igual a 1. Una ecuación cuadrática incompleta es aquella en la que b = 0 ó c = 0, por ejemplo: 4𝑥 2 − 5 = 0 7𝑥 2 − 2𝑥 = 0 3𝑥 2 = 0

RES RESOLU OLU OLUCIÓN CIÓN DE ECU ECUACI ACI ACIONE ONE ONESS CU CUAD AD ADRÁTIC RÁTIC RÁTICAS AS Resolver una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 es encontrar los valores de x que satisfacen la ecuación. Dichos valores de x se llaman ceros o raíces de la ecuación. Mét Métodos odos de ssolu olu olución ción Existen formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  Factorización Simple  Fórmula Cuadrática 1. Fac Factoriz toriz torización ación sim simple ple ple: consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo 1

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Realizar la factorización simple de la ecuación

NOTA: las soluciones encontradas deben satisfacer la ecuación cuadrático

Ejemplo 2, La ecuación x2 + 5x + 6 = 0; de igual manera que en el ejercicio anterior, obtenemos dos factores donde sus constantes al multiplicarlas me den +6 y que al realizar la suma algebraica de estas constantes me den como resultado +5 entonces dichos factores y sus respectivas constantes serán (x+3)(x+2)=0 ; de donde se obtienen las raíces igualando a cero cada factor (x+3) =0 y (x+2)=0 realizado el procedimiento anterior se obtiene x1 = -3 y x2 = -2. Por ende, x1 y x2 son ceros o raíces de la ecuación que satisfacen dicha ecuación. 2. Fór Fórmu mu mula la cuad cuadráti ráti rática: ca: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejem Ejempl pl plo o Antes de revisar los ejemplos, vea el video propuesto para reforzar los conceptos Ecuaciones cuadráticas una variable. Definición Una vez que ha revisado el video, realice la lectura del siguiente ejemplo. Realizar la factorización a través de la formula cuadrática de la ecuación

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Ejerc Ejercicios icios Pr Propu opu opuestos estos Encontrar las raíces o ceros de las siguientes funciones utilizando cualquiera de los dos métodos estudiados.

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Subtema

Gráfica de una ecuación cuadrática

CONTENIDOS DEL SUBTEMA

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Revise el siguiente video sugerido : Gráfica de una Función Cuadrática (Parábola) V La gráfica de una ecuación cuadrática es muy útil para identificar cuántas soluciones y qué tipos de soluciones tiene una función. Hay tres diferentes situaciones que ocurren cuando se grafica una función cuadrática Apli Aplicaci caci cación ón

Cas Caso o 1 La parábola intercepta o corta el eje de las x en dos puntos.

Un ejemplo de este caso es 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 − 6 Podemos encontrar las soluciones a la ecuación 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0 haciendo y = 0. Resolvemos la ecuación factorizando: (x+3)(x−2)=0, así x=−3 o x=2. Otra forma de encontrar las soluciones es graficar la función y obtener las intersecciones en x a partir de la misma. Vemos que la parábola intercepta el eje de las x en x=−3 y x=2.

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Cuando la gráfica de una función cuadrática intercepta el eje x en dos puntos, obtenemos dos soluciones distintas para la ecuación cuadrática. Cas Caso o 2 La parábola toca el eje x en un punto.

Un ejemplo de este caso es 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 Podemos resolver esta ecuación factorizando. Si hacemos y=0 y factorizando, obtenemos:(x−1)2, así que x=1. Ya que la función cuadrática es un cuadrado perfecto, obtuvimos una única solución para la ecuación. Aquí podemos observar cómo luce la gráfica de esta función. Vemos que la gráfica toca el eje x en el punto x=1. Cuando la gráfica de una función cuadrática toca el eje x en un punto, la ecuación cuadrática tiene una solución y es llamada una doble raíz.

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Cas Caso o 3 La parábola no intersecta o no toca el eje x.

Un ejemplo de este caso es 𝑦 = 𝑥 2 + 1 Este polinomio cuadrático no se puede factorar y la ecuación 𝑥 2 = −1 no tiene soluciones en los reales. Cuando observamos la gráfica de esta función, vemos que la parábola no intercepta o no toca el eje x. Cuando la gráfica de una función cuadrática no intercepta o no toca el eje x, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales sino soluciones imaginarias las que se estudiaran mas adelante.

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Subtema

Ecu Ecuacion acion aciones es ccuad uad uadrátic rátic ráticas as ccon on rraíces aíces ima imagina gina ginarias rias CONTENIDOS DEL SUBTEMA

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON RAÍCES IMAGINARIAS Revise el siguiente video Álgebra para Cálculo: Raíces imaginarias de una ecuación cuadrática Sabemos que la solución de una ecuación cuadrática en donde a, b y c, con a ≠ 0, es:

Además, sabemos que si el discriminante “b2 - 4ac ≥ 0” la solución está formada por números reales. Pero cuando “b2 - 4ac < 0”, no hay solución en números reales, sino dos soluciones que incluyen números imaginarios y que satisfacen la ecuación dada. Ejem Ejempl pl plo o Resolver la ecuación cuadrática 2𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = 0 Los coeficientes son: a = 2; b = - 2 y c = 5. Sustituimos los coeficientes en la fórmula cuadrática:

Recordando que 𝑖 = √−1, tenemos:

Ejerc Ejercicios icios Pr Propu opu opuestos estos Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:  𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0  𝑥 2 + 2𝑥 + 4 = 0

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MATERIAL COMPLEMENTARIO Los siguientes recursos complementarios son sugerencias para que se pueda ampliar la información sobre el tema trabajado, como parte de su proceso de aprendizaje autónomo:

Videos de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY Revisar el Ecuaciones

video

sobre

Sistema

de

https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs https://www.youtube.com/watch?v=ieiRIATCOUI

Revisar el video sobre Ecuaciones Cuadráticas Revisar el cuadráticas

video

graficas

de

ecuaciones

Revisar el video sobre Discriminante Revisar el video sobre Suma y producto de ecuaciones cuadráticas

https://www.youtube.com/watch?v=IAQ2CVjcW2I

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0 https://www.youtube.com/watch?v=V25yjfcC5P0

https://www.youtube.com/watch?v=UD117OBXoTQ

Bibliografía de apoyo: Basurto Hidalgo, Eduardo (2010), MATEMÁTICAS, Prentice Hall Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vásquez, Fabián, Gallegos Ruiz Hernán Aurelio, Cerón Villegas Miguel, Reyes Figueroa Ricardo (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, México, Pearson. Conamat, (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, Pearson Jiménez, (2015), MATEMÁTICAS Y VIDA COTIDIANA 1, Pearson.

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REFERENCIAS Basurto Hidalgo, Eduardo (2010), MATEMÁTICAS, Prentice Hall Aguilar Márquez Arturo, Bravo Vásquez, Fabián, Gallegos Ruiz Hernán Aurelio, Cerón Villegas Miguel, Reyes Figueroa Ricardo (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, México, Pearson.

Conamat, (2015), MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS, Pearson

Jiménez, (2015), MATEMÁTICAS Y VIDA COTIDIANA 1, Pearson

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