Sistemas de ecuaciones 3x3 PDF

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Ecuaciones 3x3...

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Sistema de ecuaciones lineales 3x3 Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales referidas todas ellas a las mismas incógnitas. Un sistema 3x3 significa 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores que verifican todas y cada una de las ecuaciones. Ejemplo de sistema lineal 3x3

1) Método de igualación El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Ejemplo: Tengo el siguiente sistema de ecuaciones:

Elijo una de las tres incógnitas y la despejo en las 3 ecuaciones.

De las 3 ecuaciones tengo que elegir 2 (cualquiera) y las igualo. Por ejemplo la primera y la segunda.

Vemos que, al igualarlas, quedan solo dos incógnitas, finalmente despejamos una de ellas (P), a este resultado lo denominamos A. Ahora tomamos la ecuación que no habíamos utilizado (la 3º) y la igualamos con alguna de las otras dos, vamos a tomar la 1º.

Nuevamente quedaron 2 incógnitas, de ellas despejo la misma que despejamos antes (la P), al resultado lo denominamos B. Igualamos A con B y, de esa manera, obtenemos el valor de Y.

Para obtener el valor de P, reemplazamos a la Y por el valor hallado en A o en B (B).

Finalmente, para obtener el valor de X, reemplazamos la Y y la P por sus valores en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales. (1º)

2) Método de reducción, eliminación o suma y resta Consiste en tomar dos ecuaciones cualesquiera y eliminar una incógnita, resultando una ecuación con dos incógnitas; ahora tomar la que queda con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente y eliminar la misma incógnita que en el caso anterior, resultando otra ecuación con las dos incógnitas anteriores. De esta forma hemos reducido el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas. Ejemplo:

Tomamos las dos primeras ecuaciones y eliminamos la incógnita x: como en la 1ª ecuación el coeficiente de la x es 2 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por −2:

Tomamos la ecuación que queda (la 3ª) con una cualquiera de las dos tomadas anteriormente (elegimos la 2ª):

Así conseguimos el sistema equivalente (segunda ecuación del sistema inicial más estas dos ecuaciones donde se ha reducido la x): Elegimos estas dos últimas ecuaciones, y de nuevo por reducción, eliminamos la z; como en la 1ª ecuación el coeficiente de la z es 3 y en la 2ª es 1, multiplicamos ésta por − 3:

queda una ecuación con una incógnita, que despejando tenemos y = −14/(−14) = 1 sustituyendo éste valor de y en la 2ª ecuación resulta: 3·1 + z = 1 =I> 3 + z = 1 pasando el 3 del primer miembro al 2º con signo “ − “ queda z =1− 3 = − 2 Con estos valores de y = 1 y z = − 2 sustituimos en la 2ª ecuación del sistema inicial y se obtiene: x + 1 – (– 2) = 6 =I> x + 1 + 2 = 6 =I> x + 3 = 6 =I> x = 3 Solución: x = 3; y = 1; z = − 2

3) Método de las determinantes (Regla de Cramer) Ejemplo:

La matriz de coeficientes del sistema es

La matriz de incógnitas es

La matriz de términos independientes es

Calculamos el determinante de A:

Podemos aplicar la regla de Cramer. La matriz A1 es como A pero cambiando la columna 1 por la columna B:

Calculamos x:

La matriz A2 es como A pero cambiando la columna 2 por la columna B:

Calculamos y:

La matriz A3 es como A pero cambiando la columna 3 por la columna B:

Calculamos z:

Por tanto, la solución del sistema es

4) METODO POR SUSTITUCION: Despejamos una incógnita (alguna, si hay, que tenga coeficiente unidad) de cualquiera de las ecuaciones; sustituimos el valor de esa incógnita en las otras dos ecuaciones y reordenamos términos, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Observamos el sistema por si alguna ecuación tuviera despejada una de sus incógnitas; si ocurre nos han hecho parte del trabajo y la reemplazamos en las otras dos, formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en la que ya no existe la incógnita despejada. Si al reemplazar en las otras dos ecuaciones no existe dicha incógnita, tomamos la ecuación tal como está. Ejemplo:

Despejamos x de la 2ª ecuación: x = 2z – y – 2 Sustituyendo el valor de x en las otras dos, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Quitando paréntesis y ordenando se obtiene:

=> y =3z – 3 Entrando con el valor de y en la 1ª ecuación: –5(3z – 3) + 8z = 15 => –15z +15 + 8z = 15 => z = 0

Sustituyendo (con z = 0) en y = 3z – 3 => y = 3·0 –3 = –3

Puesto que x = 2z – y – 2 => x = 2·0 – (–3) – 2 = 1.

Solución: x = 1; y = –3; z = 0 Casos Particulares: A veces en el trascurso de la resolución de un sistema nos encontramos con algunos inconvenientes, se atasca el ejercicio, y no sabemos resolver: - Si encontramos una ecuación con 0x = 0, 0y = 0, 0z = 0, en general el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones). - Si encontramos una ecuación con 0x = a, a ≠0;, 0y = b, b ≠0;, 0z = c, c ≠0, (por ejemplo 0x = 7) el sistema es incompatible (NO hay solución).

5) Método gráfico

Ejemplo:...