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Partie III Comportement Mécanique des Matériaux Composites Cette partie développe l’analyse du comportement mécanique des matériaux composites à l’échelle des constituants (matrice et fibres). Le chapitre 9 considère le comportement élastique d’un composite unidirectionnel: loi d’élasticité, estimat...

Description

Partie III

Comportement Mécanique des Matériaux Composites

Cette partie développe l’analyse du comportement mécanique des matériaux composites à l’échelle des constituants (matrice et fibres). Le chapitre 9 considère le comportement élastique d’un composite unidirectionnel: loi d’élasticité, estimation des modules du composite et comparaison des résultats déduits des modèles avec les résultats expérimentaux. Les matériaux composites à renfort tissu sont des matériaux orthotropes dont le comportement élastique est étudié au chapitre 10. Les matériaux composites stratifiés sont constitués de couches successives dont les directions varient d’une couche à l’autre. Ainsi, le chapitre 11 analyse le comportement élastique d’un matériau unidirectionnel ou orthotrope en dehors des directions du matériau. Une attention particulière est apportée sur l’état de contraintes planes qui sera considéré dans la théorie des stratifiés (partie IV). Enfin, le chapitre 12 introduit les mécanismes fondamentaux de rupture induits dans les matériaux composites, et le chapitre développe différents critères pour évaluer la résistance à la rupture des stratifiés.

CHAPITRE 9

Comportement Élastique d'un Matériau Composite Unidirectionnel

9.1 MODULES EFFECTIFS 9.1.1 Concept d'homogénéisation À une échelle suffisamment fine, tous les matériaux sont hétérogènes, même les matériaux dits homogènes. Pour s'en convaincre, il suffit de partir de l'échelle des atomes et des molécules. Si les matériaux usuels de l'ingénieur devaient être caractérisés à cette échelle d'observation, la tâche serait insurmontable. Pour contourner cette difficulté, l'ingénieur introduit l'hypothèse de continuité de la matière. Cette hypothèse implique un concept de moyenne statistique, dans lequel la constitution réelle du matériau est idéalisée en considérant le matériau comme étant continu. Une fois le modèle de continuité admis, le concept d'homogénéité s'en déduit. Un milieu homogène est alors caractérisé par des propriétés identiques en chaque point. Au niveau de l'ingénieur, le caractère d'hétérogénéité intervient chaque fois que les propriétés physiques ou mécaniques du matériau sont des fonctions du point. Les variations des propriétés peuvent être de deux types : soit continues, soit discontinues comme dans le cas des matériaux composites. Dans ce cas, les propriétés ponctuelles du matériau varient d'une manière discontinue aux interfaces de passage entre les diverses phases. Chaque phase est supposée être homogène et isotrope. Dans le cas d'une phase 1 dispersée dans une phase 2 (figure 9.1), il existe généralement une dimension caractéristique de l'hétérogénéité. Par exemple, dans le cas d'un matériau composite à fibres, cette dimension sera la distance moyenne entre les fibres. Cette dimension est en fait une description idéalisée d'une répartition statistique au sein du matériau hétérogène réel. D'autre part, il existe généralement une échelle de dimension δ à laquelle les propriétés du matériau peuvent être moyennées avec une bonne approximation. Ceci signifie que, dans ce cas, les propriétés mesurées sur un échantillon de dimension δ sont indépendantes de l'endroit ( “du point ” ) du matériau où a été prélevé l'échantillon. Dans le cadre d'un tel concept, le matériau peut alors être considéré comme étant effectivement

146

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

phase 1 phase 2

dimension caractéristique

dimension δ de moyennage

FIGURE 9.1. Homogénéisation d'un matériau hétérogène.

homogène, et les problèmes de calculs des structures peuvent être résolus en considérant les propriétés moyennes mesurées à l'échelle δ. Dans le cas où il existe une telle échelle (intermédiaire entre l'échelle microscopique, celle des constituants, et l'échelle de la structure), on dit que l'on peut homogénéiser le matériau. On parle alors d'homogénéité macroscopique (par opposition à l'échelle des constituants dite microscopique), ou d'homogénéité statistique. Le concept de rendre “homogène” un matériau “hétérogène” est appelé le concept d'homogénéisation. Notons que l'alternative à ce concept serait de tenir compte de chaque région d'homogénéité, en analysant la continuité des contraintes et déplacements au passage de chaque interface. Si une telle approche est concevable dans son principe, elle est encore inaccessible aujourd'hui dans la pratique, compte tenu du nombre élevé d'interfaces à considérer (plusieurs milliers à plusieurs millions). Toutefois, la diminution des temps de calculs et l'augmentation des capacités mémoires des ordinateurs en permettent une approche à une échelle de plus en plus fine.

9.1.2 Modules homogénéisés Le concept d'homogénéisation étant introduit, il est maintenant possible d'exprimer les propriétés mécaniques homogénéisées du matériau hétérogène. Ces propriétés sont déterminées sur un élément de volume V de dimension δ. Cet élément de volume est appelé élément de volume représentatif du matériau. Des conditions de contraintes et déformations étant imposées à la frontière de cet élément de volume, la contrainte moyenne (matrice des contraintes) sur le volume représentatif est définie par :

9.2 Loi de Hooke pour un composite unidirectionnel

σi =

1 V

∫

V

σ i ( xk ) d V ,

147

i = 1, 2, . . . , 6,

(9.1)

i = 1, 2, . . . , 6,

(9.2)

et la déformation moyenne par :

εj =

1 V

∫

V

ε j ( xk ) d V ,

où σi et εj sont les éléments des matrices des contraintes et déformations au point xk, et dV l'élément entourant le point xk. Ces relations sont tout à fait générales et permettent d'expliciter les constantes de rigidité Cij et de souplesse Sij par les expressions :

σ i = Cij ε j ,

i, j = 1, 2, . . . , 6 ,

(9.3)

ε i = Sijσ j ,

i, j = 1, 2, . . . , 6 .

(9.4)

et

C'est dans ce concept d'homogénéisation que seront par la suite considérées les constantes de rigidité et de souplesse. Ainsi, pour déterminer les propriétés homogénéisées d'un matériau hétérogène, il est nécessaire de calculer la contrainte et la déformation moyennes sur le volume représentatif à l'aide de (9.1) et (9.2), puis d'en déduire les constantes de rigidité ou de souplesse à l'aide de (9.3) et (9.4). Si ce problème apparaît simple à résoudre dans son principe, il est en fait particulièrement complexe dans la pratique. En effet, pour appliquer les expressions (9.1) et (9.2), il est nécessaire de trouver au préalable les solutions exactes des champs des contraintes et des déformations, σi(xk) et εj(xk), en chaque point du matériau hétérogène. Ces solutions exactes ne peuvent être obtenues que dans le cas de modèles géométriques simples et idéalisés, et plus ou moins éloignés de la réalité.

9.2 LOI DE HOOKE POUR UN COMPOSITE UNIDIRECTIONNEL 9.2.1 Constitution d'un matériau composite unidirectionnel Un composite unidirectionnel est constitué de fibres parallèles disposées dans une matrice (figure 9.2a). Ce type de matériau constitue la configuration de base des matériaux composites à fibres, d'où l'importance de son étude. La cellule élémentaire d'un tel matériau peut être considérée, en première approximation, comme constituée (figure 9.2b) d'une fibre entourée d'un cylindre de matrice, à

148

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

1, L 1, L 2, T

3, T ′

(b)

(a)

FIGURE 9.2. Composite unidirectionnel.

base circulaire ou mieux hexagonale. Nous reviendrons sur cet aspect au paragraphe 9.3.1. Cette cellule possède un axe de révolution, que nous noterons l'axe 1. Cette direction parallèle aux fibres est appelée direction longitudinale, et pour cette raison l'axe 1 est également noté l'axe L. Toute direction normale aux fibres est appelée direction transversale, et le composite est considéré comme étant isotrope transverse : il est isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse sera repéré par les directions 2 et 3, notées également T et T ′ , ces directions étant équivalentes.

9.2.2 Matrices de rigidité et de souplesse Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être décrit en introduisant (chapitre 7) soit les constantes de rigidité Cij, soit les constantes de souplesse Sij. Compte tenu des résultats établis au chapitre 7, relation (7.17), la loi de Hooke s'écrit suivant l'une des deux formes matricielles, la forme directe : ⎡ σ 1 ⎤ ⎡ C11 C12 C12 ⎢σ ⎥ ⎢C C22 C23 ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎢σ 3 ⎥ ⎢C12 C23 C22 ⎢ ⎥=⎢ 0 0 0 ⎢σ 4 ⎥ ⎢ ⎢σ 5 ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 0 0 ou la forme inverse :

0

0

0 0 1 C −C 23 ) 2 ( 22

0 0 0

0 0

C66 0

0 ⎤ ⎡ ε1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢ε 2 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥ , ⎥ 0 ⎥ ⎢⎢ε 4 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ C66 ⎦⎥ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦

(9.5)

9.3 Modules de l'ingénieur

⎡ ε1 ⎤ ⎡ S11 ⎢ε ⎥ ⎢ S ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎢ε 3 ⎥ ⎢ S12 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ε 4 ⎥ ⎢ 0 ⎢ε 5 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

149

S12 S22 S23 0 0 0

S12 S23 S22 0 0 0

0 0 0 0 0 0 2 ( S22 − S23 ) 0 S66 0 0 0

0 ⎤ ⎡σ1 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢σ 2 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢σ 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥. 0 ⎥ ⎢σ 4 ⎥ 0 ⎥ ⎢σ 5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S66 ⎥⎦ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦

(9.6)

Les matrices de rigidité et de souplesse sont inverses l'une de l'autre, et le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel est donc caractérisé par 5 coefficients indépendants : ou

C11,

C12,

C22,

C23,

C66,

S11,

S12,

S22,

S23,

S66.

9.3 MODULES DE L'INGÉNIEUR Les modules de l'ingénieur sont les modules d'Young, les coefficients de Poisson et les modules de cisaillement. Ces modules sont mesurés dans des essais simples tels que des essais de traction uniaxiale ou de cisaillement. Ces modules correspondent donc à une utilisation usuelle plus pratique que les constantes de rigidité ou de souplesse. Généralement, ces essais sont réalisés en imposant un champ connu de contraintes, puis en mesurant le champ des déformations. Il en résulte que les constantes de souplesse sont liées aux modules de l'ingénieur par des relations plus simples que celles exprimant les constantes de rigidité. Nous établissons ci-après ces diverses relations en considérant divers essais fondamentaux.

9.3.1 Traction longitudinale Dans un essai de traction longitudinale, toutes les contraintes sont nulles, excepté la contrainte σ1 :

σ 1 ≠ 0, σ i = 0,

i = 2, 3, . . . , 6.

En fonction des constantes de rigidité, les équations d'élasticité (9.5) s'écrivent :

σ 1 = C11ε1 + C12ε 2 + C12ε 3 , 0 = C12ε1 + C22ε 2 + C23ε 3 , 0 = C12ε1 + C23ε 2 + C22ε 3 ,

ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0.

150

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

De ces relations, nous tirons :

ε 2 = ε3 = −

C12 ε1, C22 + C23

et

(9.7) ⎛

σ 1 = ⎜⎜ C11 − 2 ⎝

2 ⎞ C12 ⎟ ε1. C22 + C23 ⎟⎠

Nous en déduisons le module d'Young longitudinal EL et le coefficient de Poisson νLT dans une traction longitudinale : EL = C11 −

2 2C12 , C22 + C23

ν LT =

C12 . C22 + C23

(9.8)

En fonction des constantes de souplesse, les équations d'élasticité (9.6) s'écrivent dans un essai de traction longitudinale :

ε1 = S11σ 1, ε 2 = ε 3 = S12σ 1 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. D'où : EL =

1 , S11

ν LT = −

S12 . S11

(9.9)

9.3.2 Traction transverse Dans un essai de traction transverse, par exemple selon la direction 2, le champ des contraintes imposé est :

σ 2 ≠ 0, σ i = 0,

i ≠ 2.

Les équations d'élasticité, en fonction des constantes de rigidité, s'écrivent dans ce cas : 0 = C11ε1 + C12ε 2 + C12ε 3 ,

σ 2 = C12ε1 + C22ε 2 + C23ε 3 , 0 = C12ε1 + C23ε 2 + C22ε 3 ,

ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. D'où l'on tire :

9.3 Modules de l'ingénieur

151

ε1 = − ε3 = −

C12 ( C23 − C22 ) 2 − C11C22 C12 2 − C11C23 C12 2 − C11C22 C12

ε2,

ε2,

(9.10)

2 2 ⎤ ⎡ C12 C22 − 2C23 ) + C11C23 ( σ 2 = ⎢C22 + ⎥ ε2. 2 C12 − C11C22 ⎢⎣ ⎥⎦

Nous en déduisons les expressions du module d'Young transverse ET et des coefficients de Poisson ν21 et ν23, notés respectivement νTL et ν TT ′ : EL = C22 +

ν TL = ν TT ′ =

2 2 C12 ( C22 − 2C23 ) + C11C23 2 C12 − C11C22

C12 ( C23 − C22 ) 2 C12 − C11C22 2 C12 − C11C23 2 C12 − C11C22

,

,

(9.11)

.

En introduisant les coefficients de souplesse, les équations d'élasticité en traction transverse s'écrivent : ε1 = S12σ 2 ,

ε 2 = S22σ 2 , ε 3 = S23σ 2 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. Soit :

ε1 =

S12 ε2 , S22

ε3 =

S23 ε2 , S22

1 , S 22

ν TL = −

σ2 =

1 ε2, S22

(9.12)

S23 . S22

(9.13)

et ET =

S12 , S 22

ν TT ′ = −

Ces relations, comparées aux expressions (9.9), montrent que les coefficients EL, ET, νTL et νLT sont liés par la relation : EL

ν LT

=

ET

ν TL

.

(9.14)

9.3.3 Cisaillement longitudinal Un essai de cisaillement longitudinal correspond à l'un des états de contraintes :

152

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

⎧σ 5 ≠ 0, ⎧σ 6 ≠ 0, ou ⎨ ⎨ ⎩ σ i = 0 si i ≠ 5, ⎩ σ i = 0 si i ≠ 6. Dans le deuxième cas, les équations d'élasticité s'écrivent :

ε1 = ε 2 = ε 3 = ε 4 = ε 5 = 0, σ 6 = C66ε 6 .

(9.15)

Nous en déduisons le module de cisaillement longitudinal GLT : GLT = C66

ou

GLT =

1 . S66

(9.16)

Les directions T et T ′ étant équivalentes, nous avons : GLT ′ = GLT = C66 .

(9.17)

9.3.4 Cisaillement transverse Dans un essai de cisaillement transverse, le champ des contraintes s'exprime par : σ 4 ≠ 0, σ i = 0 si i ≠ 4. D'où les relations :

εi = 0 σ4 =

si i ≠ 4,

1 ( C22 − C23 ) ε 4 . 2

Le module de cisaillement transverse GTT ′ s'écrit donc : GTT ′ =

1 ( C22 − C23 ) 2

ou

GTT ′ =

1 . 2 ( S22 − S 23 )

(9.18)

Le module de cisaillement transverse GTT ′ est lié au module d'Young transverse ET et au coefficient de Poisson ν TT ′ , par l'expression : GTT ′ =

ET . 2 (1 + ν TT ′ )

(9.19)

9.3.5 Compression hydrostatique latérale L'essai de compression hydrostatique latérale sans déformation longitudinale permet également une caractérisation simple des matériaux. Dans un tel essai, les champs imposés des contraintes et déformations sont tels que :

9.3 Modules de l'ingénieur

153

σ 2 = σ 3 = − p, σ 4 = σ 5 = σ 6 = 0, ε1 = 0, σ1 ≠ 0, où p est la pression hydrostatique imposée. Les équations d'élasticité s'écrivent alors : σ 1 = C12ε 2 + C12ε 3 , − p = C22ε 2 + C23ε 3 , − p = C23ε 2 + C22ε 3 , ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0. De ces équations, nous tirons :

ε 2 = ε3,

− p = ( C22 + C23 ) ε 2 ,

σ1 = 2C12ε 2 . La dilatation surfacique es s'écrit : es = ε 2 + ε 3 = −

2 p. C22 + C23

D'où : p=−

1 ( C22 + C23 ) es . 2

(9.20)

Nous en déduisons le module de compression latérale KL sans déformation longitudinale : KL =

1 ( C22 + C23 ) . 2

(9.21)

De même en fonction des constantes de souplesse, nous obtenons : KL =

1 ⎛ S2 ⎞ 2 ⎜ S22 + S23 − 2 12 ⎟ ⎜ S11 ⎟⎠ ⎝

.

(9.22)

Le module KL est relié au module d'Young longitudinal EL et au coefficient de Poisson νLT par l'expression : KL =

C11 − EL 2 4ν LT

.

(9.23)

154

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

9.3.6 Modules en fonction des constantes de rigidité et de souplesse Nous reprenons ici la synthèse des résultats obtenus dans les paragraphes précédents. Dans ces paragraphes, nous avons introduit les modules de l'ingénieur, mesurés dans des états simples de contraintes et déformations : — EL et νLT, le module d'Young et le coefficient de Poisson, mesurés dans un essai de traction longitudinale ; — ET, νTL, νTT', le module d'Young et le coefficient de Poisson, mesurés dans un essai de traction transverse ; — GLT et GTT', les modules de cisaillement mesurés respectivement dans des essais de cisaillement longitudinal et transverse ; — KL, le module de compression hydrostatique mesuré dans une compression hydrostatique latérale sans déformation longitudinale. Nous avons vu (paragraphe 9.2.2) que le comportement mécanique d'un matériau unidirectionnel est caractérisé par 5 grandeurs indépendantes. Parmi les modules de l'ingénieur, seuls 5 modules sont donc indépendants. Par exemple, nous avons les relations : ET =

GTT ′ =

2 1 1 ν2 + + 2 LT EL 2 K L 2GTT ′

,

1 ⎛ 2 1 ν2 − − 2 LT 2⎜ ⎜ ET 2 K L EL ⎝

ν TT ′ =

⎞ ⎟⎟ ⎠

(9.24)

,

ET − 1, 2GTT ′

ν TL = ν LT

ET . EL

(9.25)

(9.26)

(9.27)

Les modules généralement utilisés dans la pratique sont : EL, ET, νLT, GLT et GTT'. Par contre, nous verrons que le module KL peut être estimé par des relations analytiques en fonction des caractéristiques des constituants du composite, d'où l'intérêt de KL. Les expressions des modules en fonction des constantes de rigidité sont :

9.3 Modules de l'ingénieur

EL = C11 − ET = C22 +

ν TL =

155

2 2C12 , C22 + C23

2 2 C12 ( C22 − 2C23 ) + C11C23 2 − C11C22 C12

C12 ( C23 − C22 ) 2 − C11C22 C12

GLT = C66 ,

ν LT =

GTT ′ =

, (9.28)

ν TT ′ =

,

C12 , C22 + C23

2 C12 2 C12

1 ( C22 − C23 ) , 2

− C11C23 − C11C22

KL =

,

1 ( C22 + C23 ) . 2

Les expressions des modules en fonction des constantes de souplesse sont : EL =

1 , S11

ν LT = −

S12 , S11

ET =

1 , S22

ν TL = −

S12 , S22

GLT =

1 , S66

GTT ′ =

KL =

9.3.7

ν TT ′ = −

1 , 2 ( S22 − S23 )

1 2 ⎞ ⎛ S12 2 ⎜ S22 + S23 − 2 ⎟ ⎜ S11 ⎟⎠ ⎝

S23 , S22 (9.29)

.

Constantes de rigidité et de souplesse en fonction des modules

Les relations inverses, permettant de déterminer les constantes de rigidité et de souplesse en fonction des modules, s'obtiennent sans difficulté. Elles s'écrivent pour les constantes de rigidités : 2 C11 = EL + 4ν LT KL ,

C12 = 2 K Lν LT , C22 = GTT ′ + K L , C23 = −GTT ′ + K L , C66 = GLT .

(9.30)

156

Chapitre 9 Comportement élastique d'un composite unidirectionnel

Pour les constantes de souplesse, les relations s'écrivent : 1 , EL 1 = , ET 1 = . GLT

S11 =

S12 = −

S22

S23 = −

S66