Condiciones de frontera y de continuidad para vigas estaticamente inder PDF

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Condiciones de frontera y de continuidadCuando se resuelven las ecuaciones 12-8, 12-9 o 12-10, las constantes de integración se determinan mediante la evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente o el desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce ...

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Condiciones de frontera y de continuidad Cuando se resuelven las ecuaciones 12-8, 12-9 o 12-10, las constantes de integración se determinan mediante la evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente o el desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce el valor de la función. Estos valores se denominan condiciones de frontera. En la tabla 12-1 se presentan varias condiciones de frontera que suelen utilizarse para resolver problemas de deflexión en vigas (o ejes).

Por ejemplo, si la viga se sostiene mediante un rodillo o pasador (1, 2, 3, 4), es necesario que el desplazamiento sea cero en estos puntos. Además, si estos apoyos se encuentran en los extremos de la viga (1, 2), el momento interno en la viga también debe ser cero. En el soporte fijo (5) la pendiente y el desplazamiento son ambos cero, mientras que la viga con un extremo libre (6) tiene tanto momento como fuerza cortante iguales a cero. Por último, si dos segmentos de una viga están conectados mediante un pasador "interno" o bisagra (7), el momento debe ser cero en esta conexión. Si la curva elástica no puede expresarse con una sola coordenada, entonces se deben usar condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejemplo, considere la viga de la figura 12-9a. Aquí se eligen dos coordenadas x con orígenes en A. Cada una es válida dentro de las regiones 0≤x, Sa y asx, s (a

+ b). Una vez que se obtienen las funciones para la pendiente y la deflexión, se deben dar los mismos valores para la pendiente y la deflexión en el punto B para que físicamente la curva elástica sea continua. Expresado de manera matemática, esto requiere que 0, (a)=0₂(a) y v, (a) = v ₂(a). Estas condiciones pueden utilizarse para evaluar dos constantes de integración. Si en lugar de lo anterior la curva elástica se expresa en términos de las coordenadas 0≤x, s ay 0≤x≤ b, que se muestran en la figura 12-9b, entonces la continuidad de la pendiente y la deflexión en B requiere que 8, (a) = -0₂(b) y v₁(a) = v₂(b). En este caso particular, es necesario un signo negativo para que las pendientes en B coincidan puesto que x, se extiende positivo hacia la de recha, mientras que x, se extiende positivo a la izquierda. En consecuencia, 8, es positivo en sentido antihorario y 0 ₂ es positivo en sentido horario. Vea las figuras 12-8b y 12-8c.

Procedimiento de análisis El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar la pendiente y la deflexión de una viga (o eje) usando el método de integración.

Curva elástica. 

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



Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde que en todos los soportes fijos se produce pendiente cero y desplazamiento cero, y que en todos los soportes de pasador y de rodillo ocurre desplaza miento cero. Establezca los ejes de coordenadas x y v. El eje x debe ser paralelo a la viga sin deflexión y puede tener su origen en cualquier punto a lo largo de la viga, con una dirección positiva ya sea a la derecha o a la izquierda. Si existen varias cargas discontinuas presentes, establezca las coordenadas x que son válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades. Elija estas coordenadas de modo que simplifiquen el trabajo algebraico posterior. En todos los casos, el eje positivo u asociado debe estar dirigido hacia arriba

Función de carga o de momento. 

Para cada región en la que hay una coordenada x, exprese la carga w o el momento interno M como una función de x. En particular, siempre suponga que M actúa en la dirección positiva cuando se aplica la ecuación de equilibrio de momentos para determinar M =f(x).

Pendiente y curva elástica. 



Siempre que sea constante, aplique la ecuación de carga , que requiere cuatro integraciones para obtener v = v(x), o la ecuación de momentos , que requiere sólo dos inte graciones. Para cada integración, es importante incluir una constante de integración. Las constantes se evalúan usando las condiciones de frontera para los soportes (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se aplican a la pendiente y el desplazamiento en los puntos donde coinciden dos funciones. Una vez que las constantes se evalúan y se sustituyen de nuevo en las ecuaciones de pendiente y deflexión, es posible determinar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos de la curva elástica.



Los valores numéricos obtenidos pueden verificarse de manera gráfica al compararlos con el dibujo de la curva elástica. Observe que los valores positivos para la pendiente tienen sentido antihorario si el eje x positivo se extiende a la derecha, y sentido horario si el eje x positivo se extiende hacia la izquierda. En cualquiera de estos casos, el desplazamiento positivo es hacia arriba.

MECÁNICA DE MATERIALES, OCTAVA EDICIÓN, RUSSELL C. HIBBELER

Ecuación de la curva elástica Recuerde primero, del cálculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q(x,y) de la curva es:

en donde y son la primera y segunda derivadas de la función y(x) representada por esa curva. Pero, en el caso de la curva elástica de una viga, la (9.2) pendiente es muy pequeña y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Entonces:

Sustituyendo por 1yr de (9.3) en (9.1), se tiene

(9.3)

(9.4)

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden; es la ecuación diferencial que gobierna la curva elástica. El producto se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga, como en el caso de una viga de sección variable, debe expresársele como función de x antes de integrar la ecuación (9.4). Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado aquí, la rigidez a flexión (9.5) es constante. Pueden multiplicarse ambos miembros de la ecuación (9.4) por EI e integrar en x. Se escribe

siendo una constante de integración. Si es el ángulo en radianes que la tangente a la curva elástica forma con la horizontal en (figura 9.7), y recordando que este ángulo es pequeño, se tiene

En consecuencia, la ecuación (9.5) puede escribirse en la forma alterna

(9.5´)

Integrando los dos miembros de la ecuación (9.5) en x, se tiene

en donde C2 es una segunda constante y el primer término del miembro derecho es la función de x obtenida integrando dos veces en x el momento flector M(x). Si no fuera porque C1 y C2 permanecen indeterminadas, la ecuación (9.6) definiría la deflexión de la viga en cualquier punto dado Q y la ecuación (9.5) o la (9.5′) definirían del mismo modo la pendiente de la viga en Q. Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o, dicho con mayor precisión, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos.

La viga prismática simplemente apoyada AB soporta una carga uniformemente distribuida w por unidad de longitud (figura 9.12). Halle la ecuación de la curva elástica y la deflexión máxima.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción AD de la viga (figura 9.13) y tomando momentos con respecto a D.

se encuentra que:

(9.12)

Sustituyendo a M en la ecuación (9.4) y multiplicando ambos miembros por ,

(9.13)

Integrando dos veces en x (9.14)

Observando que en ambos extremos de la viga (figura 9.14), primero se(9.15) hace y en la ecuación (9.15) y se obtiene . Luego y en la misma ecuación y se escribe

Llevando los valores de C1 y C2 a la ecuación (9.15) se obtiene la ecuación de la curva elástica.

O (9.16)

Sustituyendo en la ecuación (9.14) el valor de C1, se verifica que la pendiente de la viga es cero para x = L/2 y que la curva elástica tiene un mínimo en el punto medio C de la viga (figura 9.15). Haciendo x = L/2 en la ecuación (9.16)

La deflexión máxima o, más exactamente, el máximo valor absoluto de la deflexión es:

TEMA 7.5 Procedimiento de la doble integración Si se conoce la ecuación de la elástica, las otras cantidades físicas de esa viga se determinan por derivaciones sucesivas. Sin embargo, este tipo de problema

generalmente no se presenta. En la mayoría de los casos se conocen la forma de apoyo de la viga y las condiciones de carga. El cortante y el momento pueden determinarse mediante los procedimientos discutidos en el capítulo 4, y el problema remanente consiste en encontrar la elástica de la viga.

La ecuación de la elástica se determina mediante la aplicación de la ec. (7.4), dy/dx² = = M/El. La ecuación para el momento flexionante de la viga se expresa en términos de x y de las condiciones de carga. Esta expresión se sustituye para M en la ec. (7.4): la expresión resultante se integra una vez para obtener la ecuación de la pendiente dy/dx, y se integra una segunda vez para determinar la ecuación de la deflexión y. PROCEDIMIENTO 1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas, y se bosqueja su eje deformado, notando en particular los puntos que tienen deflexión cero o pendiente cero. 2. Se determinan los ejes coordenados. Generalmente es mejor elegir el origen en un extremo de la viga. 3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia general r a partir del origen de coordenadas, y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante. Es buena práctica indicar los ejes coordenados en esta figura. 4. A partir del cuerpo libre del paso 3, se escribe una ecuación para el momento flexionante en la viga, en términos de x y de las cargas. 5. Se sustituye esta expresión para M en la ec. (7.4), 6. e integra la ecuación del paso 5 para obtener la ecuación de la pendiente de la viga. 7. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera, o de limite. 8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la deflexión y de la viga.

9. Se calcula la constante de integración aplicando las condiciones a la frontera. Unos cuantos comentarios generales en este punto pueden ser útiles al aplicar estos pasos a la solución de problemas. Al usar la ec. (7.4) debe obtenerse una expresión algebraica para el momento flexionante. Cada vez que cambia la ecuación para el momento flexionante (lo que sucede cada vez que cambian las condiciones de carga), debe usarse una nueva expresión con la ec. (7.4). El intervalo de validez de la ecuación

del

momento

flexionante

es,

por

consiguiente, el intervalo de validez de cualquiera de las ecuaciones obtenidas usando esa expresión.

Siempre que se resuelva una integral indefinida, resultará una constante de integración. Esta constante de integración debe calcularse siempre, pues no necesariamente es cero. Para calcular esta constante de integración, deben conocerse ciertas relaciones entre las variables de las ecuaciones. Estas relaciones se llaman condiciones a la frontera. El reconocimiento de las condiciones a la frontera en un problema y el cálculo correspondiente de la constante de integración son necesarios para la solución completa del mismo. La Fig. 7.6 es útil para ilustrar algunos de los comentarios discutidos anteriormente. En la Fig. 7.6 (a), solamente hay un tipo de carga en todo el claro y una aplicación de los pasos del 1 al 9 determinará la ecuación para la elástica. En este caso, la ecuación se aplicará a todo el claro de la viga. Para calcular las constantes de integración, debe notarse que la pendiente y la deflexión en el extremo empotrado son cero. Estas dos condiciones físicas, que son las condiciones a la frontera, son necesarias para calcular las dos constantes de integración.

La viga de la Fig. 7.6 (h) es más complicada debido a que hay tres secciones diferentes, teniendo cada una su propia ecuación para el momento flexionante. Esto significa que los pasos del procedimiento descrito antes deben aplicarse tres veces diferentes, una para cada ecuación de momento. Por consiguiente, habrá tres ecuaciones para la curva elástica, teniendo cada una de ellas sus propios límites. CONDICIONES DE FRONTERA Para la solución de problemas de deflexiones en vigas, además de las ecuaciones diferenciales deben prescribirse condiciones de frontera. Varios tipos de condiciones homogéneas de frontera son los siguientes: 1. Empotramiento: En este caso, el desplazamiento y la pendiente du/dx deben ser cero. Por consiguiente, en el extremo considerado, donde , (14.15a)

2. Soporte de rodillo o soporte articulado: En el extremo considerado, no puede existir ni deflexión v ni momento M. Por consiguiente, (14.15b)

3. Extremo libre: Tal extremo está libre de momento y de fuerza cortante. Por consiguiente, (14.15c)

4. Soporte guiado: En este caso se permite el movimiento vertical pero la rotación del extremo está impedida. El soporte no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante. Por tanto, (14.15d)

Las condiciones de frontera se relacionan con las deflexiones y pendientes en los apoyos de una viga. Por ejemplo, en un apoyo fijo simple (una articulación o un rodillo) la deflexión es cero (figura 9.5) y en un apoyo la deflexión y la pendiente

son cero (figura 9.6). Cada una de estas condiciones de frontera da una ecuación que se puede emplear para evaluar las constantes de integración.

Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración confluyen, como en el punto C en la viga de la figura 9.7. La curva de deflexión de esta viga es físicamente continua en el punto C y, por tanto, la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte derecha. De manera similar, las pendientes encontradas para cada parte de la viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones de continuidad da una ecuación para evaluar las constantes de integración.) Las condiciones de simetría también pueden estar presentes, si una viga simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, sabemos de antemano que la pendiente de la curva de deflexión en el punto medio debe ser cero. Esta condición da una ecuación adicional, como se ilustra en el ejemplo 9.1. Cada condición de frontera, de continuidad y de simetría conduce a una ecuación que contiene una o más constantes de integración. Como el número de condiciones independientes siempre es igual al número de constantes de integración, de las ecuaciones podemos despejar las constantes. (Las condiciones

de frontera y de continuidad solas siempre son suficientes para determinar las constantes. Cualesquiera condiciones de simetría proporcionan ecuaciones adicionales, pero no son independientes de las otras ecuaciones. La elección de qué condiciones emplear es un aspecto de conveniencia.) Una vez evaluadas las constantes, éstas se pueden sustituir de regreso en las expresiones para las pendientes y deflexiones, produciendo de esta manera las ecuaciones finales de la curva de deflexión. Luego estas ecuaciones se pueden utilizar para obtener las deflexiones y los ángulos de rotación en puntos particulares a lo largo del eje de la viga....