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Miércoles 5 de Noviembre del 2014

Economía & Negocios

Pauta CONTROL 4

MES 205: Métodos Matemáticos III Profesores: G. Aguilera y J. Uribe Ayudante: Javiera Recabal.,

PROBLEMA 1. (50 ptos.) Parte i. (20 ptos) Sea la matriz A definida por  x 1 x  2 3x    A 0 x x  2  2 3 1   Encuentre para que valor de x se cumple que det | A | x .

Respuesta Primero el determinante de la matriz corresponde a:  x x  2   x  2 3x  det | A | ( x  1)   6x 2  2 2 1   x x  2 3

Entonces, det | A |  6x 2  2  x  6 x2  2  x  0

 6 x2  x  2  0

Los valores, son:  1  1  48  1  7  12 12 Los posibles valores que puede tomar x , son: x1   23 y x 2  x1, 2 

1 2

______________________________________________________20 ptos.________ Parte ii. (20 ptos) Se dice que B  IR nn es una matriz semejante a la matriz A  IR n n si existe una matriz P  IR nn invertible, tal que B  P1  A  P . Demuestre que si B  IR n n es una matriz semejante a la matriz A  IR nn , entonces, se cumple que: det | B    I | det | A    I |

Respuesta Utilizando las propiedades indicadas de matriz semejante, se que: det | B    I | det | P 1  A  P    I |  det | P 1  A  P    ( P 1 P) |  det | P 1  ( A    I) P |  det | P 1 |  det | ( A    I) | det | P |  det | ( A    I) | det | P 1 |  det | P |  det | ( A   I) | det | I |  det | ( A    I) |

Por lo tanto, queda demostrado. ______________________________________________20 ptos._________________

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Parte iii. (10 ptos) k 1

Para qué valor de k la matriz A  

12    5 

posee valores propios 1  1 y  2  2 .

Respuesta Los valores propios de una matriz, se obtiene imponiendo la condición det | A    I |  0

Pero, se sabe que los que:

 k  12    0   k  12  det      det   1 5 0 1 5            ( k   )(5   )  12  0 valores propios son  1   1 ó  2   2 , entonces,

reemplazando se tiene

( k  )( 5   )  12  ( k 1)(5  1)  12  4 k  4  12  0 

k 2

Alternativamente ( k   )( 5  )  12   ( k  2)(5  2)  12  3k  6  12  0 

k 2

Por lo tanto, la matriz debería ser:  2  12   A   1  5 

________________________________________________10 ptos._____________ PROBLEMA 2. (50 ptos.) Parte i. (20 ptos) Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores 

v  ( 2,1, k  3)

y





w  (1, k  2, 4) . Escribir u





u  (3, k , 6)



como combinación lineal de v y w , siendo k el

valor calculado. Respuesta: Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir, que el determinante de dicha matriz sea igual a cero. Si estos vectores son L.D. o L.I. es necesario plantear un sistema homogéneo, es decir: 







 u   v  w  0  3   

 2   

 

1  



  k     1    k  2  0   6 k  3  4         2  3 1       1 k  2     0  k  6 k  3 4     

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La matriz puede ser planteada tanto usando filas como columnas, es decir: 2 1     3     k  2     0 1  k  6 k  3 4      6    k  3     1 k  3     0  2  1 k 2 4    

En cualquier caso el determinante será el mismo por lo que plantear al plantear el sistema se obtendrá el mismo resultado. 3 k 6 1 k30 2 1 k 2 4 3

2 k3 2 1 1 k3  34  ( k  2)( k  3)   k ( 8  k  3)  6( 2k  4  1)  0 k 6 1 k 2 4 1 4 k 2





 3 4  ( k2  5 k  6)  k(11  k)  6( 2 k  5)  0  3(  k  5 k  2)  11k  k 2  12k  30  0 2

 3k 2  15k  6  k 2  23k  30  0  2 k 2  8 k  24  0  k 2  4 k  12  0  ( k  6 )( k  2)  0

Por lo tanto, k  2 y k  6 _________________________________________________10ptos.______________ 





Para el caso en que k  2 , los vectores serían u  (3, 2, 6 ) , v  (2,1,1) y w  (1,0,4 ) . Así, la dependencia lineal está dada por (3, 2, 6)  a ( 2,1,1)  b (1,0,4) (3,2,6)  (2a  b , a , a  4b ) 3   2a  b 2  a  a  2 y b 1  6  a  4b (3, 2, 6)  2( 2,1,1)  (1,0,4)  (4  1, 2, 2  4) u  2 v  w

_________________________________________________5ptos._______________ 





Para el caso en que k  6 , los vectores serían u  (3,6, 6) , v  (2,1,9 ) y w  (1,8,4) . Página 3

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Así, la dependencia lineal está dada por (3,6, 6)  a ( 2,1,9)  b (1,8,4) (3,6,6)  ( 2 a  b, a  8b,9a  4b) 3   2a  b  2 a 6  a  4 b

 a

18 17

y

15 b 17

15 18  36 15 18 120 162 60    51 102 102   , , ( 2,1,9)  (1,8,4)    ,     ,  3,6, 6 17 17   17 17 17  17 17  17 17 17 17 18 15 u  v w 17 17

(3,6, 6)  

________________________________________________5ptos._______________ Parte ii. (30 ptos) Luego del término de las guerras Genpei a finales del siglo XII (1180-1185) en Japón, el Emperador Go-Shirakawa perdió su importancia a mano del primer Shogun de la historia Japonesa Minamoto no Yorimoto por lo cual el clan Taira, perdedor en las guerras Genpei, tuvo que esconder al ascendido nuevo Emperador Go-Toba de tan solo 3 años, para lo cual el clan Taira planifico contratar a diversos guerreros con el fin de proteger todo el día al nuevo e indefenso Emperador. El Clan Taira recurre a 3 tipos de guerreros: Shinobi (ninja), Samurái y Sohei, los primeros mercenarios entrenados en diversas formas para hacer la guerra, Samurái eran guerreros de la elite Japonesa y los Sohei monjes guerreros de las montañas. La inteligencia de los Taira reduce el problema a que será necesario tener a los 3 tipos de guerreros cuidando al emperador en distintos momentos del día, de las 00:00 AM a 08:00 AM (Noche), de 08:00 AM a 16:00 PM (Dia) y de 16:00 PM a 24:00 PM (Atardecer). La relación entre los guerreros en cada periodo del día debe de estar en una cierta razón debido a sus habilidades y conocimientos tácticos de la guerra, en el turno de la noche la razón debe de ser 2:4:3 (Shinobi : Samurai : Sohei), en el turno del día 4:3:2 y en el turno del atardecer 2:3:1. Para cada turno debe de haber una cantidad exacta de guerreros en posiciones estratégicas por lo que en el turno de la noche la cantidad de guerreros debe de ser 39, en el turno de día debe ser 46 y en el atardecer debe de ser 29. Sea “x” la cantidad de Shinobi, “y” la cantidad de Samurai y “z” la cantidad de Sohei. a) Plantee el problema recién descrito en forma matricial. b) Ocupando el sistema homogéneo muestre que el sistema tiene una única solución.

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c) Resuelva el sistema planteado en a) pero ocupando solamente el teorema de CarleyHamilton1. Respuesta: a) El problema planteado seria de la siguiente forma: 

A x  b  2 4 3  x  39        4 3 2  y   46   2 3 1  z  29      

b) Si planteamos el sistema homogéneo tendríamos lo siguiente:

 2 4 3 0    4 3 2 0    2 3 1 0

 2 4 3 x  0        4 3 2 y   0   2 3 1 z  0       3 3 0 E 23 (5)  2 4 E 31 ( 1) 2 4    6   0  5  4 0   0 0      0 1 2 E 21 ( 2) 0  1  2 0 

0  0  0

Podemos ver que la única solución posible al sistema homogéneo es que todas las incógnitas sean cero, por lo cual queda demostrado que existe una única solución. c) Para poder encontrar la solución al sistema planteado en a) vimos muchas formas de resolución, una de las cuales era la siguiente: 

A x  b 

A1  A  x  A1  b 

x  A 1  b

Como es necesario encontrar la matriz inversa de A, una forma de encontrar dicha matriz es ocupando el teorema de Carley-Hamilton, por lo cual es necesario encontrar el polinomio característico. 2 P( )  A  I 

3

4

4 3 

2

3

1 

A  I  ( 1) 1 1 (2   ) 



2

3 

2

3

1 

 ( 1) 21  4 

4

3 1 

 (2   )(3   )(1   )  6  4(4  4  9)  2(8  9  3 )  6  6  5  5   2  3  6  28   3  6 2  17  12

1

No calcule ni los valores ni los vectores propios, no podrá.

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3

 ( 1) 31  2 

4

3

3 

2

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Carley-Hamilton plantea que la matriz A original si es sustituida en el polinomio característico, esto da una matriz nula, pero sabemos que podemos tomar dicha expresión y trabajar con ella de la siguiente manera:  3  62  17  12  0 

 A 3  6 A 2  17 A  12 I  0 12I  A 3  6A 2  17A



12I  A A 2  6A  17I



Multiplicando por la inversa de A por la izquierda, tenemos lo siguiente:



12A 1  A 1 A A2  6A  17I 1 A 1   A 2  6A  17I 12







Aquí obtenemos la inversa de A, por lo cual nos queda resolver la expresión anterior: A1 

 2 4 3 2 4 3   2 4 3   1 0 0        1    4 3 2 4 3 2   6 4 3 2   17 0 1 0  12   0 0 1         2 3 1 2 3 1   2 3 1 

 26 29 17  12 24 18 17 0 0        1  A    24 31 20   24 18 12   0 17 0   12        18 20 13  12 18 6   0 0 17  1

A1 

1   8  10 

 3 5 1    0 4 12  2 6 

Por último, reemplazamos esto último en x  A 1  b y resolvemos: 1   39   3 5    1  x    0  4 8    46  12  2 10   29  6





x

 84 7  1       48  4  12      36 3 

Por lo tanto, para asegurar la protección del emperador de Japón es necesario tener 7 Shinobi, 4 Samurai y 3 Sohei en cada turno. ________________________________________30ptos.__________

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MES 205: Métodos Matemáticos III Profesores: Gabriela Aguilera y José Uribe. Ayudante: Christopher Araya.

PROBLEMA 1. (50 ptos.) Parte i. (20 ptos) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: kx  y  z  2 k  1 x  ky  z  k 2 x  y  kz  3  2k

Determine el o los valores del escalar k para que el sistema sea incompatible. Respuesta: Resolviendo a través del método de Gauss y planteando la matriz ampliada, se tiene: k 1 3  2k   1 1 k 3  2k  1  k 1 1 2k  1   E 21 ( 1)   E 31( k )   E13  2 2 2 1 k 1 k   0 k  1 1 k k  3  2k  1 k 1 k    1 1 k 3  2k   k 1 1 2k  1   k 1 1 2 k 1       1 1  k k 1 3  2k  1 3 2k   E 32 (1)   2 2 k  3  2k  1 k 0 k 1 1  k k  3  2 k  0 k 1  0 1 k 1 k 2 1 k 2k 2   0 0 2  k 2  k  4  k  3k 2          ________________________________________________________10 ptos.___

Luego, resolviendo el sistema de modo ascendente, se tiene que: z ( k 2  k  2)  3k 2  k  4

z

3k 2  k  4 k2 k 2

Por lo que, para que el SEL sea incompatible, se debe cumplir que:  k 2  k  2  0 y 3k 2  k  4  0 ________________________________________________________5 ptos.___

Resolviendo,

 k 2  k  2  0  (k  1)(k  2)  0  k  1  k  2 y,

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3k 2  k  4  0  si k  1  3 *12  1  4  0 no es distinto de cero  si k   2  3 * ( 2)2  2 4  12  6  6  0 ________________________________________________________3 ptos.___

Por lo tanto, para que el sistema sea incompatible y se cumplan las condiciones que  k 2  k  2  0 y 3k 2  k  4  0 , el valor de k debe ser -2. ________________________________________________________2 ptos.___ Parte ii. (20 ptos)

 2  12   4   y determine si Compruebe que v    es vector propio de la matriz A   1  1  5    2 es un valor propio asociado. Respuesta:

  4 Para determinar si v    es vector propio de A , 1   Ax  x  4  2 12 4         1  1  5 1   4   4       1   1  4  Por lo tanto, v    es vector propio de A asociado al valor propio   1 . 1  ________________________________________________________5 ptos.______

  Para determinar si   2 es valor propio de A y basándose en la ecuación Ax  x , se tiene    que Ax  2 x  ( A  2 I ) x  0 , por lo tanto,   2 12    0   x1  0      1  5    0   x   0      2       2 12   2 0  x 1  0            1  5   0 2  x  0     2      4 12   x1   0          1  3  x 2   0  ________________________________________________________5 ptos._______

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Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, se tiene,  4 12 0 E 21  1  3 0 E 21 ( 4)  1  3 0        3 0 3  1  3 0   4  12 0   0 0 0   x 1  x 2   x 1  x 2       ________________________________________________________5 ptos._______

Reescribiendo el vector, 3   x1  3 x 2    x2       1   x 2   x2 

  Por lo tanto,   2 es valor propio ya que satisface la ecuación Ax  x y tiene asociado el vector propio (3,1) cuando x 2  1. ________________________________________________________5 ptos._______ Parte iii. (10 ptos)  2 2 1   Sea la matriz: A   1 3 1  con determinante igual a 5 y un vector propio asociado a esta  1 2 2   matriz igual a 1. Encuentre el resto de valores propios sin utilizar el polinomio característico.

Respuesta: Para encontrar el resto de valores propios de esta matriz debemos usar las siguientes ecuaciones: 1   2  3  Tr( A)  1  2   3  Det (A ) ________________________________________________________5 ptos.___ Al utilizar los datos del enunciado y al sumar la diagonal de la matriz A para tener la traza, obtenemos lo siguiente:

1  2  6 1  2  1  2  3  2 1  2  6 5  2 2  6 2  5  0     2 1  2 1  5 1  2  5  1

Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a 1  5, 2 1 o 1  1, 2  5 Por lo tanto, el resto de valores propios son 1 y 5. ________________________________________________________5 ptos.___

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PROBLEMA 2. (50 ptos.) Parte i. (25 ptos.)

1 3  2   Sea la siguiente matriz X   5  2 1  .  2 2 2   Calcule los valores propios de la matriz. Luego, calcule los vectores propios de los valores propios que sean positivos y refiérase a la multiplicidad algebraica y geométrica respectivamente. Respuesta Para el cálculo de los valores propios es necesario encontrar las raíces del polinomio característico:

P( )  A   I  0 2  1 3 2 1 A  I  5 2 2 2 ________________________________________________________2 ptos.___ Para calcular el determinante de la matriz ampliada es sugerido, para cuando es necesario calcular valores propios, ocupar la metodología de cofactores y sabemos que esta metodología puede ocupar cualquier fila o columna por lo que ocuparemos la primera columna. A  I  ( 1)11  ( 2   ) 

2

1

 ( 1) 2 1  (5) 

1

3

 ( 1)31  (2) 

1

3

 2  1 2 2  2 2  ________________________________________________________2 ptos.___

 (2  )( 2   )(2   )  2  5( 2    6)  2(1  6  3 )  ( 2  )( 2  )(2  )  4  2  20  5  14  6  (2   )( 2   )(2   )  2    ( 2  )( 1)(2  )(2   )  2  

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 ( 2   )(2   )(2   )  2    ( 2   )( 2   )( 2  )  1

  ( 2   ) 



 (2   ) 2    4  2  1 2

2





 4  3



 ( 2   )(1)   4  3  ( 2   )(  3)(  1) Por lo tanto, los valores propios asociados a la matriz A son 1  2 , 2  3 y 3  1 . ________________________________________________________3 ptos.___ 2

Las multiplicidades algebraicas de estos valores son ma (2)  1 , ma (3)  1 y ma (1)  1 por lo tanto la multiplicidad algebraica total es de 3. ________________________________________________________2 ptos.___ A continuación nos piden solamente calcular los vectores propios de los valores propios que son positivos, es decir, para 2  3 y 3  1 . Para esto es necesario reemplazar los valores propios calculados en la matriz: 2  1 3  2  1 A  I  5

2

2

2

Luego es necesario armar la matriz ampliada, ocupando un sistema homogéneo: 1 3  x  0  1      Para   1   5  3 1  y   0   2 2 1  z  0      1 1 3 0  E 1 1  1 1 3 0 3   E31 (2)   21(5)   0  8  14  5  3 1 0    5  3 1 0    0 4 7 0  0 4   2 2 1 0 7     

1 1 3 0 0 E   23(2)  0 0 0 0 0 0 4 7 0 0  

________________________________________________________4 ptos.___ De la tercera ecuación podemos obtener lo siguiente: 4 4 y  7z  0  z   y 7 Reemplazando lo anterior en la primera ecuación obtenemos lo siguiente: 4 5 x  y  3z  0  x  y  y  0  x  y 7 7

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Universidad de Chile

Miércoles 21 de Octubre de 2015

Ec o no mí a & Ne g o cios

PAUTA CONTROL 4

 x   5 7 y     y   y    z    4 y     7  Finalmente el vector propio es

 5   7  y 1   4    7  y podemos ver que la

m (1)  1 multiplicidad geométrica también es 1, g . _____...