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Riassunto corpo rigido Fisica...

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Corpo rigido Da studiare

Corpi rigidi Corpi rigidi, cosa sono I corpi rigidi sono sistemi di punti che si muovono in maniera coerente. Sono formati da un insieme continuo di punti materiali. Le singole masse saranno infinitesime, tutte le somme diventano degli integrali.

Definizione Un corpo rigido è un sistema di punti le cui distanze relative non cambiano a causa dell'azione di forze interne. Un corpo rigido diventa quindi il modo per descrivere un oggetto reale esteso non approssimabile ad un punto materiale. Le forze interne hanno queste caratteristiche: Risultante delle forze interne nulla; Momento delle forze interne nullo; Le forze interne non fanno lavoro.

Azione delle forze esterne

Le forze esterne sono responsabili del movimento del centro di massa:

R(e) = maCM I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad

Mo(e ) =

O (punto fisso o CM del sistema):

dLO dt

Il lavoro delle forze esterne varia l'energia cinetica del sistema: (e)

WAB = Ek,B − Ek,A

Gradi di libertà di un corpo rigido Un corpo rigido possiede 3 gradi di libertà. Avendo

N punti,

ho 3N parametri per individuare lo stato del sistema. Ho però anche altre condizioni aggiuntive sulla mutua distanza fra i punti. Alla fine bastano 6 parametri o gradi di libertà per descrivere lo stato del sistema. Aggiungendo condizioni riduco i gradi di libertà.

Pura traslazione Tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie uguali e parallele, con la stessa velocità, pari a quella del CM.

vi = vCM Noto il moto del CM è noto quello di qualsiasi altro punto. La posizione dei punti rispetto al CM rimane invariata.

P = mvCM R(e) = maCM 1 2 mvCM 2 L = rCM × mvCM Ek =

L'energia cinetica e il momento angolare se presi in un sistema di riferimento con centro il CM sono entrambi pari a 0, visto che non c'è movimento relativo rispetto al CM.

Pura rotazione Tutti i punti descrivono un moto circolare. Le traiettorie sono archi di circonferenza che giacciono su piani paralleli tra loro, con centro sull'asse di rotazione. Tutti i punti possiedono la stessa velocità angolare, parallela all'asse di rotazione. La dinamica è governata dalla formula:

M=

dL dt

Roto-traslazione Ogni moto rigido può essere visto come la somma di una traslazione del CM e da una rotazione dei punti attorno ad esso. A differenza dei sistemi di punti non rigidi i problemi sono risolvibili: ho tre equazioni per ognuna delle incognite ( x, y, z ) sia per la risultante delle forze che per il momento. Ho 6 equazioni indipendenti e 6 incognite, posso risolvere il problema della rototraslazione. Consideriamo due punti

P , Q di un corpo rigido che si muove di

moto rototraslatorio. È evidente che essi possiederanno la stessa velocità angolare (se la consideriamo rispetto al CM, che chiameremo

O).

Possiamo vedere che la velocità del punto moto di

P sarà composta dal

O sommato alla velocità angolare moltiplicata per il

OP (semplice composizione di moti) oppure, considerandola rispetto al punto Q sarà: vettore

vP = vQ + ω × QP → velocità del punto Q sommata alla velocità angolare moltiplicata per il vettore che congiunge i due punti.

La velocità angolare sarà sempre la stessa, cambia la velocità di traslazione (dipende dall'asse istantaneo di rotazione). Ciò serve a spiegare come il movimento di due punti all'interno di un corpo rigido che si muove di moto rototraslatorio non sia univoco. Punti diversi percorreranno traiettorie diverse.

Densità ρ=

dm → variazione della massa per unità di volume dV

(infinitesimo).

dm = ρdV ⟹ m = ∫ dm = ∫ ρdV → calcolo della massa sul V

volume totale (formato da volumi infinitesimi).

Altri tipi di densità Superficiale:

ρS =

dm → variazione della massa per unità di superficie dS

infinitesima.

m = ∫ ρS dS → calcolo della massa a partire dalla superficie S

totale. Lineare:

ρL =

dm → variazione della massa per unità di lunghezza dL

infinitesima.

m = ∫ ρL dL → calcolo della massa a partire dalla lunghezza L

totale.

Centro di massa di un corpo rigido rCM =

∫ r dV ∫ r dm = V Vtot ∫ dm

Questa equazione può essere suddivisa in tre equazioni, una per ogni incognita

x, y, z nello spazio.

Applicazione della forza peso Consideriamo un corpo rigido su cui agisca tutti i punti del corpo (le dm):

g, costante per

dF = g dm La risultante di esse (essendo parallele tra loro) è:

R = ∫ g dm = g ∫ dm = mg La forza è applicata nel centro di massa, il baricentro coincide con il centro di massa del sistema quando considerabile come costante (e per

gè

ρ uniforme).

Momento della forza peso Il momento di

Fp rispetto ad un polo fisso è dato da:

M = ∫ r × g dm = rCM × mg

Energia potenziale gravitazionale Ep = ∫ gzdm = mgzCM z è la coordinata verticale di ogni singola massa infinitesima. Se il corpo è libero e agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica (dipende dalla condizioni iniziali).

Rotazioni rigide attorno ad un asse fisso Il momento angolare di un punto rotazione (coincidente con z)

Li = ri × mi vi

P rispetto all'asse di

∣Li ∣ = mi r i vi = mi ri Ri ω

La velocità angolare è costante, cambia la distanza di ogni singolo punto dall'asse di rotazione. La proiezione di Li sull'asse di rotazione, anche detto momento angolare assiale è pari a:

∣Li,z ∣ = ∣Li ∣ sin(θ i ) = mi Ri2 ω

Momento di inerzia del corpo Sommando tutti i singoli momenti otteniamo il momento, che in generale non è parallelo all'asse di rotazione. Sommando invece i momenti assiali otteniamo il momento angolare assiale totale:

Lz = ∑ ∣Li,z ∣ = Iz ω I è il momento di inerzia del corpo. È una quantità caratteristica del corpo, dipende sia dalla geometria e dalla composizione del corpo, che dall'asse di rotazione.

Iz = ∑ mi Ri2 = ∑ mi (xi2 + y 2i ) i

i

Indica la difficoltà a mettere in rotazione un corpo rispetto ad un certo asse. Non è una caratteristica definita di un corpo ma dipende dalla distribuzione della massa rispetto all'asse di riferimento rispetto a cui è definito. La componente perpendicolare all'asse di rotazione di

L varia

di direzione (perché gira), può variare di modulo e dipende dalla scelta del polo. È la somma dei contributi del tipo:

∣Li,⊥ ∣ = ∣Li ∣ cos(θ i ) = mi ri cos(θi )Ri ω Gli

Li,⊥ si trovano tutti sul piano xy, ma hanno direzioni

diverse. Faccio la somma vettoriale (non semplicemente quella sui moduli).

Rotazione attorno ad un asse di simmetria In generale:

L = L∥ + l⊥ = I ω + L⊥ Se la rotazione avviene attorno ad un asse di simmetria, ovvero se per ogni

L = Iω

Li c'è un Lj simmetrico rispetto all'asse, si ha:

∣L∣ = L z

L⊥ = 0

In un corpo rigido esistono sempre almeno tre assi, detti assi principali di inerzia, tali per cui se si fa ruotare il corpo

attorno ad essi, il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione (e alla velocità angolare). Se un asse è di simmetria, è anche un'asse principale di inerzia.

Moto di precessione Un moto che gira attorno all'asse di rotazione (come quello più generale di

L) è detto moto di precessione.

ω = k , anche il moto di precessione si dice costante e gode della seguente proprietà (dovuta a ∣L∣ = k): Se

M=

dL = ω ×L dt

Alternativamente:

M=

dL = ω × (I ω + L⊥ ) = ω × L⊥ dt

La ricaviamo tramite la formula di Poisson, e indica il momento di precessione. La variazione di

L è ortogonale a sè stesso (

ΔL ⊥ L, ΔL ∥ M ) e il suo modulo vale: ∣M ∣ =

dϕ ∣ dL∣ = L ⊥ω = L⊥ ∣ dt ∣ dt

Il momento angolare ruota attorno all'asse di rotazione; non cambia di modulo, ma solo di direzione.

L cambia di direzione (non modulo) a causa del momento della forze esterne.

Riassunto Se L non è parallelo a angolare: Se

ω c'è sempre precessione del momento

ω = k la componente perpendicolare a ω di L cambia nel

tempo secondo la legge del moto di precessione, e ciò è dovuto al momento dele forze esterne, con modulo calcolato prima.

Quando

L ∥ ω non c'è precessione del momento angolare, e se

ω = k non c'è momento risultante delle forze esterne: d dL = (Iz ω) = Iz α ⟹ M z = Iz α, in cui α è dt dt dω l'accelerazione angolare dt dL⊥ = M⊥ dt

M=

L = L∥ + L⊥ = I ω + L⊥

Caso particolare Per

L ∥ ω si ha che:

( dL d dL = Iz α = (Iz ω) = Iz α ⟹ M e) = dt dt dt

Cambia solo il modulo del momento angolare.

Equazione del moto di rotazione Sapendo il momento delle forze esterne possiamo calcolare l'accelerazione angolare se il momento di inerzia è noto:

⎧α = M Iz ⎨

t

ω = ω0 + ∫ αdt 0

t

⎩θ = θ0 + ∫ ωdt 0

Se M = 0 il corpo rimane in quiete e si muove di moto circolare uniforme. Se

M = k il moto è circolare uniformemente accelerato.

Se

M = M(t) il moto è circolare vario.

È facile verificare queste affermazioni sostituendo i vari casi di

M nelle equazioni del moto di rotazione e osservando i

risultati delle equazioni.

Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso 1 1 1 L2 Ek = ∑ mi v2i = ∑ mi Ri2 ω 2 = Iz ω 2 = z 2 2 2 2ω i i Se

Ltot = Lz

L2 ⟹ Ek = 2Iz

Lavoro esercitato su un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso 1 1 W = ΔEk = Iz ω 2f in − Iz ω2in 2 2 Non stiamo considerando un eventuale Ek dovuta ad una traslazione, solo quella dovuta alla rotazione. Possiamo ricavare il legame fra momento e lavoro in forma infinitesima:

dW = dEk = Iz ωdω = Iz αdθ = Mz dθ

Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione Consideriamo ora un corpo che oltre a ruotare si muove anche (caso generale). L'energia cinetica risulta data da (considerando ω calcolata nel sistema di riferimento del CM):

vi = vCM + ω × ri′ 1 1 1 Ek = ∑ mi (vCM + ω × ri′ )2 = Iz ′ ω2 + mv 2CM 2 2 2 i Sfruttiamo il ragionamento del teorema di Köenig. Il primo termine è l'energia cinetica rotazionale, il secondo è quella traslatoria.

Momento angolare di un sistema rigido in rototraslazione Il momento angolare risulta dato da (considerando nel sistema di riferimento del CM):

vi = vCM + ω × ri′

ω calcolata

L = ∑ ri × m i vi = ∑(r′i + rCM ) × m i(vCM + ω × ri′ ) = LCM + ICM ω i

i

Momento di inerzia Nelle rotazioni libere il momento di inerzia è simile alla massa nella legge di Newton:

M = Iα

⟷

F = ma

La massa però è una caratteristica univoca del corpo, mentre il momento di inerzia dipende dall'asse di rotazione.

I = ∫ R2 dm = ∫ ρR2 dV = ∫ ρ(x2 + y 2)dV Il momento di inerzia è una quantità additiva ed estensiva, quindi può essere calcolato come la somma dei momenti di inerzia di parti del corpo diverse (prese rispetto allo stesso asse).

Teorema di Huygens-Steiner In caso si provi a calcolare il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse per cui non valgono le condizioni di simmetria, gli integrali risultano particolarmente difficili. Grazie al teorema di Huygens-Steiner possiamo affermare che il momento di inerzia di un corpo di massa che si trova ad una distanza

m rispetto ad un asse

d dal centro di massa del corpo è

dato da:

I = Ic + md2 Ic è il momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo passante per il CM. Il momento di inerzia di un punto generico

Pi rispetto all'asse

z è dato da: mi (x2i + y2i ) Pertanto il momento di inerzia è pari a:

∑ mi (x2i + yi2 ) = ∑ mi (xi′2 + (y′i + d)2 ) = ICM + md2 i

i

Energia cinetica Partendo dall'espressione generica dell'energia cinetica per un corpo che ruota attorno ad un asse generico e applichiamo Huygens-Steiner:

Ek =

1 1 1 Iz ω2 = ICM ω 2 + mv2CM 2 2 2

Posso vederla come pura rotazione attorno all'asse

z o come

rototraslazione rispetto all'asse passante per il CM. Siamo in accordo con il teorema di Köenig: quando il CM non è sull'asse di rotazione l'energia cinetica si compone di due pezzi: uno relativo alla rotazione attorno al CM e un altro relativo alla traslazione del CM stesso.

ω e vCM non sono indipendenti.

Pendolo composto Ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso su di un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa. Momento:

M = ∑ ri × m i g = mrCM × g = −hmg sin θ = i

dLz dt

d2 θ + Ω2 θ = 0 2 dt Ω=

mgh Iz

T=

2π = 2π Ω

l g

Ω indica la pulsazione, corrisponde alla vecchia ω. La lunghezza ridotta del pendolo composto è pari a:

l=

Iz mh

Se avessimo m concentrata nel CM ci ricondurremmo al caso del pendolo semplice.

Moto di puro rotolamento È un moto rototraslatorio in cui ho anche un vincolo con il terreno. Questo impone un legame fra il moto rotatorio e quello traslatorio, che così non sono più indipendenti l'uno dall'altro. Questo tipo di moto può essere visto come un moto rotatorio del corpo che nell'istante dt ruota con velocità angolare all'asse passante per C.

ω attorno

Un punto qualsiasi osservato da un sistema di riferimento solidale con il pavimento avrà velocità pari a:

vP = vO + ω × OP ⟹ vP + vCM + ω × r In particolare se la velocità di

C è pari a 0 avremo:

vCM = −ω × r La velocità del CM e la velocità angolare sono legate quindi da questa formula. Da qui otterremo che:

∣aCM ∣ = αr Si tratta di un corpo il cui CM si muove di velocità

vCM e

intanto il corpo ruota attorno al CM con velocità angolare

ω.

Facendo la composizione di moti (uno di pura traslazione ad una velocità vCM , e uno di pura rotazione di velocità angolare con vCM = 0 ) otterremo un moto in cui il CM si muove di velocità

ωe

vCM , il punto di contatto con il terreno avrà

velocità nulla e il punto opposto a quello di contatto avrà velocità pari a

vP = 2vCM .

Rotolamento puro in presenza di forza costante Dato che il punto di contatto rimane fermo ci dovrà per forza essere una forza che faccia in modo che stia fermo: la forza di attrito statico. Sommando le equazioni del moto per la traslazione (considerate rispetto all'asse

x e all'asse y) e quella per la rotazione

(con polo nel CM), avremo:

F = (m +

I )aCM R2

aCM =

F m(1 +

I ) mR 2

⟹ fa =

F ( RI m + 1) 2

< μs N = μs mg

Ciò vuol dire che per avere moto di puro rotolamento la forza applicata al corpo dovrà essere:

mR2 ) F ≤ μs mg(1 + I Polo nel punto di contatto

C

Cambiando il momento della forza (visto che lo prendo da un polo diverso) cambia anche il momento di inerzia

Puro rotolamento in presenza di momento motore costante Sommando come prima le equazioni dei vari moti, considerando il momento come costante e applicato all'asse passante per il CM otterremo:

M − Rfa = I aCM =

aCM R M

mR(1 +

I ) mR 2

⟹ fa =

M I ( mR 2

+ 1)R

≤ μs N = μs mg

Per avere moto di puro rotolamento il momento dovrà quindi essere:

M ≤ μs mgR(1 +

I ) mR2

In conclusione In assenza di forze e momenti si ha una roto-traslazione uniforme (con W fa = 0 dato che vc = 0, quindi il lavoro della forza di attrito è nullo).

Casi particolari Cilindri che rotolano su un piano inclinato Si usa la conservazione dell'energia meccanica. Alla fine si ricava (suddividendo l'energia cinetica in energia cinetica

traslatoria e di rotolamento) che la velocità finale di un cilindro sarà pari a:

2mgho m + rI2

vf =

Il termine

I interviene solo se M =  0 o non approssimabile a r2

0. In generale il cilindro con minor momento di inerzia avrà

velocità maggiore (ad esempio un cilindro pieno sarà più veloce di uno vuoto a parità di massa). Un punto materiale (che quindi possiede solo moto di traslazione) avrà

I ≃ 0, quindi possiamo semplificarlo. r2

ELiminando la massa (presente sia al denominatore che al denominatore) otterremo la formula:

2gho

vf =

Il punto materiale avrà velocità finale maggiore.

Attrito volvente Un corpo che si muove di puro rotolamento si fermerà dopo un certo tempo. La causa è l'attrito volvente. Si ha un momento Mv = ηmg che si oppone al moto, in cui η è il coefficiente di attrito volvente. Per vincere il momento dovuto all'attrito bisogna applicare un corpo di raggio

r una forza di

trazione:

F>

ηmg r

Facendo i calcoli confrontando attrito dinamico e attrito volvente si nota come la forza necessaria a mettere in rotazione un corpo sia molto minore rispetto a quella che serve per farlo scivolare.

Caso ideale Il punto di contatto è unico. La forza normale e la forza peso agiscono sulla stessa retta d'azione. Il momento creato è nullo.

Caso reale La superficie di contatto è deformata dal contatto ed è più "schiacciata" nella direzione di movimento del corpo. Forza peso e normale generano un momento non nullo pari a:

Mv = ηmg

Interazione dei corpi rigidi con l'universo Impulsi Negli urti fra particelle si conserva la quantità di moto, a meno di reazioni impulsive esterne. Per i corpi rigidi sono spesso presenti vincoli, e quindi le forze vincolari potrebbero essere impulsive, facendo sì che la quantità di moto non si conservi.

Impulso angolare e momento dell'impulso t

F dt = dp ⟶ J = ∫ F dt = ∫ t0

p

dp = p − p0 = Δp → teorema p0

dell'impulso. In assenza di forze applicate non varia la quantità di moto.

M dt = dL ⟶ ∫

t t0

p

Mdt = ∫ (r × F )dt = r × J = ΔL → variazione p0

del momento angolare del corpo rigido. Considero tempi molto piccoli.

r costante per

Corpo rigido libero Un corpo rigido libero è un corpo in cui nessun punto è vincolato. Valgono le due equazioni:

R = maCM → moto del centro di massa. M=

dL → moto rispetto al centro di massa. dt

Se rispetto al CM si ha

M = 0, allora L = k, mentre ω = k solo

se la rotazione avviene attorno ad uno dei principali assi di inerzia.

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