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TEMA 5 SÓLIDO RÍGIDO

1. MOVIMIENTO GENERAL DEL SÓLIDO RÍGIDO 1.1. Definición de sólido rígido Hemos hablado en el tema anterior de la dinámica de un sistema de partículas. Veremos ahora un sistema de partículas muy concreto y habitual: el sólido rígido. Se denomina sólido rígido a un sistema de partículas en el que la distancia entre partículas permanece

constante

bajo

la

acción de fuerzas o momentos, es decir, se conserva la forma durante el movimiento. Excluiremos por lo tanto de nuestro estudio aquellos problemas en los que el cuerpo se deforma bajo la acción de las fuerzas aplicadas o como resultado de la rotación. Matemáticamente, dados dos puntos cualesquiera ri y rj del sólido rígido, la condición geométrica de rigidez se expresa como: (ri-rj)2=cte

1.2. Movimiento general del sólido rígido: traslaciones y rotaciones Existen dos tipos sencillos de movimiento del sólido rígido: 1)

Movimiento de traslación: en él

todas las partículas tiene la misma velocidad lineal, por lo que describen trayectorias paralelas, de modo que el sólido siempre estará paralelo respecto de su posición inicial. De la definición de traslación se deduce que la trayectoria de las partículas no tiene que ser necesariamente una línea recta, y que existen traslaciones rectilíneas y curvilíneas. Podemos decir también que un movimiento se llama de traslación si cualquier línea recta definida en el sólido conserva su dirección durante el mismo. En una traslación todos los puntos que forman el sólido se mueven según caminos paralelos. 2)

Movimiento

de

rotación

alrededor de un eje: se produce cuando todas sus partículas describen

circunferencias alrededor de dicho eje y por tanto tienen la misma velocidad angular, pero evidentemente distinta velocidad lineal. Las trayectorias de las partículas no son paralelas. La rotación no debe ser confundida con algunos tipos de traslación curvilínea. Evidentemente, el movimiento más general de un sólido será siempre la combinación de una traslación y una rotación. Un ejemplo típico es una noria. Podemos ver que la rueda tiene un movimiento de rotación respecto de un eje perpendicular al plano de la misma y que pasa por su centro, mientras que las cabinas de la noria tienen una traslación curvilínea. Cualquier movimiento plano general puede siempre considerarse como la suma de una traslación y una rotación. Consideremos, por ejemplo, una rueda que rueda sobre un suelo plano. Durante un intervalo de tiempo, dos partículas dadas A y B se habrán desplazado, respectivamente, desde A 1 a A2 y desde B 1 a B2. El mismo resultado se obtendría mediante una traslación que llevase A y B a A2 y B’1 (con la recta AB permaneciendo vertical), seguida de una rotación alrededor de A que llevase B a B 2. Aunque el movimiento original de rodadura difiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos movimientos se ejecutan uno después del otro, el movimiento original puede reproducirse exactamente mediante una combinación de traslación y rotación simultáneas. Otro ejemplo de movimiento plano es el de esta otra figura, en la que se representa una barra cuyos extremos deslizan, respectivamente, por sendas guías horizontal y vertical. Este movimiento puede sustituirse por una traslación horizontal y una rotación alrededor de A o por una traslación vertical y una rotación alrededor de B. En el caso general de movimiento plano, se considera un pequeño desplazamiento que lleva dos partículas A y B de una placa representativa, desde A1 y B1 hasta A2 y B2, respectivamente. Este desplazamiento puede dividirse en dos partes: en uno, las partículas se mueven hasta A 2 y B’1 mientras la recta AB conserva la dirección; en la otra parte, B se mueve

hasta B2 y A permanece fija. La primera parte es evidentemente una traslación y la segunda es una rotación alrededor de A.

2. SEGUNDA LEY DE NEWTON EN EL MOVIMIENTO DE LOS SÓLIDOS RÍGIDOS 2.1. Análisis de fuerzas. Momento de las fuerzas Como hemos hecho hasta ahora, necesitamos analizar los agentes que van a dan lugar al movimiento de los cuerpos (causas), para ver así el efecto sobre dichos cuerpos. Como sabemos, las causas son las fuerzas actuando sobre los cuerpos. Consideremos un sólido rígido y una situación donde tengamos varias fuerzas aplicadas (en general, sobre diferentes puntos del sólido rígido). Podríamos hacer un análisis de cada fuerza y del efecto sobre el sólido rígido. Pero nos interesa más hacer (sobre todo por sencillez) un análisis global. ¿Podríamos considerar un único vector fuerza resultante que nos describa de la misma forma el movimiento del sólido rígido en cuestión? Podemos pensar en el vector suma de los vectores individuales. Sin embargo, la operación suma no está definida para vectores que no podamos trasladar todos a un mismo punto. Y los vectores fuerza que estamos considerando no se pueden cambiar de punto de aplicación sin que varíen sus efectos, ya que son vectores deslizantes. En el caso del movimiento de cuerpos extensos, es necesario analizar no sólo la fuerza o fuerzas netas, sino los momentos de las fuerzas. Estos están relacionados con la eficacia de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación: la medida cuantitativa de la capacidad de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación viene dada por el momento de la fuerza con respecto al eje de rotación. Como hemos visto ya en temas anteriores, el momento es siempre el producto vectorial del vector de posición por otro vector. Así, el momento angular era el momento de la cantidad de movimiento (L=r x p=r x mv). De igual modo, el momento de una fuerza ser á el vector de posición (respecto del centro de momentos) multiplicado vectorialmente por la fuerza: M=r x F Como cualquier producto vectorial, su módulo será: M=rFsen siendo  el ángulo que forman los dos vectores implicados, es decir, la fuerza y el vector de posición. Así, podemos decir que el momento de la fuerza depende de la magnitud de la

fuerza (F), de la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al lugar donde se considera su efecto (r), y de la dirección en que se aplica la fuerza (). Así, las fuerzas aplicadas a los sólidos rígidos no pueden cambiar su punto de aplicación fuera de su recta de acción sin que varíen sus efectos sobre los mismos, ya que matemáticamente son vectores de tipo deslizante. Es por esto que llegamos a un problema, ya que sólo si las rectas de acción se cortasen todas en un mismo punto (concurrentes), podríamos considerar la suma de los vectores fuerza. Pero por lo general esto no ocurre, no podemos en principio trasladar todas las fuerzas a un origen común y no podemos calcular la resultante. Nuestro objetivo por tanto es encontrar una forma de llevar todas las fuerzas a un mismo punto de aplicación, sin modificar el efecto que realizan sobre el sólido. Consideremos una fuerza F que actúa sobre un sólido rígido en un punto A definido por un vector de posición r. Supongamos que por alguna razón queremos aplicar la fuerza en el punto O. Sabemos que podemos mover F a lo largo de su línea de acción (principio de transmisibilidad), pero no podemos desplazarla a un punto O fuerza de su línea de acción original sin modificar su efecto sobre el sólido rígido. Sin embargo, podemos unir dos fuerzas al punto O, una igual a F y la otra igual a –F, sin modificar la acción de la fuerza original sobre el sólido rígido. Como resultado de esta transformación, se aplica una fuerza en O, como queríamos. Las otras dos fuerzas forman un par de momento MO=r x F. Así pues, cualquier fuerza F que actúa sobre un sólido rígido puede moverse a un punto arbitrario O, siempre que se agregue un par de momento igual al momento de F con respecto a O. El par tiende a impartir al sólido rígido el mismo movimiento de rotación con respecto a O que la fuerza F tendía a producirle antes de haberla transferido a O. El par está representado por un vector MO perpendicular al plano que contiene a r y a F. Como MO es un vector libre, se puede aplicar donde se desee; por conveniencia, el vector par comúnmente se aplica a O, junto con F, y la combinación que se obtiene se denomina sistema fuerza-par. Considéres un sistema de fuerzas F1, F2, F3, etc., aplicadas sonbre un sólido rígido en los puntos A1, A2, A3, etc., que se definan por los vectores de posición r1, r2, r3, etc. Como hemos visto, F1 puede moverse de A a un punto dado O si un par de momento M1 igual al momento r1 x F1 de F1 con respecto a O se agrega al sistema original de fuerzas. Repitiendo este procecdimeno con F2, F3, etc., obtenemos el sistema mostrado en la figura, formado por fuerzas aplicadas en O y pares. Como las fuerzas son consurrentes, pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazadas por su resultante R. Del

mismo modo, los vectores par M1, M2, M3, etc., pueden sumarse vectorialmente y

sustituirse por un solo vector par MR O . Cualquier sistema de fuerzas por complejo que sea puede reducirse a un sistema fuerza par equivalente que actúa en un punto dado O. Debemos notar que aunque cada uno de los momentos M1, M2, M3, etc., es perpendicular a la

fuerza correspondiente, el vector momento MR O y la fuerza resultante R no serán en general perpendiculares entre sí. Caso de la fuerza peso

El mismo análisis que hemos efectuado hasta ahora debemos hacerlo con la fuerza peso, actuando sobre cada una de las partículas de nuestro sólido. No debemos olvidar que un sólido rígido en última instancia es un sistema de partículas con una restricción, la condición de rigidez. En el caso del peso es posible demostrar que su efecto es equivalente a trasladar toda la masa (peso) del sistema a un punto común, denominado centro de gravedad, que en el caso de cuerpos de pequeñas dimensiones coincide con el centro de masas. En efecto, consideremos un cuerpo sometido a su propio peso. Puesto que un sólido rígido es un sistema de partículas, lo que tendremos en realidad son muchas partículas, cada una con su peso vertical y hacia abajo. Podemos definir el peso total del sólido como: N N N  W   wi   mi g    mi  g  mg i1 i 1 i 1 

Ahora, si trasladamos las fuerzas sobre cada partícula al centro de masas, tendremos que introducir los momentos correspondientes, cuya suma total será: N

N

N

N

i 1

i 1

i 1

i 1

MCM    r'i wi   r'imi g   mir'ig   mi r'i  g Y en el tema de dinámica de los sistemas de partículas ya vimos que en el sistema de referencia centro de masas: N

 mir'i   0  MCM  0

i 1

Por lo tanto, en el caso del peso, al trasladar todos los vectores al centro de masas, el momento que resulta es nulo, por lo que el sistema fuerza-par equivalente se reduce a considerar únicamente la resultante de las fuerzas (el peso total) aplicada en dicho punto. Así, al hacer los diagramas de fuerzas de los sólidos rígidos colocaremos sin ningún efecto adicional el peso total del cuerpo en el centro de masas. El análisis que hemos efectuado es en realidad equivalente a lo ya obtenido en el tema 4 (dinámica de los sistemas de partículas), cuando veíamos como ecuaciones aplicables

al sistema. La primera ecuación, correspondiente a las fuerzas, nos da cuenta de la traslación del centro de masas, y por tanto, de todo el sistema: F=maCM La segunda ecuación describirá la rotación de todas las partículas del sistema en torno al centro de masas:

LCM  M CM El movimiento de traslación del centro de masas ya está estudiado, pues se trata en realidad del movimiento de una partícula que concentra toda la masa del sistema y sobre la que actúa una fuerza igual a la resultante de las fuerzas externas, y esto está ya visto en el tema 2, correspondiente a la dinámica de la partícula. Nos queda por tanto estudiar sólo la rotación del sólido rígido, y ver a qué equivalen en términos de aceleraciones los momentos respecto del centro de masas.

2.2. Momento angular de un sólido rígido. Momentos de inercia De acuerdo a lo que acabamos de decir, necesitamos evaluar el momento angular de un sólido rígido, y más en concreto, la variación del momento angular en el tiempo, L . Un sólido rígido es un caso particular de los sistemas de partículas, de modo que el momento angular de un sólido rígido con respecto a un punto será la suma de los momentos angulares individuales de cada una de las partículas que constituyen el sólido. Comenzaremos con un ejemplo sencillo: el de una partícula que gira en torno a un eje describiendo una circunferencia de radio r. Tenemos un vector velocidad angular que define este giro, y que tiene la dirección del eje de rotación. Así, el momento angular de esta partícula con respecto al centro de la circunferencia será: L=r x mv=r x m(  x r) Tendremos que el último paréntesis vale:

i j k   r  0 0   rj r 0 0 Y por tanto el momento angular:

i j k L  r  m  r   m r 0 0  mr2k 0 r 0

Podemos ver que en este caso tan sencillo el momento angular L tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular . Consideremos ahora una placa con un espesor muy pequeño (despreciable) que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro y evaluemos el momento angular L respecto del centro de la placa. En primer lugar, para la partícula i-ésima tendremos lo que aparece en la figura, de modo que el momento angular para esa partícula es: 2

Li=ri x mivi=ri x mi(  x ri)= miri  Nótese que la velocidad angular  es la misma para todas las partículas. Esto lo tenemos para una sola partícula. Si lo extendemos para todas las partículas del sólido, el momento angular del sólido será: N N  N 2 2 L   Li  miri     miri    I i1 i 1 i 1 

N

Vemos que el término  miri2 es una propiedad de la placa, que designamos por I y i 1

recibe el nombre de momento de inercia: N

I   miri2 i 1

De la definición del momento de inercia tenemos que esta nueva magnitud tiene las siguientes propiedades: -

Es una magnitud escalar. Depende de la distribución de masa (no es lo mismo en una placa que en un cilindro). Va a jugar el mismo papel en la rotación que la masa en el movimiento de traslación. Depende del eje de rotación (no es lo mismo el momento de inercia de un disco respecto de un eje transversal al mismo que respecto de un eje longitudinal). En el Sistema Internacional su unidad es el kgm 2.

Si lo que tenemos es un cuerpo extenso, el sumatorio se sustituye por una integral y tendremos que el momento de inercia es: I   r2dm

Y siempre podemos relacionar la masa con el volumen a través de la densidad, de modo que también podemos poner: 

M dm 2 2   dm  dV  I   r dm   r  dV V dV

Podemos ver algunos de los momentos de inercia de los sólidos más comunes.

De momento hemos calculado el momento de inercia I respecto a ejes de gran simetría, donde realizar la integral es sencillo, ya que los elementos diferenciales tienen cierta simetría. Pero ¿qué ocurre si queremos calcular el momento de inercia respecto de unos ejes diferentes a los de simetría? Teorema de Steiner Existe una relación entre los momentos de inercia de un sólido con respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pasa por el centro de masas: es el denominado teorema de Steiner. Para demostrarlo, consideremos un cuerpo cualquiera, y tomemos finas rodajas del mismo. Con una rodaja basta, ya que el análisis sería idéntico para todas las rodajas. Tomamos el plano XY en el plano de la rodaja y el eje Z perpendicular a la misma, es decir, coincidente con los dos ejes paralelos. Así, todos los puntos de la rodaja tienen la misma coordenada z. El centro de masas lo hacemos coincidir con el origen de coordenadas, y el punto P (por el que pasa el eje paralelo al que pasa por el centro de masas), está situado a una distancia d del anterior. Tomemos una partícula i del sólido, situada a una distancia ri del origen de coordenadas. Este vector será: ri=xii+yij+zk El punto P se encuentra a una distancia d del centro de masa, y podemos poner: d=ai+bj+zk

Hacemos un gráfico donde veamos esta situación desde arriba, con lo que tenemos lo que aparece en la figura. El momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masas será, sumando para todas las partículas de la rodaja: N

N

i 1

i 1



ICM   miri2   mi x2i  yi2  z2



Hemos tenido en cuenta la definición de módulo de un vector: 2 2 ri=xii+yij+zk  ri  xi2  yi2  z2  ri2  x2 i  yi  z

Y del mismo modo, el momento de inercia respecto del eje que pasa por el punto P será: N

N

i 1

i 1





IP   mir'2i   mi xi  a 2   yi  b2  z2  N

N

i 1 N

i 1 N

N

N

N

N

N

  mixi2   mia 2  2 mixia   miy2i   mib 2  2  miyib   mi z2 



i1 i 1 i1 i 1 i 1 N N N N 2 2 2 2 N   mi yi   mi z   mi a   mi b  2 mi xi a  2 mi yi b  i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 N N N N N N 2 2 2 2 2 2 2 2 2  mi xi  yi  z  mi a  b  2a  mixi  2b  miy i   m i x i  yi  z  mi a i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1



  mix2i i 1













 b2



Tenemos en cuenta que x i e yi son las coordenadas de la partícula i-ésima respecto del centro de masas, y ya habíamos obtenido en el tema 4, que en un sistema de referencia centro de masas: N

 mi xi  0

i 1 N

 mi yi  0

i 1

Así, tendremos: N





N





IP   mi x2i  yi2  z 2   mi a2  b2  ICM  md2 i 1

i 1

Esta última ecuación es el teorema de Steiner, que dice que el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia del mismo cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes. Esta ecuación nos muestra que de todos los ejes paralelos a una dirección dada, el que pasa por el centro de masas del cuerpo es al que le corresponde el momento de inercia más pequeño.

Radio de giro Hemos visto que el momento de inercia presenta distintas expresiones en función de la forma (distribución de masa) del cuerpo. No obstante, siempre es posible expresar el momento de inercia de cualquier cuerpo como: I=mk2 siendo k el denominado radio de giro del sólido rígido correspondiente respecto a dicho eje. El radio de giro representa por tanto, la distancia a la que habría que concentrar toda la masa del cuerpo de forma que el momento de inercia respecto del giro se mantuviera invariable. Se tiene entonces que: I=mk2  k 

I m

Así, por ejemplo, para una varilla delgada de longitud l que gira en torno a un eje que pasa por su centro tendremos:

k

I  m

1 2 ml 12  0, 289l m

Ejes principales de inercia N

Hemos visto ya una situación en la que L   Li tiene una i 1

dirección bien determinada al tener el momento angular de todas las partículas la misma dirección (la del eje de rotación), que fue el caso de una partícula que se movía en una trayectoria circular o un disco muy delgado que rotaba con velocidad angular  respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasaba por su centro. En estos casos el momento angular tiene la dirección del eje de rotación. Esto va a ocurrir siempre que el cuerpo tenga forma simétrica en torno al eje de rotación. En este caso, podemos ver en la ...