Práctico - problemas resueltos. Tema 3. Cinematica del solido rigido PDF

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Problemas Resueltos.Tema 3.Cinematica del solido rigido...

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Mecánica 2014-15

TEMA 3. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO PROBLEMAS RESUELTOS

Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales Área de Ingeniería Mecánica http://www.upv.es/ingmec Centro de Investigación de Tecnología de Vehículos http://www.upv.es/citv

TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Enunciado Sea el cuerpo 1 de la figura, que gira alrededor del punto fijo A. A su vez, el punto C describe respecto al disco una trayectoria circular de centro B. En la configuración mostrada, dicha velocidad relativa lleva el sentido hacia el punto A. Se pide:  Velocidad absoluta del punto C  Aceleración absoluta del punto C 

Los datos constantes son los siguientes:

AB  r1  1,50 m BC  r2  0,40 m 

Los que establecen la posición: 1  30º ;  2  90º



Los que definen el movimiento:

1  1 rad / s ( a );

1  0 ,5 rad / s 2 ( h )

VC  0,5 m / s Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Planteamiento Los pasos a seguir son los siguientes:



Identificar el problema como 2D. Ello sugiere emplear notación puramente vectorial y definir los vectores directamente respecto al sistema de referencia fijo Asignar el sistema de referencia fijo O0  X 0Y0 Z 0 



Asignar el sistema de referencia móvil



Ecuaciones del movimiento relativo para velocidades



Ecuaciones del movimiento relativo para aceleraciones



O1  X 1Y1Z1

Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

3

TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Planteamiento 

Sistemas de referencia:

El sistema de referencia móvil se podría haber elegido centrado en B

   Vectores unitarios asociados al SR fijo i , j , k

Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Velocidades 

Ecuaciones de velocidad

O1  X 1Y1Z1 0

    vC  0vO  0vC O  0vC 2

1

1 1

2

1

/1

Donde se tendrá que:

 vO  0   0 vC O  0 1 0 rO C  0 vC / 1  vC 0 u BC 0

1

1

1

1

2

Alternativa expresión 0

Mecánica

 vC

2

/1



a

esta



 0   2  k  rBC

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Velocidades 

Ecuaciones de velocidad Vectores posición y unitarios 0

1

0





     rO C 0 rO B 0 rBC  r1  cos1  i  sen 1  j       r2  cos1   2   i  sen1   2   j  1,10  i  1,10  j m 1









     u BC  1  cos1   2  90º   i  sen1  2  90º   j  0 ,87  i  0 ,50  j

Sustituyendo en [1]

0

    vC  0vO  0vC O  0vC 2

1

1

1

2

/1

   i j k     0 0 1  0 ,5   0 ,87  i  0 ,50  j  1,54  i  0,85  j m / s vC  0  0 1,10 1,10 0 2





Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Velocidades 

Ecuaciones de velocidad 0

     1 54   0 85  vC , i , j m/ s

0

 vC  1,76 m / s 2

2

Velocidad relativa 0

 vC

2

/1

   0 ,44  i  0 ,25  j

Mecánica

m/ s

Ingeniería Aeroespacial

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Aceleraciones 

Ecuaciones de aceleración

     a C  0aO  0aC O  0aC / 1 0acor

0

2

1

1 1

2

2

Donde se tendrá que:  aO  0           0 aC O  0aCn O  0aCt O  01  0 1  0 rO C  0 10 rO C  12 0 rO C  010 rO C     i j k     2 0  0 ,5  0 ,55  i  1,65  j m / s 2  1  1,10  i  1,10  j  0 1,10 1,10 0 1

1 1

1 1





1 1

1



1

1

1



Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

8

TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 1. Aceleraciones Ecuaciones de aceleración



     a C  0aO  0aC O  0aC / 1 0acor

2

0

2

1

1 1

2

Donde se tendrá que:    a C /1  0a Cn /1  0aCt 2

2

v  

2

C2 / 1

0

2

/1

r2



v    u BC  v C /1  u BC   C 2





2

2/1

r2

  uBC 0

 aC

2



  , i , j m / s2 0 31 0 54     /1

     siendo uBC  1 cos1  2  i  sen1  2  j  0 ,5  i  0 ,87  j

0



   aCor  2  010 vC

2

/1



  i j  2 0 0  0 ,44  0 ,25

Sustituyendo en [2]

0

 k   1  0,50 i  0,88 j m / s 2 0

   aC  0 ,26 i  3,07  j 2

Mecánica

m / s2

Análisis cinemático instantáneo

Ingeniería Aeroespacial

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Enunciado Obtener la velocidad y aceleración del punto A  El punto A se desplaza a lo largo de la guía con una velocidad vA respecto al disco  El disco gira con una velocidad angular 1  Ambas son constantes

Mecánica

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Velocidades Aplicando las ecuaciones del movimiento relativo  Sistema de referencia móvil en O1  X 1Y1Z1

    v A  0vO  0v A O  0vA

0

2



1

1 1

2

/1

Desarrollando los términos

 vO  0     0 v A O 0 1  0 rO A   0R1 11  0 R1 1 rO A   0 v A / 1  v A0 u O A  v A  0 R1 1 uO A 0

1

1 1

1

2

1





1



1



Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Velocidades



Cada uno de los términos vendrá dado por

cos   sen  0  0   0   0  1  0 R1 1 1  sen   cos  0   0    0   0 0 1 1  1   cos   sen  0  r  cos    0 rO A  0R1 1rO A   sen   cos  0   r  sen    0 0 1   0 1

0

1

  u O A 0R1 1u O A 1

1

cos   sen   0 1 cos    sen   cos  0  1 sen    0 0 1  0  Mecánica

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Velocidades



La ecuación de velocidades vendrá dada por 0



2







 ~  0 R 1 r  v  0 R 1 u v A  0 1 1 1 OA A OA 1

Siendo

0 0~ 1  1  0

 1 0 0 0 0 0

1



Operando

  1  r  sen      v A  cos    0 vA   1  r  cos     v A  sen        0 2

0



1  0 0 1 T

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Aceleraciones



La ecuación de aceleraciones vendrá dada por (considerando el mismo sistema de referencia móvil) 0

    a A  0 aO  0a A O  0 a A 2



1

1 1

2

  a /1 cor

siendo

 aO  0        0 a A O  0 a nA O  0 aAt O  01  01 0 rO A  0 1 0 rO A  ~ 2 0 r  0~ 0 r   0~ 2  0 R 1 r  0~  0 R 1 r  0 OA OA OA OA 1 1 1 1 1 1   0 a A / 1  a A  0 uO A  aA  0 R1 1 uO A      a  2  0  0 v  2 0~ 0 v  20 ~  v 0 R 1 u 0

1

1 1

1 1



1 1

1

2

cor



1

1

A2 / 1



1

1



1

1



A2 / 1



1

 1

Mecánica



1



A

1



O1 A

1





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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Aceleraciones

 0

Operando se tendrá que

    a A  0aO  0a A O  0a A 2

1

1

1

2

/1

  acor 

  12  r  cos      1  r  sen     a A  cos     2  1  v A  sen          12  r  sen      1  r  cos     a A  sen     2  1  v A  cos       0   

Evaluando para

  30º  0 ,5236 rad ;   45º  0 ,7854 rad ; 1  10 rad / s; 1  0 v A 1 m / s;

r  0 ,5 m

aA  0

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Velocidades y aceleraciones



Se tendrán los siguientes valores

 4,5708   0 v A   2,2600  m / s  0  0 v A  5 ,0990 m / s 2

2

  32,2593   0 aA    43,1200 m / s 2   0 0 a A  53,8516 m / s 2 2

2

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Velocidades (2D) Este problema se puede tratar como plano  Empleando las mismas ecuaciones del  movimiento relativo

    vA  vO  vA O  vA 2

1

1 1

2

        0 r v u  /1 1 OA A OA 1

1

En este caso se ha suprimido el “0”,dado que todos los vectores se expresan en el SR fijo  Desarrollando    i j k    1  v A  cos    i  sen     j  0 0 vA  r  cos    r  sen     0     1  r  sen      v A  cos      i  1  r  cos     v A  sen     j 

2





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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 2. Aceleraciones (2D) La ecuación de aceleraciones vendrá dada por      a A  aO  a A O  a A / 1  acor         0  12  rO A  1  rO A  a A  u O A  2  1  v A / 1      i j k    12  r  cos     i  r  sen     j  1  0 0 r  cos    r  sen    0    i j k   0 0  a A  cos    i  sen     j  2  1  v A  cos     vA  sen     0 

2

1

1 1

1

2

1

1

2









 

 

   12  r  cos     1  r  sen      a A  cos     2  1  v A  sen     i     12  r  sen      1  r  cos      a A  sen      2  1  v A  cos      j Mecánica

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PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 3. Enunciado El helicóptero de la figura está girando a velocidad angular constante 1 alrededor del eje Z1 (cabeceando). Las palas giran a una velocidad también

constante 21. Para la orientación del vehículo que se muestra en la figura (ejes fijos y móviles paralelos), se pide determinar 

Velocidad angular absoluta de las palas



Aceleración angular absoluta de las palas

Realizar una aplicación numérica para

1  0 ,5 rad / s  21  1 rad / s

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 3. Velocidades 

Ecuaciones de velocidad angular 0

2 0 1 021  0R111  0R11 21  0R1  11121  













La matriz de rotación se podrá obtener de dos modos: 0 0  1 0 0  1  0 R1  R X 90º   0 cos90º   sen90º    0 0  1     0 sen90º  cos90º    0 1 0 

0



 R1  i1 0

0

 j1

0

1 0 0    k 1  0 0  1  0 1 0 



Mecánica

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 3. Velocidades 

Ecuaciones de velocidad angular 0

2 0 1 021  0R111  0R11 21  0R1  11121  













Operando 1 0 0    0   0    1 0 0   0   0   0   0    2  0 0  1    0   21     0 0  1  21    1      0 ,5  0 ,5  rad / s 0 1 0   1   0    0 1 0   1   21   1   1 

0 

Mecánica

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 3. Aceleraciones 

Ecuaciones de aceleración angular Derivando respecto al tiempo la velocidad angular         d  1 1  d 121   0  0 d 02  d  0R1  1  1  0    1  21  R1     1 R1   11  121  0R 1  11 121  2  dt dt dt   dt     0~ 0 R 1 1  0R  1 1

0





1

1

1

21

1



1

21





Teniendo en cuenta que las velocidades angulares son constantes ~ 0 R  1 1   2 0  1 1 1 21

0







Además 1 0 0   0   0    1 0 R1 11  0 0 1   0    1  0 1 0  1   0 

0 

0

 0  ~ 1    z   y 

Mecánica

 z 0

x

y   0 0  1     x    0 0 0  0  0  1 0

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 3. Aceleraciones 

Ecuaciones de aceleración angular Operando 0

 1  1 0 0   0   0 0  1   0  0     1   0   0 0 1   21   0 0 0    21  0   0 1 0   1   1 0

0 0 0 1 1  ~  2  1  R1   1   21    0 0  1 0 

0

  1   21 0,5   0    0   0   0 

rad / s 2

Justificar esa aceleración angular. Es lo mismo que

 2 0~1 0R1 11 1 210~1 0 R1 1 21 0~1 0 21

0









Mecánica



Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 4. Enunciado El satélite de la figura está siendo sometido en tierra a una serie de ensayos. Para ello se hacen girar los motores que accionan los paneles solares con una velocidad y aceleración    en el sentido indicado en la figura, mientras que el  . Se pide: cuerpo del satélite gira con un movimiento dado por    

Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas de los paneles



Determinar la velocidad y aceleración, también absolutas, del punto A

Aplicación para los datos:

  30º d  0,60 m;   1, 0 rad / s cte.;   0,50 rad / s cte. l  2,50 m;

Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

24

TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 4. Enunciado 

La matriz de rotación que relaciona ambos sistemas de referencia será

 1 0 0 0 R1   0 1 0 0 0 1 

Aplicando la regla de la mano derecha se tendrá que:

Signo    Signo    Signo    Signo  

Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

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TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 4. Velocidad angular 

Velocidad angular

2 01 0 21 0 R1 1 1 0 R1 1 21 0 R1  11 1 21 

0















Operando

1 0 0   0   0    0      0  2  0R1  11 1 21   0 1 0    0            rad / s 0 0 1     0     

Mecánica

Ingeniería Aeroespacial

26

TEMA 3:

PROBLEMAS RESUELTOS

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA 4. Aceleración angular Aceleración angular



        d 02  0  1  1  0 2   R1   1  21  R1  1 1 1 2...