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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA INGENIERÍA AGROALIMENTARIA Y DEL MEDIO RURAL

1 de septiembre de 2011

1 . En el esquema de la figura tanto la barra como el disco son homogéneos. La barra tiene una longitud l = 2 m y una masa m1 = 10 kg y el disco una masa m2 = 6 kg y un radio R = 0.5 m. a) Determinar la posición del centro de masa del conjunto. b) Calcular el momento de inercia del conjunto respecto a A, siendo el momento de inercia 1 de una barra respecto a su centro ml 2 y el de un F 12 1 m1, l A disco respecto a su eje mR 2 m2 2 R Al disco se le aplica una fuerza horizontal tangencial de 60N, siendo el contacto con el suelo suficientemente rugoso para que no haya deslizamiento. c) Dibujar los diagramas de cuerpo libre de la barra y el disco. d) Determinar la reacción en A y la fuerza de rozamiento sobre el disco. a) Los centros de masa de la barra y del disco son l respectivamente xG1 ; x G2 . Siendo 2 yG1 . 2

y m2

m1, l

x

R Por lo tanto el centro de masa del conjunto será:

xG

m x

10 kg

xG

16 kg

m1

yG b) El momento de inercia del conjunto respecto a A es la suma de los momentos de inercia respecto a A de cada uno de los elementos, que los calculamos utilizando el teorema de Steiner. IA 2

I A1

I A2

l2 4

1

1

2

1 3

1 3

2

1 2

2

2

IA c) Los diagramas de cuerpo libre son: Ax

kg m2

IA

Bx

F

By Bx m2g

fr Ay

m1g

By N

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1 de septiembre de 2011

d) Considerando las condiciones de equilibrio de la barra:

l 2

mg 2

Considerando ahora el equilibrio del disco:

Por lo tanto RA

i

mg j 2

fr

y

Sustituyendo los valores del enunciado:

RA fr

i i

j

i

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2. Un bloque de masa m se deja caer por la rampa curva y lisa de la figura, cuya sección es un cuarto de circunferencia, desde la posición indicada. Al pie de la rampa hay un muelle de constante k. El bloque desliza por la rampa y el plano horizontal, también liso, y choca contra el muelle, comprimiéndolo una distancia x antes de alcanzar momentáneamente el reposo. Determinar: a) Qué tipo de movimiento tiene el bloque sobre el plano horizontal.

m R

k 2R

b) La distancia x que se comprime el muelle. c) La altura, h, que alcanza la masa sobre la rampa tras chocar con el muelle. Si hubiera rozamiento de coeficiente

= 0.3 con el plano horizontal, siendo la rampa lisa:

d) ¿Qué tipo de movimiento tendría el bloque sobre el plano horizontal? e) Cuál es la distancia x’ que se comprimiría el muelle. f) ¿Llegaría el bloque a la rampa tras chocar con el muelle? En caso afirmativo determinar la altura sobre la rampa que alcanzaría el bloque y en caso negativo determinar la distancia d que recorrería sobre el plano horizontal tras el choque. a) Una vez que el bloque alcanza el plano horizontal, si no hay rozamiento, no hay fuerzas en la dirección del movimiento y por lo tanto tampoco hay aceleración. De esta forma el movimiento sobre el plano horizontal es rectilíneo y uniforme. b) Al no haber rozamiento todas las fuerzas que actúan sobre el bloque son conservativas y por lo tanto se conserva la energía mecánica.

v mg N

Llamando 1 a la situación inicial de reposo encima de la rampa y 2 a la situación en la que el muelle está comprimido, una longitud x y la masa está momentáneamente en reposo, la ecuación de conservación de la energía mecánica, tomando el nivel de referencia para las cotas a la altura del muelle, es la siguiente:

Ec1 mgR

0

0 1

0

2

1 2

2

x

2

2mg R k

c) Al no haber pérdida de energía el bloque volverá a alcanzar en la rampa la posición inicial. Por lo tanto

h d) Si hay rozamiento con el plano horizontal la fuerza de rozamiento se opone al movimiento frenando al bloque. La fuerza de a v rozamiento en este caso, por haber deslizamiento . Dado que entre superficies, es la máxima: fr fr la fuerza de rozamiento es constante y N mg también la desaceleración. N Por lo tanto el movimiento sobre el plano horizontal será rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración negativa (frenado o desacelerado).

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1 de septiembre de 2011

e) Al haber rozamiento la energía mecánica no se conserva y habrá que incluir en el balance de energía el trabajo de la fuerza de rozamiento (no conservativa)

Ec1

0

0 1

0 2

2

r

2

W fr

2 mg R 1 k

1 2

mg R

0.8 mg R k

x f) La energía disponible es E p 1

. La energía que se consume en el trayecto de ida

es W fr

, igual a la que sería necesaria para volver al pie de la rampa. Por lo tanto el bloque se detiene antes de llegar al pie de la rampa, recorriendo una distancia d sobre el plano horizontal que se calcula volviendo a hacer un balance de energía

Ec1

0

0

0 1

r

mg R

3

3

d

d

4 3

1

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3. Una barra prismática de sección cuadrada de 5 cm de lado está constituida por dos materiales diferentes a y b y se somete a compresión en sus extremos según se indica en la figura. Determinar:

F la

a) La variación de longitud de cada tramo de la barra lb

b) La variación unitaria de la sección transversal de cada tramo de la barra Datos: F = 15 000 N Material a: Ea = 1·1011 Nm-2 ; a = 0,4; la = 1,25 m Material b: Eb = 2·1011 Nm-2, b = 0,3; lb = 2,25 m

F

a) La sección de la barra es constante, por lo tanto el esfuerzo, , a que está sometido cada tramo es el mismo:

F S

N 2

5

Negativo por ser de compresión. z

La variación unitaria de longitud de cada tramo la determinamos mediante la ley de Hooke

1 Ea

a

1 Eb

b

1

m m

2

m m

y x

Las variaciones de longitud serán por tanto a

b

la lb

b) La variación unitaria de la sección transversal es: S

siendo

S

Por lo tanto para el tramo a: Sa

a

Sa

Sb

b

Sb

Sa

Sb

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Cuestiones 1.

La función potencial de un campo vectorial conservativo, F, es: U= – 5x z + 2 y z2 + cte. ¿Cuál es la expresión del campo F? Si un campo vectorial F es conservativo procede del gradiente de una función a la que se denomina función potencial U, de forma que

F

i

j

k

En este caso:

F 2.

i

j

k

Un disco de radio 1 m rueda sin deslizar sobre un plano horizontal con velocidad de su centro 2m/s hacia la derecha. Determinar la velocidad angular del disco, indicando su sentido, y la velocidad del punto diametralmente opuesto al de contacto con el suelo. Si el disco rueda sin deslizar el punto de contacto con el suelo es el centro instantáneo de rotación y por lo tanto:

v0 vA

vA

s

hacia la derecha

A

O

I CIR

3.

v0 = 2 m/s ω

En una carretera donde la velocidad máxima permitida es de 90 km/h hay que diseñar una curva de 300 m de radio. Despreciando los rozamientos, determinar el peralte que hay que dar a la curva para que los vehículos que circulen a la velocidad máxima permitida no derrapen. Según el principio de d’Alambert el sistema de fuerzas que actúan sobre un sólido, incluidas las de inercia (fuerza centrífuga), es un sistema nulo.

FC y

vA

x N

Por lo tanto

mg dado que FC

v2 R mv 2 tg

mg

v2 Rg

2

25 9.81 4. Una masa m, sujeta mediante una cuerda de longitud R a un punto O, gira sobre una mesa lisa con velocidad v. Determinar la tensión de la cuerda.

v T

Las fuerzas que actúan sobre la masa son su peso, la reacción normal del plano y la tensión de la cuerda. El movimiento de la partícula es circular uniforme, por lo

N m mg

R

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tanto su aceleración es an

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v2 . R

De esta forma:

T

5.

T

v2 R

Un bloque de 50 N se deposita sobre un plano rugoso, inclinado 30º sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el bloque es s= c = 0.3. Determinar la aceleración que adquiere el bloque, caso de que no permanezca en equilibrio. En primer lugar comprobemos si el bloque está en equilibrio o no. Para que esté en equilibrio: y x

fr 30º

P

N

Comprobemos la fuerza de rozamiento máxima que el plano es capaz de oponer al bloque:

frmax Por lo tanto no es posible el equilibrio y la fuerza de rozamiento, puesto que hay deslizamiento, es la máxima

fr

max

El bloque descenderá con una aceleración a tal que:

P sen 30

50sen 30 50 9.81

a

s2...