Cours 2 - Éléments de probabilités Expérience, univers, événement. probabilité marginale, probabilités jointes, probabilité conditionnelle, théorème de Bayes PDF

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Professeur: Rachidi Kotchoni...

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Chapitre 2: Éléments de base de la théorie des probabilités Rachidi Kotchoni ============ N.B.: Cette note peut contenir des coquilles. Veuillez me le signaler si vous en voyez

1 Théorie des ensemble De…nition 1

Une expérience aléatoire est un processus dont l’issue est incertaine. Lors du lancé d’un

dé par exemple, on peut tomber sur les numeros 1, 2, 3, 4 5 ou 6. Lorsqu’on lance une pièce de monnaie, on peut tomber sur pile ou face. Lorsqu’on tire un nom au hasard dans une liste, on peut tomber sur un homme ou une femme. Cet homme ou cette femme peut ensuite être fumeur ou non, etc... De ce fait, l’aléa peut se dé…nir aussi suivant plusieurs critères.

De…nition 2

Un événement élémentaire est l’une quelconque des réalisations d’une expérience aléatoire.

L’ensemble de toutes les réalisations possibles que nous noterons S est appelé univers. Un événement est une collection quelconque d’événements élémentaires de S . Exemple: Expérience: Lancé d’un dé.

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g f1g ; f4g ; f6g Evenements élémentaires f1; 3; 5g ; f2; 4; 6g ; f1; 4g

Univers: S

Evenements élémentaires

De…nition 3

L’intersection entre deux événements A et B est l’ensemble des événements élémentaires

qui sont à la fois dans A et dans B. On le note A

De…nition 4

\ B:

L’union entre deux événements A et B est l’ensemble des événements élémentaires qui

sont indi¤éremment dans A ou dans B. On le note A

[ B:

Exemple: Expérience: Lancé d’un dé. Événements: A=ensemble des nombres pairs: B=ensemble des nombres plus grands que 3. A A

= f2; 4; 6g et B = f4; 5; 6g \ B = f4; 6g et A [ B = f2; 4; 5; 6g

De…nition 5

On dit que A et B sont mutuellement exclusifs si il n’y a aucun événement élémentaires

communs à A et à B de sorte que l’intersection entre A et B est l’ensemble vide. B

=

fg ou encore A \ B = : Par

On note alors A

\

exemple, l’ensemble des nombres pairs et des nombres impairs sont

mutuellement exclusifs.

De…nition 6 pour tout i

Une collection d’événements E1 ; E2 ; :::; En est dite mutuellement exclusive si Ei

6= j:

De…nition 7

\ Ej = 

[ E [ ::: [ En = S où \ Ej =  pour tout i 6= j; on dit que cette collection forme une partition de

Une collection E1 ; E2 ; :::; En est dite collectivement exhausive si E1

S est l’univers. Si de plus Ei

S.

= f2; 6g, B = f1; 3g et C = f4; 5g : A \ B = ; A \ C = , B \ C =  [ B [ C = S: Donc A, B et C sont mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs.

Exemple: Lancé d’un dé. A et A

De…nition 8

Soit A un événement quelconque. On appelle complémentaire de A l’ensemble des éléments

de l’univers S qui ne sont pas dans A. On le note A: Par exemple, le complémentaire de l’ensemble des nombres pairs est l’ensemble des nombres impairs.

1

Dans l’illustration graphique (…gure 1), S est l’univers et A est un sous ensemble de S. La zone non hors de l’ellipse est le complémentaire de A. Dans la …gure 2, on distingue deux sous-ensembles A et B ayant une intersection non vide.

…gure 1

 \   [

…gure 2

Quelques résultats i) (A

\ B) [



partition de ii)

A

[

iii) Si de

B.

A

A

\B

=

B

=

B

A

B

et

E1 ; E2 ; :::; En

et (A A

\



\ B) \

A

\B





A

\B



= : Donc (A

= : Donc

A

forment une partition de S, alors

\ B)

et



A

\B



constituent une

A \ B constituent une partition de A [ B : \ E1 ; A \ E2 ; :::; A \ En forment une partition

et

A

A:

2

Notions de probabilité

2.1

Dé…nition

Une probabilité P est une application qui, à chaque événement A de S, associe un nombre P(A) compris entre zero et un mesurant la chance qu’a cet événement de se produire. Lorsque P(A)=0, on dit que A est un événement impossible. Lorsque P(A)=1, on dit que A est un événement certain. Comment construit -on une mesure de laprobabilité des événements? i) Si l’événement est répétitif, on peut se baser sur l’expérience en calculant les fréquences relatives de réalisation de chaque événement dans le passé. La formule générale de calcul est alors donnée par: P ( A)

=

Nombre de cas favorables à A Nombre de cas possibles

ii) Si l’événement n’est pas répétitif, alors on peut former les probabilités de manière subjective. Ces probabilités subjectives peuvent être a) ce que tout le monde croit, b) une croyance qui vous évite des regrets, etc... La notion rationnelle de probabilité subjective dépasse le cadre de ce cours. On se focalisera donc sur la probabilité fréquentiste. 2.2

Quelques propriétés des probabilités

Soit S un univers de possibilités. i) Pour tout A S; on a 0 ii) iii)

P (S )

= 1:

P ( A)

iv) Si



 P ( A)  1

+ P ( A) = 1

E1 ; E2 ; :::; En

sont mutuellement exclusives, alors P (E1

En particulier, si

E1 ; E2 ; :::; En

[ E2 [ ::: [ En ) =

X n

P (Ei )

i=1

forment une partition de S, alors

v) Si A et B sont deux événements quelconques, alors P (A

P

n P (Ei ) i=1

[ B ) = P ( A) + P ( B )  P ( A \ B ) 2

= 1:

Supposons par exemple que 75% des clients d’un restaurant disent aimer la moutarde (M), 80% disent aimer le ketchup (K) tandis que 65% a¢rment apprécier les deux ( \ ). Alors la probabilité qu’un client choisit au hasard aime l’un ou l’autre ( [ ) est: M

M

P (M

2.3

[ K)

K

K

=

P (M )

=

0:75 + 0:80

 P (M \ K )  0:65 = 0:9

+ P (K )

Exemple d’application

Un étudiant répond aléatoirement à trois questions d’un quiz. Ses réponses peuvent être correct (C) s’il trouve la bonne réponse, ou incorrect (I) dans le cas contraire. De…nissons l’univers:

L’univers est la collection des possibilités de réponses successives aux trois questions du quiz. Comme illustré dans l’arbre ci-dessus, on a: S

=

fC C C ; C C I ; C I C ; C I I ; I C C ; I C I ; I I C ; I I I g

Comme l’étudiant répond aléatoirement aux question du quiz, chaque événement élémentaire de S a la même chance de se produire. P

1

fC C C g = P fC C I g = ::: = P fI I I g = 8

La probabilité de répondre correctement aux trois premières questions est f g = 81 La proba1 bilité de ne trouver aucune bonne réponse est f g = 8 La probabilité de trouver exactement deux bonnes réponses est P

P

P

II I

:

fC C I g = P fC I C g + P fI C C g =

La probabilité de donner exactement une bonne réponse est: P

3 3.1

3

8

3

fC I I g = P fI C I g + P fI I C g = 8

Analyse combinatoire Dé…nitions

Soit n objects qu’on se propose de ranger dans x cases,avec  n

3

x:

CCC

:

Le total de façons de ranger x objects dans x cases s’appelle une permutation. On le note

xx:

P

x x = x: (x  1) ::::2.1 = x!

P

où

x!

se lit ’factoriel x’.

Le nombre total de façons de choisir x objects parmi les n sans se préoccuper de l’order s’appelle une combinaison de x dans n. On le note

C

n x

x n

( )

=

C

 n  n  1 x

x

1



n

:::

x+1



1

n!

=

Par convention,

n x: 

ou encore

 x)!

x!(n

0! = 1.

Lorsqu’on se préoccupe de l’ordre dans lequel les x objects sont choisis, on parle d’un arrangement de x dans n et on le note Pxn :

n x=

C

3.2

n!

(n

 x)!

n x

= x!C

Exemple d’application

Huit candidats postulent à quatre postes: 5 hommes et 3 femmes. Chaque candidat à la même chance d’obtenir chacun des postes. C5 5 5 1 a) La probabilité qu’aucune femme ne soit recrutée est:C 44 = 70 = 14 : En e¤et, C4 est le nombre de 8 cas favorables (possibilités de recruter 4 personnes parmi les 5 hommes, donc excluant les femmes) tandis que C 84 est le nombre de cas possibles (possibilités de recruter 4 personnes parmi les 8 candidats). C25C23 = 30 = 3 : b) Selon le même principe, la probabilité de choisir 2 femmes et deux hommes est: C 4 7 70 8

4

Probabilités marginales, jointes et conditionnelles

4.1

Dé…nitions

Soit A et B deux événements quelconques de S. On appelle probabilité jointe de A et B la probabilité que A et B se réalisent simultanément qui n’est rien d’autre que

P (A

sont alors dites marginales de A et B.

\ B ).

Les probabilités

P (A)

et

P (B )

Supposont que P(B) est non nul. Il est alors possible que la réalisation de B nous donne de l’information sur les possibilités de réalisation de A. La probabilité de A prédite par la réalisation de B s’appelle ”probabilité de A sachant B”. On le note

j

P (A B ):

j

P (A B) =

Rappelons que ci-dessus, on tire:

A

P (B)

\ B est l’ensemble des réalisations favorables à la fois à A et à B. \ B) = P (B )P (AjB ): En inversant les rôles entre A et B, on a: j

P (A

\ B) De la formule

P (A

P (B A) =

d’où on tire:

P (A

P (A

\ B)

P (A)

\ B) = P (A)P (B jB ):

Dans l’exemple du restaurant, supposons qu’un client qui vient d’être servi réclamme de la moutarde. Alors la probabilité que ce client aime également le ketchup est:

j

P (K M ) =

P (M

\ K ) = 0:65 = 13

P (M )

4

0:75

15

Si le client avait d’abord réclammé du ketchup, alors la probabilité qu’il aime également de la moutarde est:

j

P (M K )

4.2

\ K ) = 0:65

P (M

=

0:80

P (K )

=

13

16

Exemple d’application

Pour minimiser l’impact des réponses malhonnête à une question sensible de sondage, une technique consiste à ajouter une seconde question non sensible au questionnaire. Par exemple: question a) Avezvous déjà fumer un joint? (ou encore ”avez-vous déjà triché à un examen”, ’avez-vous déjà trompé votre conjoint”, etc.); question b) Est ce que le dernier chi¤re de votre date de naissance est pair? (ou encore, ”êtes-vous né un lundi”). L’enquêteur demande à l’enquêté de lancer une pièce de 1$. S’il tombe sur pile, il répond à la question a) et dans le cas contraire il répond à la question b). Il doit ensuite introuduire sa réponse dans une urne de sorte qu’on ne sais pas à quelle question il a répondu. Soit: A l’événement ”l’enquêté à répondu OUI”, E1 l’événement ”l’enquêté a répondu à la question a)” et E2 l’événement ”l’enquêté a répondu à la question b)”. On s’intéresse à la probabilité que la réponse OUI soit adressée à la question a), c’est à dire P (A=E1 ). P (A=E1 ) P ( A) P ( A) P (A

=

=

P (A\E1 ) P (E1 )

P (A

\ E1 ) + P (A \ E2 )

sera calculée d’après le dépouillement de l’enquête. Supposons

\ E2 ) = P (A=E2 )P (E2 )

P ( A)

= 0; 37.

1 = ; la probabilité de tomber sur pile au lancé de la pièce de 1$. 2 doit pouvoir être calculé d’après d’autres sources. En l’occurence, on peut supposer qu’il y a une proportion égale de personne dont la date de naissance se termine respectivement par un nombre pair et impair. Donc si la réponse l’enquêter répond à la question b), il y a 50% de chances que sa réponse soit OUI:P (A=E2 ) = 21 : On a donc: P (E2 )

=

P (E1 )

P (A=E2 )

P (A=E1 )

P (E1 ) P ( A)

=

0:37

=

5

\ E1 )

P (A

=

 P (A=E2 )P (E2 ) P (E1 )



1 2

1 2

x 21

= 0:24

Indépendance d’événements

Deux événements A et B sont dits indépendants si collection d’événements indépendants, alors: P

(E1 ;

P (A

\ B ) = P (A)P (B ): Si E1 ; E2 ; :::; En forment une

\E2 \ ::: \ En ) = P (E1 ) P (E2 ) :::P (En )

En conséquence, si A et B sont indépendants, on a:

j

P (A B )

=

P (A

\ B)

P (B )

=

P ( A) P ( B ) P (B )

=

P ( A)

Il ne faut pas confondre deux événements exclusifs et deux événements indépendants. Si A et B sont exclusifs, alors P (A \ B ) = 0. Exemples: i) On lance indépendamment n fois de suite un dé. Soit A l’événement ”tomber n fois de suite sur un nombre pair”. On a alors:   P ( A)

=

1 1

2 2

:::

5

1

2

=

1

2

n

ii) La probabilité de B: ”tirer au moins une fois le nombre 1” est: P (B )

=1

 P (B ) = 1 

 5

n

6

6 Théorème de Bayes Soient des evenements mutuellement exclusifs et exhaustifs, c’est à dire [ [ [ et \ =  pour tout 6= Soit A un événement quelconque de S. Alors on a: E1 ; E2 ; :::; En

Ei

E1

Ej

i

j

P ( E i A)

Preuve: Notons que \ Secondo, ( \ En…n, ( j ) = A

P A

Ej

=

P

En

=

S

j

j

P (A Ej )P (Ej ) j =1

n

n

j

P E

:::

P (A Ei )P (Ei )

n

\ E2 ; :::; A \ E forment une partition de A: Donc: P (A) = P P ( AjE )P (E ): ) = P (AjE )P (E ): Donc P (A) = =1 ( i\ ) ; avec P (A \ E ) = P (AjE )P (E ): D’où le résultat. ( )

E1 ; A

P Ei A

E2

j:

j

j

j

P

n

j =1

P (A

\E

j

):

j

A

i

P A

i

i

Application:

Un test de dépistage est précis à 90%, c’est à dire qu’il détecte un patient porteur du germe avec 90% de chance. Lorsque le patient n’est pas porteur du germe, il le déclare porteur du germe avec 1% de chance. Supposons que 1% de la population est réellement porteur du germe. On note: H: le patient est porteur du germe T: le test est positif. Alors on a: = ( \ ) [  \  Donc T

T

H

T

H

:

\ H ) + P T \ H   = p(H )P (T jH ) + P H P T jH

P (T )

=

P

(T

x x Donc si le test est positif, la probabilité que ceci soit une mauvaise nouvelle est: j = 0; 01 0; 90 + 0; 99 0; 01 = 0; 0189

j

P (H T )

=

P (H )P (T H ) P (T )

=

x

0;01 0;90 0;0189

= 0; 476

6...