Curve e luoghi geometrici nel piano PDF

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Utili appunti sulle curve e luoghi geometrici nel piano e quindi le coniche: circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. In più viene spiegato come trovare l'equazione generale di una conica e come classificarla. Comprende anche vari esercizi e relative soluzioni per comprendere meglio, e mettere in...

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CURVE E LUOGHI GEOMETRICI NEL PIANO &7.1 – Le coniche: equazione canonica e proprietà Ricordiamo che luogo geometrico è ogni insieme di punti del piano che verificano una data proprietà, rispetto ad elementi dati, e che in un dato sistema di riferimento cartesiano ortogonale verificano un'equazione del tipo f(x,y) = 0. Ci proponiamo di calcolare le equazioni di alcuni luoghi geometrici notevoli e di dedurre dalle rispettive equazioni alcune proprietà. Iniziamo con la circonferenza.

&7.2 – Circonferenza - Equazione cartesiana della circonferenza Def.7.2.1 - Come è noto dalla geometria elementare, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro: la distanza comune dei suoi punti dal centro dicesi raggio. Ciò detto, determiniamo l'equazione cartesiana della circonferenza:

Fissato un sistema cartesiano ortogonale, RC(O,x,y) e detti (α,β) le coordinate del centro C ed r la misura del raggio, si ha che:

P( x, y )   : PC  r  ∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝛾: 𝐶𝑃 = 𝑟 ⟺ √(𝑥 − 𝛼 )2 + (𝑦 − 𝛽 )2 = 𝑟 ⟺

⟺ 𝑥 2 − 2𝛼𝑥 + 𝛼 2 + 𝑦 2 − 2𝛽𝑦 + 𝛽2 = 𝑟2 ⟺ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 + 𝛼 2 + 𝛽2 − 𝑟 2 = 0.

Posto:

a   2  b   2  c  2  2 r2    

si ha che l'equazione di una circonferenza è del tipo x2 + y2 + ax + by + c = 0 (1) In particolare, se il centro della circonferenza coincide con l'origine O del sistema di riferimento, la sua equazione diventa: x2 + y2 = r2. Si noti che l'equazione canonica della circonferenza presenta le seguenti particolarità:

1. è un'equazione algebrica di 2° grado, in due incognite; 2. manca del termine x ∙ y (termine rettangolare);

3. i coefficienti dei termini di 2° grado sono uguali a 1. Le relazioni che legano il centro e il raggio ai coefficienti a,b,c dell’equazione, sono: 𝑎 𝛼=− 2 𝑏 𝛽=− 2 1 2 2 { 𝑟 = 2 ∙ √𝑎 + 𝑏 − 4𝑐

Dall’ultima relazione, si deduce che l’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 rappresenta: una circonferenza reale non degenere se a2 + b2 - 4c > 0; una circonferenza reale degenere se a2 + b2 - 4c = 0: in tal caso la circonferenza è formata solo da un punto, il centro della circonferenza; una circonferenza immaginaria se a2 + b2 - 4c < 0. Ad esempio, l’equazione x2 + y2 - 2x - 2y = 0 rappresenta una circonferenza reale non degenere di centro C(1,1) e raggio 𝑟 = 2 √4 + 4 − 0 = √2. 1

&7.2.1 – Posizione relativa fra retta e circonferenza

Def.7.2.1.1 – Data una retta t e una circonferenza 𝛾 nel piano S2, si dice che:

(a) t è esterna a 𝛾 ⟺ 𝑡 𝑒 𝛾 𝑛𝑜𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒, 𝑡 ∩ 𝛾 = ∅;

(b) t è tangente a 𝛾 ⟺ 𝑡 𝑒 𝛾 ℎ𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒, 𝑡 ∩ 𝛾 = {𝐴1 ≡ 𝐴2 };

(c) t è esterna a 𝛾 ⟺ 𝑡 𝑒 𝛾 ℎ𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑖 𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒, 𝑡 ∩ 𝛾 = {𝐴1 , 𝐴2 }. Sussistono i seguenti teoremi.

Teorema 7.2.1.1 – Se 𝛾 è una circonferenza di equazione 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e se t è una retta di equazione 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0, indicato con ∆ 𝑖𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙 ′ 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒

𝑟𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑙 𝑠𝑖𝑡𝑒𝑚𝑎 {

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 , si dimostra che: 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0

(a) 𝑡 è 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑎 𝛾 ⟺ ∆ < 0;

(b) 𝑡 è 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛾 ⟺ ∆ = 0; (c) 𝑡 è 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛾 ⟺ ∆ > 0. La dimostrazione è ovvia.

Un metodo alternativo per stabilire la posizione reciproca retta/circonferenza è fornito dal seguente teorema.

Teorema 7.2.1.2 – Se 𝛾 è una circonferenza di equazione 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e se t è una retta di equazione 𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = 0, indicati con C il centro ed r il raggio della circonferenza, si dimostra che:

(a) 𝑡 è 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑎 𝛾 ⟺ 𝑑(𝐶, 𝑡) > 𝑟;

(b) 𝑡 è 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛾 ⟺ 𝑑(𝐶, 𝑡) = 𝑟;

(c) 𝑡 è 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛾 ⟺ 𝑑(𝐶, 𝑡) < 𝑟.

&7.2.2 - Equazioni parametriche di una circonferenza Ogni circonferenza può essere rappresentata oltre che mediante un'equazione cartesiana del tipo (1) anche mediante equazioni parametriche. A tal fine, fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dette (α,β) le coordinate del centro C ed r il raggio della circonferenza, allora se P(x, y) è un suo punto e se ϑ è l'angolo che la retta CP forma con l'asse x,

si ha:

𝑥 − 𝛼 = 𝑟 ∙ cos(𝜗) 𝑥 = 𝛼 + 𝑟 ∙ cos(𝜗) 𝐶𝐻 = 𝐶𝑃 ∙ 𝐶𝑂𝑆(𝜗) ⟹{ { ⟹{ , con 0 ≤ 𝜗 < 2𝜋. (2) ( ) 𝑦 − 𝛽 = 𝑟 ∙ sen 𝜗 𝑦 = 𝛽 + 𝑟 ∙ sen(𝜗) 𝐻𝑃 = 𝐶𝑃 ∙ 𝑆𝐸𝑁(𝜗) Tali equazioni si dicono equazioni parametriche di parametro ϑ della circonferenza di centro C(α,β)

e raggio r. In particolare, se la circonferenza ha centro in O, le equazioni parametriche sono: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜗) { , 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜗)

𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝜗 < 2𝜋.

Le equazioni parametriche (2) non sono le uniche equazioni che possono rappresentare una circonferenza, perché la loro espressione dipende dal parametro che si sceglie (tale osservazione vale per ogni curva del piano). Infatti, ricordato che

𝜗 2𝑡𝑔 (2 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜗) = 𝜗 1 + 𝑡𝑔2 ( ) 2 𝜗 1 − 𝑡𝑔2 ( 2 ) 𝑐𝑜𝑠(𝜗) = 𝜗 1 + 𝑡𝑔2 ( ) { 2



posto t  tg( ) , dalle equazioni (2) si ricavano le seguenti ulteriori equazioni parametriche 2 della circonferenza: {

𝑥 = 𝛼+𝑟∙

𝑦 = 𝛽 +𝑟∙

1−𝑡2 1+𝑡2 2𝑡

1+𝑡2

(3).

Osservazione - Per calcolare l'equazione cartesiana della circonferenza basta eliminare il parametro t dalle due equazioni.

&7.2.3 – Fasci di circonferenze

Def.7.2.3.1 – Se 𝛾1 𝑒 𝛾2 sono due equazioni del piano di equazione, rispettivamente, 𝛾1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 𝑒 𝛾2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0

dicesi fascio di circonferenze generato da 𝛾1 𝑒 𝛾2 l’insieme delle infinite circonferenze date

dalla combinazione lineare

𝜆(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 ) + 𝜇(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 ) = 0 (equazione a due parametri)

o, equivalentemente, dalla combinazione lineare

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 + 𝑘 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 ) = 0 (equazione a un parametro)

La retta che si ottiene sottraendo membro a membro le equazioni di 𝛾1 𝑒 𝛾2 prende il nome di asse radicale. L’equazione dell’asse radicale è:

Inoltre, si osservi che:

(𝑎1 − 𝑎2 )𝑥 + (𝑏1 − 𝑏2 )𝑦 + (𝑐1 − 𝑐2 ) = 0.

1. se le due circonferenze, generatrici del fascio, sono secanti in due punti A e B, allora tutte le circonferenze del fascio, da esse individuato, passano per tali punti che si dicono punti base del fascio e la retta congiungente A e B è proprio l’asse radicale; 2. se le due circonferenze, generatrici del fascio, sono tangenti nel punto A, allora tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in A e la tangente comune è l’asse radicale.

3. I centri delle infinite circonferenze del fascio generato da 𝛾1 𝑒 𝛾2 appartengono tutti alla retta che congiunge il centro C 1 di 𝛾1 con il centro C2 di 𝛾2 : per questo motivo, la retta C1C2 è detta retta dei centri del fascio.

&7.3 - L' ellisse – Equazione canonica dell’ellisse Def.7.3.1 - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da },  = 𝑃𝐹′ ℰ = {𝑃 ∈ 𝑆2 |𝑃𝐹

due punti fissi, detti fuochi, è costante:

dove F ed F' sono i fuochi e 2a è la distanza costante.

La retta FF’ dicesi asse focale dell’ellisse, la distanza dei due fuochi, FF’ = 2c, dicesi distanza focale dell’ellisse, il punto medio C del segmento FF’ dicesi centro dell’ellisse. Calcoliamo l'equazione canonica dell'ellisse: se assumiamo come riferimento cartesiano il sistema avente per origine O il centro dell’ellisse, come asse x l’asse focale FF’ e come asse y la retta perpendicolare ad x in O, in tale riferimento

le coordinate dei fuochi sono: F(c,0) ed F'(-c,0). Applicando la definizione di ellisse, si ha che:

∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℰ, 𝑃𝐹 + 𝑃𝐹 ′ = 2𝑎 ⟹ √(𝑥 − 𝑐 )2 + 𝑦 2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 ⟹ ⟹ √(

𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 ⟹ 𝑥2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 𝑥2 + 𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑦2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2

⟹ −2𝑐𝑥 = 4𝑎 2 + 2𝑐𝑥 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 ⟹ 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4𝑐𝑥 ⟹

⟹ 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥 ⟹ 𝑎2 ∙ [𝑥2 + 𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑦2 ] = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐2 𝑥2 ⟹

⟹ 𝑎2 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑐2 + 𝑎2 ∙ 𝑦2 = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐2 𝑥2 ⟹ 𝑎2 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑐2 + 𝑎2 ∙ 𝑦 = 𝑎4 + 𝑐2 𝑥2 ⟹ 2

2

2

2 ⟹ (𝑎2 − 𝑐2 ) ∙ 𝑥2 + 𝑎2 ∙ 𝑦 = 𝑎4 − 𝑎2 ∙ 𝑐2 = 𝑎2 ∙ (𝑎2 − 𝑐2 ). (1) Osservato che, per una nota proprietà dei triangoli, è

  +   ⟹ 2c < 2a ⟹ 𝑐 < 𝑎 ⟹ 𝑐 2 < 𝑎 2 𝐹𝐹 ′ < 𝑃𝐹 𝑃𝐹′

per cui ha senso porre a2 - c2 = b2.

Con tale posizione, l'equazione (1) diventa:

𝑏2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏2

e, dividendo 1° e 2° membro per a 2b2, si ha: 𝑥2 𝑎2

+

𝑦2

𝑏2

= 1 (2)

E' questa l'equazione dell'ellisse (equazione canonica) quando essa è riferita al particolare sistema di riferimento che ha l'origine O coincidente con il centro dell’ellisse, l'asse x coincidente con l’asse focale FF’ dell’ellisse e l'asse y perpendicolare ad x nel suo centro. Prop.7.3.1 – (Proprietà geometriche dell'ellisse) 1) Simmetrie L’ellisse è una curva simmetrica rispetto agli assi e al suo centro. Infatti, dall'equazione (2), si deduce che:

 ∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℇ: 𝑃′(𝑥, −𝑦) ∈ ℇ: l’ellisse è simmetrica rispetto all’asse x;

 ∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℇ: 𝑃′(−𝑥, 𝑦) ∈ ℇ: l’ellisse è simmetrica rispetto all’asse y;

 ∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℇ: 𝑃′(−𝑥, −𝑦) ∈ ℇ: l’ellisse è simmetrica rispetto all’origine O. L’asse x contenente i fuochi è detto asse principale o focale dell’ellisse, l’asse y è detto asse non focale o secondario dell’ellisse: per questa ragione, l'equazione (2) è detta equazione dell'ellisse riferita al proprio centro e ai propri assi. Inoltre, poiché l’ellisse ha un centro di simmetria si dice che l’ellisse è una conica a centro. I punti A(a,0), A'(- a,0), B(0,b) e B’(0,- b), in cui l'ellisse interseca gli assi di simmetria, si dicono vertici dell'ellisse. I segmenti AA' e BB', di lunghezza AA' = 2a e BB ' = 2b, si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore dell’ellisse. Si osservi che la semidistanza focale c è legata alla misura dei semiassi dalla relazione: 2) ∀𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℇ:

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 .

ìx2 ì x ïï 2 £ 1 ïï-1 £ £ +1 ì-a £ x £ a y x a a + =1 Þ í 2 Ûí . Þí a2 b2 ïy ï-1 £ y £ +1 î-b £ y £ b ïî b 2 £ 1 ïî b 2

2

Dunque, l'ellisse è tutta contenuta nella striscia di piano compresa fra le rette x = - a, x = a, y = - b, y = b. 3) Risolvendo l'equazione

x2 y2   1 rispetto a y, si ha: a 2 b2

In particolare, con riferimento a

si ha:

𝑏 𝑦 = ± ∙ √𝑎 2 − 𝑥 2 𝑎

𝑏 𝑦1 = + ∙ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑎

a. per x = 0, si ha il vertice B(0,b); b. per x   a , si hanno i vertici A(a,0), A'(-a,0); c. per x compreso fra -a e 0, la y cresce da 0 a b, mentre per x compreso fra 0 e a la y decresce da b a 0.

Dunque, la parte di ellisse individuata dall'equazione 𝑦1 = +𝑎 ∙ √𝑎2 − 𝑥 2 , ha un 𝑏

andamento del tipo rappresentato dalla linea continua del grafico seguente:

B'(0,-b)

La parte di ellisse individuata dall'equazione y 2  

b a

a 2  x 2 si ottiene dal grafico

precedente per simmetria rispetto all'asse x. Osservazione - Se a = b, l'ellisse è una circonferenza di raggio r = a = b. Il parametro che misura la curvatura dell’ellisse, ovvero il suo schiacciamento, è l’eccentricità. Si pone la seguente definizione: Def.7.3.2 - Dicesi eccentricità dell'ellisse il rapporto fra la semidistanza focale c e la lunghezza del semiasse maggiore a, cioè:

e

c a

Si osservi che poiché c < a, l'eccentricità dell'ellisse è un numero compreso fra 0 e 1:

0  e  1. In particolare, se e = 0 l'ellisse è una circonferenza. Infine, poniamo la seguente ulteriore definizione.

Def.7.3.3 - Se F(c,0) ed F'(-c,0) sono i fuochi dell'ellisse di equazione 𝑎2 + 𝑏2 = 1 , allora: 1. la retta d: 𝑥 =

𝑎2 𝑐

2. la retta d': 𝑥 = −

𝑥2

𝑦2

dicesi direttrice dell'ellisse associata al fuoco F(c,0); 𝑎2 𝑐

dicesi direttrice dell'ellisse associata al fuoco F'(-c,0).

Ciò detto, si dimostra la seguente ulteriore proprietà, caratteristica dell'ellisse. Prop.7.3.2 - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da ciascun 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑒. 𝑑(𝑃, 𝑑)

fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante e uguale all’eccentricità e dell’ellisse

Dim. Se P(x,y) è un punto qualsiasi dell'ellisse avente uno dei fuochi nel punto F(c,0) e per relativa direttrice la retta d: 𝑥 = d (P, F )  d (P , d )

(x  c)  y 2

2

x

a c

2



𝑎2 𝑐

, si ha:

x  2cx  c  y  a2 a4 2 x  2x  2 c c 2

2

2

b2 2 (a  x 2 ) 2 a  c 2 x 2  2 a 2 cx  a 4 c2

x2  2cx  c2 



a2 x 2  2a2 cx  a2 c2  b2 a2  b2 x2 c2   a2 c 2 x 2  2 a 2 cx  a 4



x 2 (a 2  b 2 )  2a 2 cx  a 2 (b 2  c 2 ) c2 c 2 x 2  2 a 2 cx  a 4 2    e  e 2  e. c 2x 2  2 a 2cx  a 4 a2 c 2 x 2  2 a 2 cx  a 4

Analogo risultato si ottiene se si considera il fuoco F'(- c,0) e la relativa direttrice d ’ di equazione x  

a2 . c

&7.3.1 – Equazioni parametriche dell’ellisse Passiamo ora a determinare le equazioni parametriche dell'ellisse. Poiché −1 ≤

𝑥

𝑎

≤ 1, possiamo porre 𝑎 = cos(𝜑) , 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋;

inoltre, dall'equazione

𝑥

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2

𝑏2

= 1 ⟹ = ±√1 − 𝑥 2 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜑) = ±𝑠𝑒𝑛 (𝜑) ⟹ 𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜗). 𝑎 𝑏 𝑦

2

Dunque, ogni ellisse che ha centro in O può essere rappresentata da equazioni parametriche del tipo:

 x  a cos( ) , con 0    2 , dove a e b sono le misure dei semiassi dell’ellisse.   y  bsen( ) &7.4 - L' iperbole – Equazione canonica dell’Iperbole Def.7.4.1 – Dicesi iperbole il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da due punti fissi, detti fuochi, hanno una differenza, in valore assoluto, costante. Se indichiamo con F ed F' i due fuochi e con 2a la differenza costante, l'iperbole è così definita:

| = 2𝑎}.  − 𝑃𝐹′ ℐ = {𝑃 ∈ 𝑆2 ||𝑃𝐹

La retta FF’ dicesi asse focale dell’iperbole, la distanza dei fuochi FF’ = 2c dicesi distanza focale e il punto medio C del segmento FF’ dicesi centro dell’iperbole. Calcoliamo l'equazione canonica dell'iperbole. Se consideriamo il riferimento che ha come origine O il centro dell’iperbole (p.m. C del segmento FF’), come asse delle x l’asse focale (retta che congiunge i due fuochi) e come asse y la perpendicolare in O all’asse x, in tale riferimento le coordinate dei due fuochi sono: F(c,0) ed F'(-c,0). Di conseguenza, per definizione di iperbole, si ha: P( x, y)  I:

( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a 

 x 2  2cx  c 2  y 2  x 2  2 cx  c 2  y 2  2 a    2cx  2cx  4a 2  4a x 2  2cx  c 2  y 2  4a x 2  2cx  c 2  y 2  4a 2  4cx   a x 2  2cx  c 2  y 2  a 2  cx  a 2x 2  2a 2cx  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2cx  c 2 x 2   (a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c2 )  ( c2  a2 ) x2  a2 y2  a2 ( c2  a2 ). Tenuto conto che 2a < 2c  a  c  a2  c2  c2  a2  0 , si può porre b2 = c2 - a2 così che l'equazione precedente diventa

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b2 e dividendo 1° e 2° membro per a 2b2 ≠ 0, si ha:

x2 y2   1 (1) a 2 b2 E' questa l'equazione canonica dell'iperbole.

Prop.7.4.1 - (Proprietà geometriche dell'iperbole) 1. Simmetrie Osserviamo che, come l'ellisse, l'iperbole è una curva simmetrica sia rispetto agli assi x e y sia rispetto all'origine O. Infatti:  "P(x, y) Î E : P'(x,-y) Î I Þ

l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse x;

 "P(x, y) Î I : P''(-x, y) Î I Þ

l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse y;

 "P(x, y) Î I : P'''(-x,-y) Î I Þ l’iperbole è simmetrica rispetto all’origine O. Poiché l’iperbole ha un centro di simmetria si dice che l’iperbole è una conica a centro. Gli assi di simmetria, x e y, si dicono assi dell'iperbole e l'origine O si dice centro dell'iperbole. Inoltre:  poiché l'asse x interseca l'iperbole nei punti A(a,0) e A'(-a,0), l’asse x dicesi asse trasverso dell’iperbole. I due punti A e A’ si dicono vertici reali dell’iperbole e la

 = 2𝑎 dicesi misura dell’asse trasverso; loro distanza 𝐴𝐴′

 poiché l'asse y non ha intersezioni con l'iperbole, tale asse dicesi asse non  = 2𝑏 dicesi misura dell’asse non reali dell’iperbole e la loro distanza  𝐵𝐵′

trasverso dell’iperbole. I punti B(0,b) e B'(0,-b) di tale asse si dicono vertici non

trasverso.

2.1 - Risolvendo l'equazione (1) rispetto a y, si ha:

b y    x 2  a 2 ; (2 ) a la condizione di esistenza è x  a  x  a

Pertanto, l'iperbole è costituita da punti tutti esterni alla striscia individuata dalle rette x = - a e x = a. 2.2 - Risolvendo l'equazione (1) rispetto a x, si ha:

a x    y 2  b2 b la cui condizione di esistenza è    y   .

b 3.1 - Se consideriamo y    x 2  a 2 , si ha che: a a) quando x cresce da   a x = - a, y decresce da   a zero;

b) quando x cresce da x = a a   , y cresce da 0 a   ; c) per x =  a , si hanno i vertici A(a,0) e A'(-a,0).

b 3.2 – Se consideriamo y    x 2  a 2 , si ha che: a a) quando x cresce da   a x = - a, y cresce da   a 0; b) quando x cresce da x = a a   , y decresce da 0 a   ; 4 - Nell'equazione (1), ponendo uguale a zero il complesso dei termini di secondo grado, si ha:

x 2 y2 x y x y b b  2  0  (  )(  )  0  y  x  y   x 2 a b a b a b a a

b Le rette così ottenute, di equazione y   x , sono tangenti all'infinito all'iperbole: a esse si dicono asintoti dell'iperbole e sono le diagonali del rettangolo delimitato dalle rette di equazione x  a  y  b . 5 - Infine, osservato che è sempre

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 | √𝑥 2 − 𝑎 2 | ≤ | √𝑥 2 | = | 𝑥| ⟺ − 𝑥 ≤ √𝑥 2 − 𝑎 2 ≤ 𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

si deduce che l'iperbole è formata da due rami di curva i cui punti sono interni agli angoli formati dai due asintoti e contenenti l'asse x. Il grafico dell'iperbole ha, dunque, un andamento del tipo seguente:

Prop.7.4.3 - Si dimostra che l'iperbole ha equazioni parametriche date da:

ìx = a × cosh(J ) í îy = b × senh(J ) dove: 

a e b sono i semiassi trasverso e non trasverso dell’iperbole

senh(J ) = 

eJ - e-J e J + e-J (= seno _ iperbolico)Ùcos h(J ) = (= cos eno _ iperbolico). 2 2

Osservazione - E’ facile verificare che l’iperbole equilatera di equazione x2 – y2 = 1, ha equazione parametrica

cos h 2 (J ) - senh 2 (J ) =1. Def.7.4.2 - Dicesi eccentricità dell'iperbole il rapporto fra la distanza focale c e la lunghezza del semiasse trasverso a:

e

c a

Poiché c  a2  b2  c  a  e  1 . Def.7.4.3 - Se F(c,0) ed F'(-c,0) sono i fuochi dell’iperbole di equazione

x2 y2   1 , allora: a 2 b2

a2 , dicesi direttrice dell'iperbole associata al fuoco F(c,0); c a2 , dicesi direttrice dell'iperbole associata al fuoco F'(-c,0). 2. la retta d', di equazione x   c 1. la retta d, di equazione x 

Ciò detto, si dimostra la seguente ulteriore proprietà, caratteristica dell'iperbole. Prop.7.4.4 - L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da ciascun fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale all’eccentricità:

d (P, F )  e. d ( P, d ) La dimostrazione è analoga a quella dell’ellisse. &7.5 - La parabola – Equazione canonica della...