Deber 1 - Lógica matematica y teoría de conjuntos PDF

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DEBER N°1 Tema: Lógica Matemática Nombre: Ivonne Paredes Grupo: GR10 1. Según la sintaxis de la lógica, indique si (¬ (P ⇔ Q) ∨ ¬ (R ∧ P)) ⇒ Q. representan o no una proposición. Además, explique el por qué. Sí representa una proposición porque según la regla 1 de la sintaxis P, Q y R son símbolos que representan proposiciones, luego por la regla 3.2 el símbolo P⇔Q representa disyunción, posteriormente por la regla 3.1 el símbolo R∧P representa una conjunción, seguido por la regla 2 se presenta una negación como prefijo en ¬ (P ⇔ Q)

¬ (R ∧ P)

luego para evitar ambigüedades por la regla 5 se presentan los paréntesis, continuamente por la regla 3.2 entre los símbolos que representan proposiciones ¬ (P ⇔ Q) ∨ ¬ (R ∧ P) representando una disyunción, a continuación, por la regla 3.2 entre los símbolos que representan proposiciones aparece (¬ (P ⇔ Q) ∨ ¬ (R ∧ P)) ⇒ Q que representa una implicación, y finalmente por la regla 5 de la sintaxis se coloca los paréntesis para evitar ambigüedades, por lo que si representa una proposición. 2. Analice el valor de verdad de (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)

sabiendo que P es v y Q es f. P

Q

¬Q

v

f

v

P∧ ¬Q v

P⇒ Q f

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) f

Es falso. El valor de verdad (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) es falso puesto que “P” es v y “Q” es f, luego por el axioma de la implicación P⇒Q es falsa, por el axioma de la negación ¬Q es v, seguido por el axioma de la conjunción P ∧ ¬Q es verdadero, y finalmente por el axioma de la conjunción (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) no es verdadera, por lo que necesariamente deberá ser falsa. 3. Identifique las proposiciones mediante las cuales se expresa la proposición

Si t es un número primo, t es igual a 2 o es impar. P: t es un número primo Q: t es igual a 2 R: t es impar P ⇒(Q ∨ R) 4. Muestre que la siguiente proposición se puede expresar mediante otras proposiciones en la Lógica de proposiciones. Represente

simbólicamente esta proposición bajo las reglas de sintaxis de la Lógica:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.” P: En todo triángulo rectángulo Q: El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos P⇒Q 5. Muestre que la siguiente proposición se puede expresar mediante otras proposiciones en la Lógica de proposiciones. Represente simbólicamente esta proposición bajo las reglas de sintaxis de la Lógica: “Si un número real es mayor que cero, entonces su inverso aditivo es menor que cero y su cuadrado es mayor que cero.” P: Un número real es mayor que cero Q: Inverso aditivo es menor que cero R: Su cuadrado es mayor que cero P ⇒ (Q ∨ R) 6. Dada la proposición

“El cuadrado de un número real distinto de 0 es mayor que 0”, identifique las proposiciones mediante las que se expresa. P: Cuadrado de un número real distinto de 0 Q: Número mayor que 0 P⇒Q 7. Represente simbólicamente en la Lógica de proposiciones la proposición

“Si a es un número real distinto de 0, o bien a es positivo, o bien −a es positivo.”

P: Número real distinto de 0 Q: Número positivo R: Número -a es positivo P ⇒ (Q ∨ R) 8. Represente simbólicamente en la Lógica de proposiciones la proposición “El producto de los números reales a y b es distinto de 0 si y solo si a y b son diferentes de 0” P: El producto de los números reales a y b es distinto de 0 Q: a y b son diferentes de 0 P⟺Q 9. Represente simbólicamente la proposición “Si a ≠ 0, b ≠ 0 y a ≠ b, entonces =� �

�

�

mediante las proposiciones simples a través de las que se expresa. P: Si a ≠ 0, b ≠ 0 Q: a ≠ b 1

1

�

R:

�

= (P ∧ Q) ⇒ R

10. ¿Cómo se lee la siguiente la proposición ¬Q ⇔ (P ∨ R)? La doble implicación de la negación de Q, y la disyunción de P y R 11. ¿Representa la expresión (P ∧ (R ⇒ S) ∨ Q) ⇔ ¬P

una proposición? No representa una proposición, ya que P, Q, R, S son símbolos que representan una proposición, luego por la regla 3.1 ¬P representa la negación de P, seguido por la regla 3.2 R⇒S pero hay una ambigüedad en el símbolo (P ∧ (R ⇒ S) ∨ Q) incumpliendo la regla 5 de la sintaxis, entonces no representa una proposición. 12. Mostrar que la proposición “Si ∈ > 0, entonces |a| > ∈ si y solo si a < −∈ o a > ∈.” se puede representar simbólicamente en la Lógica de proposiciones de al menos dos formas distintas e indique la diferencia entre estas. P: ∈ > 0 Q: |a| > ∈ R: a < −∈ S: a >∈ 

(R ∨ S) ⟺ (P ⇒ Q)



(P ⇒ Q) ⟺ (R ∨ S)

La diferencia entre los dos símbolos que representan la proposición es el intercambio del antecedente por el consecuente y viceversa, pero no afecta su valor de verdad ya que se trata de una doble implicación y su valor de verdad depende del antecedente y del consecuente. 13. Demostrar que la siguiente proposición es una tautología

(P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)). Sí es una tautología y lo podemos demostrar a través de la tabla de verdad PQR

(Q ⇒ R)

vvv v vf

P⇒Q

P⇒R

v

P ⇒ (Q ⇒ R) v

v

(P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R) v

(P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)) v

v

f

f

v

v fv

v

v

f

f

f

v

v

v

v ff

v

v

v

f

f

v

v

f vv

v

f vf

f

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

f fv

v

v

v

v

v

v

f ff

v

v

v

v

v

v

14. Si La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q es equivalente lógicamente a la implicación de las proposiciones P y ¬Q ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La proposición ¬ (P ∧ Q) ≡ (P ⇒ ¬Q) es una tautología. b) Se tiene que: ¬ (P ∧ Q) = (P ⇒ ¬Q). c) Corresponde a la lectura de la proposición ¬ (P ∧ Q) ≡ (P ⇒ ¬Q) d) Corresponde a la lectura de la proposición P ∨ Q ≡ P ⇒ ¬Q 15. Complete la siguiente tabla de verdad:

y justifique cada uno de los valores de verdad que ubique en la tabla.

1. f: Puesto que el valor de verdad de Q es v y el valor de verdad de P es f por el axioma de la implicación Q⇒P es f. 2. f: En la tabla de verdad indica que el valor de verdad de Q⇒P es v, entonces por el axioma de la negación ¬ (Q⇒P) es f. 3. v: Si el valor de verdad de P y Q es v, por el axioma de la disyunción P ∨ Q es v 4. f: El valor de verdad de ¬ (Q⇒P) es f y el valor de verdad de P ∨ Q es v, por el axioma de la doble implicación ¬ (Q⇒P) ⟺ (P ∨ Q) es f. 5. f: El valor de verdad de ¬ (Q⇒P) es f y el valor de verdad de P ∨ Q es v, por el axioma de la doble implicación ¬ (Q⇒P) ⟺ (P ∨ Q) es f. 16. Identifique los errores en la siguiente tabla de verdad

17. ¿Los cuadros

son tablas de verdad de la proposición (P ∨ Q) ⇒ Q? La tabla 1 sí es una tabla de verdad de la proposición (P ∨ Q) ⇒ Q ya que están bien aplicados los axiomas fundamentales y en la segunda no se aplica los axiomas de la manera correcta por lo tanto no es una tabla de verdad de (P ∨ Q) ⇒ Q. 18. Si la proposición (P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)) es una tautología, que se denomina propiedad distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción, las proposiciones (|x| = −1 ∨ x > 3) ∧ (|x| = −1 ∨ x < 10)

y

|x| = −1 ∨ (x > 3 ∧ x <

10) son equivalentes lógicamente?

(|x| = −1 ∨ x > 3) ∧ (|x| = −1 ∨ x < 10)

|x| = −1 ∨ (x > 3 ∧ x < 10)

Sí son equivalentes lógicamente porque tienen la misma forma y por el axioma de la doble implicación que si dos proposiciones son equivalentes lógicamente, tienen el mismo valor de verdad independientemente de los valores de verdad de las proposiciones mediante las cuales se expresan. 19. Si la proposición ¬ (x ≥ −1 ∨ x = 1) es verdadera, por la Ley De Morgan de la disyunción, ¿podemos afirmar que la proposición

¬ (x ≥ −1) ∧ ¬ (x = 1) también es verdadera? La ley de Morgan: negación de la disyunción ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q demuestra que ¬ (x ≥ −1) ∧ ¬ (x = 1) es equivalentemente lógica a ¬ (x ≥ −1 ∨ x = 1) ya que tienen la misma forma, por lo tanto ¬ (x ≥ −1) ∧ ¬ (x = 1) sí es verdadera. 20. Mediante la definición de deducción, demuestre que de la conjunción de P y Q se deduce Q. Por la regla de inferencia “eliminación de la conjunción” ∧� � podemos decir que Q se deduce de P ∧ Q 21. ¿Podríamos sustituir esta proposición La clase universal no es conjunto o la

clase vacío no es conjunto por esta otra No es verdad que las clases universal y vacío son conjuntos sin que el valor de verdad de la proposición resultante luego de la sustitución cambie? La clase universal no es conjunto o la clase vacío no es conjunto

No es verdad que las clases universal y vacío son conjuntos ¬ (P ∧ Q)

P∨Q

PQ v v f v v f ff

P∨Q v

PQ

P∧Q

¬ (P ∧ Q)

v

f f

f

v

v

f v

f

v

f

v f

f

v

v v

v

f

Sí es posible sustituirla ya que los valores de verdad resultantes son los mismos, como se demuestra en las tablas de valor de verdad. 22. Si x2− x − 6 = 0 ≡ (x − 3)(x + 2) = 0 y

(x − 3)(x + 2) = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2 ¿Entonces podemos decir que x2 − x − 6 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2? Sí esta correcta la equivalencia lógica, ya que lo que se está haciendo es una sustitución de proposiciones por otra con el mismo valor de verdad. 23. ¿Cuál es la forma de la tautología Modus Tollens: ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P? La implicación de la conjunción de la implicación de P y Q, y la negación de Q, y la negación de P. ((P ⇒ P) ∧ ¬P) ⇒ ¬P lo que hace a la proposición verdadera es su forma, independientemente de las letras que se utilicen para su representación. 24. ¿Cuál es la forma de la tautología Negación de la implicación: ¬ (P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q)?

La doble implicación de la negación de la implicación de P y Q, y la conjunción de P y la negación de Q. ¬ (Q ⇒ Q) ⇔ (Q ∧ ¬Q) Podemos saber que una proposición verdadera por su forma, independientemente de las letras que se utilicen para su representación.

25. En la teoría de los números reales, se sabe que es verdadera la proposición Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. ¿Es verdadera la proposición: ¿Si a = 0 y b = 0, entonces ab = 0? P: ab = 0 Q: a = 0 R: b = 0.

P ⇒ (Q ∨ R)

Q: a = 0 R: b =0 P: ab = 0 (Q ∧ R) ⇒ P

Sí es verdadero, ya que sabemos (Q ∧ R) ⇒ P es v, entonces (Q ∧ R) es verdadera por el axioma de la implicación, por este mismo axioma sabemos que P no es falso, entonces necesariamente es v, por lo tanto, la proposición (Q ∧ R) ⇒ P es verdadero

26. ¿Se puede decir que la conectiva doble implicación es conmutativa? La propiedad conmutativa trata de que el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman, cosa que se cumple según el axioma de la doble implicación que dice “El valor de verdad de la doble implicación de dos

proposiciones es verdadero únicamente si las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad.”, entonces si podríamos decir que es conmutativa....