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DEFINITIONEN MATHE

Definition ( Spiegelzahlen = Vert. Ziffern ) Als Spiegelzahlen bezeichnen wir Zahlenpaare, deren Ziffern in der Reihenfolge umgekehrt (gespiegelt) sind. Weiterhin setzen wir voraus, dass die Ziffern (paarweise) verschieden sind und ungleich 0. Definition ( ANNA-Zahlen) Ist eine vierstellige Spiegelzahlen, die von hinten und vorne gelesen die gleiche Zahl ergeben (Palindrome aus Zahlen). Definition (Zahlen ) sind Punkte auf der Zahlengeraden können der Größe nach verglichen werden (Wohlordnung) wir können damit rechnen (Grundrechenarten* und ihre Gesetze** gelten) dienen als Maßzahlen für Messungen

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Als Unterschied von zwei Zahlen bezeichnen wir den (positiven) Abstand der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden, unabhängig vom Vorzeichen der Differenz der beiden Zahlen. Definition ( Schriftliche Subtraktion ) Subtraktionsverfahren werden unterschieden nach 2 Arten der Berechnung der Differenz: 1) Abziehen bzw. Wegnehmen 2) Ergänzen bzw. Hinzufügen Drei Arten der Durchführung des Übertrags: - Entbündeln bzw. Borgen; - gleichsinniges Verändern bzw. Erweitern; - Auffüllen des Subtrahenden zum Minuend Definition ( Schriftliche Multiplikation ) Stufen:! 1. EinziffrigeMultiplikatoren! 2. Multiplikationmit10er-Potenzen! 3. Multiplikation mit Vielfachen von 10er-Potenzen 4. Mehrziffrige Multiplikatoren Definition (Schriftliche Division ) Folgende Schritte werden (ggf.) mehrmals durchlaufen: 1. Teildividend bestimmen 2. Überschlagmäßiges Dividieren („großes 1x1“) 3. Schriftliches Multiplizieren 4. Schriftliches Subtrahieren 1  von 29

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Definition ( Teiler, Vielfache )! Die natürliche Zahlen a heißt genau dann Teiler der natürlichen Zahl b, wenn (mindestens) eine natürliche Zahl n existiert mit n⋅a=b. Dann heißt gleichzeitig b Vielfaches von a. Ist n ≠1, so heißt a echter Teiler von b bzw. b echtes Vielfaches von a. Schreib- und Sprechweise: a∣b bzw. a∤b ( a teilt b ) Definition 4.2 (Aussage)! Ein sprachliches Gebilde, das seinem Inhalt nach entweder wahr oder falsch ist, nennen wir eine Aussage. Definition 4.3 (Negation)! ¬p ist genau dann falsch, wenn p wahr ist, und genau dann wahr, wenn p falsch ist. Symbol ¬p, gelesen non p oder nicht p Definition 4.4 (Konjunktion)! Die Konjunktion p∧q zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind. > „und“ / A schn.B Definition 4.5 (Disjunktion)! Die Disjunktion p∨q zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn sowohl p als auch q falsch sind. > „oder“ / A U(vereinigt) B ; kein Entweder-Oder Definition ( Kontravalenz = ausschließendes Oder) Die Kontravalenz zweier Aussagen p und q ist genau dann wahr, wenn p und q verschiedene Wahrheitswerte haben. Sie kann durch die Verknüpfung (p∨q)∧¬(p∧q) beschrieben werden. Definition ( Teilbarkeitsregel für 4) ! Für alle natürlichen Zahlen gilt:! Eine natürliche Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden Endziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist, sonst nicht. Definition (Primzahl)! Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei (natürliche) Teiler hat. 2  von 29

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Definition (Quersumme)! Für alle natürlichen Zahlen gilt: Die Summe der Ziffern in der g-adischen Darstellung einer Zahl x nennt man die Quersumme (bzgl. der Basis g) von x. Bezeichnung: Q (x) (g )

Definition 5.1 (Subjunktion)! Die Subjunktion p → q ist genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. Bezeichnungen: ! Bezogen auf die Subjunktion p → q nennen wir q → p das Konverse (die Umkehrung) ¬p → ¬q das Konträre ¬q → ¬p das Kontraponierte Definition 5.2 (Bisubjunktion)! Wahrheitswerte haben. Definition 5.3 (Aussageformen)! Jede Variable p, q, r, ... mit den beiden möglichen Wahrheitswerten w und f ist eine Aussageform (auch: aussagenlogische Aussage oder Variable). Wenn A und B Aussageformen sind, dann auch ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A→B,

Definition 5.4 (Logisches Gesetz, logischer Widerspruch) Eine Aussageform heißt logisch wahr oder tautologisch, wenn sie bei jeder Belegung der Variablen mit Wahrheitswerten stets in eine wahre Aussage übergeht. Eine solche Aussage heißt ein logisches Gesetz oder eine Tautologie. ! Eine Aussageform heißt logisch falsch oder kontradiktorisch, wenn sie bei jeder Belegung der Variablen mit Wahrheitswerten stets in eine falsche Aussage übergeht. Eine solche Aussage heißt ein logischer Widerspruch oder eine Kontradiktion. !

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Definition 5.5 (Logische Implikation, logische Äquivalenz) Sind A und B Aussageformen, so wird jedes logische Gesetz der Form A→B logische Äquivalenz bezeichnet.

Sprechweisen: A impliziert B; aus A folgt (logisch) B; wenn A gilt, dann gilt B; A ist äquivalent zu B; A gilt genau dann, wenn B gilt.

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Definition (Teilermenge, Vielfachenmenge) Sei n eine natürliche Zahl. Dann heißt die Menge sämtlicher Teiler von n die Teilermenge von n, kurz: T(n), sowie die Menge sämtlicher Vielfache von n die Vielfachenmenge, kurz: V(n) T(n)={x∊N ∣ x∣n}, z. B. T(45)={1, 3, 5, 9, 15, 45} Teiler von n treten stets paarweise auf, nämlich n = t · t'. Wir bezeichen t und t' als zueinander komplementäre Teiler, z. B. sind 5 und 9, 3 und 15 oder 1 und 45 zueinander komplementär. Die Anordnung der Teiler von n in einer Tabelle, in der wir systematisch Teiler und zugehörigen komplementären Teiler nebeneinanderschreiben, heißt Teilertabelle von n. Definition (gemeinsame Teiler/Vielfache, ggT und kgV) Seien a und b natürliche Zahlen. Jede Zahl, die a und b teilt, heißt gemeinsamer Teiler von a und b. Jede Zahl, die von a und b geteilt wird, heißt gemeinsames Vielfaches von a und b. Das Maximum der Menge der gemeinsamen Teiler von a und b heißt der größte gemeinsame Teiler von a und b, kurz: ggT(a, b). Das Minimum der Menge der gemeinsamen Vielfachen von a und b heißt das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, kurz: kgV(a, b). Definition (Menge) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Objekten, ihren Elementen. Dabei soll von jedem Objekt (eindeutig) festgelegt sein, ob es Element der Menge ist oder nicht. Die leere Menge ist eine Menge, die keine Elemente enthält.

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Definition 6.1 (Durchschnitt)! Unter dem Durchschnitt oder der Schnittmenge zweier Mengen A und B, kurz: A∩B, versteht man die Menge aller Elemente, die zu der Menge A und zu der Menge B gehören, also: A∩B={xεX∣x∈A∧x∈B} Definition (Disjunkte Mengen)! Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihre Schnitt- menge leer ist. Definition 6.2 (Teilmenge)! Eine Menge A nennen wir Teilmenge einer Menge B, kurz: A ⊆ B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist, d. h.: Bemerkung: Jede Menge ist also Teilmenge von sich selbst. Wollen wir diesen Fall ausschließen, so sprechen wir davon, dass A eine echte Teilmenge von B ist. kurz: A ⊂ B.

Definition 6.3 (Gleichheit von Mengen)! Zwei Mengen A und B nennt man genau dann gleich, kurz: A=B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und wenn jedes Element von B auch

Definition 6.4 (Vereinigung)! Unter der Vereinigung oder der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B, kurz: A∪B, versteht man die Menge aller Elemente, die zu der Menge A oder zu der Menge B gehören, also: A ∪ B= {x ε X∣ x ∈ A ∨x ∈ B} Definition 6.5 (Differenzmenge)! Unter der Differenzmenge zweier Mengen A und B, kurz: A∖ B, versteht man die Menge aller Elemente, die zu der Menge A und nicht zu der Menge B gehören, also: A∖B={ x ε X ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B} Mengenoperationen

C. Vereinigung > A∪B={xεX∣x∈A∨x∈B} D. Durchschnitt > A∩B={xεX∣x∈A∧x∈B} E. Differenz > A∖B= {x ε X ∣ x ∈ A∧ x ∉ B} 5  von 29

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Definition ( Geordnetes Paar, auch Tupel oder 2-Tupel) Die Zusammenfassung zweier Zahlen a und b, geschrieben (a, b), wobei zwei geordnete Paare (a, b) und (c, d) genau dann gleich sind, wenn a=c und

Definition 7.1 (Kreuzprodukt) ! Die Menge aller geordneten Paare, die wir aus der Menge! A= {3, 6, 9} bilden können, bezeichnen wir als das Kreuzprodukt (bzw. kartesische Produkt) von A und schreiben hierfür A × A.! Es gilt: A × A={3, 6, 9} × {3, 6, 9} = {(3,3), (3,6), (3,9), (6,3), (6,6,), (6,9), (9,3), (9,6), (9,9)} Defniton 7.2 ( Relation in einer Menge A) Unter einer Relation R in einer Menge A verstehten wir eine nichtleere Teilmenge des Kreuzproduktes A x A. Anders formuliert: R ist Relation in der Menge A genau dann wenn gilt R ⊆ A x A und R ungleich { } Defniton 7.3 (Eigenschaften Relation) Eine Relation R in Menge A heißt genau dann 1. transitiv wenn für alle a,b,c ∈ A gilt : Aus aRb und bRc folgt aRc 2. reflexiv wenn für alle a ∈ A gilt aRa 3. identitiv (oder antisymm.) wenn für alle a,b ∈ A gilt: Aus aRb und bRa folgt a=b 4. symmetr. wenn für lle a,b ∈ A gilt: Aus aRb folgt bRa 5. irreflexiv wenn für alle a ∈ A Gilt ¬ (aRa). Definition 7.4* ((identitive) Ordnungs R., Ä.R., strenge Ordnungs R.)! Wir nennen eine Relation R in einer Menge A genau dann eine 1. (identitive) Ordnungsrelation, wenn Relation transitiv, reflexiv und identitiv (antisymmetrisch) ist, 2. Äquivalenzrelation, wenn Relation transitiv, reflexiv + symmetrisch ist, 3. Strenge Ordnungsrelation, wenn Relation transitiv, irreflexiv + identitiv ist.

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Definition 7.5 ( Klasseneinteilung ) Die Zerlegung einer Menge A in Teilmengen heißt genau dann eine Klasseneinteilung von A, wenn gilt: 1. keine TM ist leer 2. Je zwei TM sind disjunkt 3. die Vereinigung alle TM ergibt A Definition 7.6 ( Äquivalenzklassen) Sei R eine Ä.Relation in Menge A, a eine bel. Element von A. Die Menge aller Elemente von A , welche zu a in Relation R stehen , nennen wir Ä.Klasse von a ( geschr. á) . Also: á := { x | x € A ∧ x Ra } Jedes Element aus á heißt äquivalent. Definition 7.7 ( Relation von Menge A nach B ) Unter einer Relation R von der Menge A nach der Menge B verstehen wir eine nichtleere TM des Kreuzproduktes A x B. Anderes formuliert: R ist eine Relation von der Menge A nach der Menge B genau dann , wenn gilt R ⊆ A x B und R nicht { } (leere Menge) Definition 7.8 (Funktion/Abbildung – statischer Ansatz) Unter einer Funktion oder Abbildung von der Menge A mit Werten in der Menge B verstehen wir eine nichtleere Teilmenge F⊆A×B, für die gilt: Zu jedem a∈A gibt es genau ein geordnetes Paar (a, b)∈F. Definition 7.9 (Funktion/Abbildung – dynamischer Ansatz) Wird jedem Element von A genau ein Element von B zuge- ordnet, so nennen wir diese Zuordnung eine Funktion f mit der Definitionsmenge (bzw. dem Definitionsbereich) A und der Zielmenge B oder auch eine Abbildung f von der Menge A in die Menge B (kürzer: von A in/nach B). Man schreibt f : A → B, a ⟼ f(a) für a∈A.

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Eigenschaften von Funktionen Definition ( Injektiv = eineindeutig/linkseindeutig, umkehrbar eindeutig) Jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal zugeordnet. Zu jedem a∈A gibt es genau ein geordnetes Paar (a, b)∈F bzw. jedem Element von A wird genau ein Element von B zugeordnet. Definition (Surjektiv) Jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal zugeordnet. Zu jedem b ∈ B gibt es ein a ∈ A mit f(a)=b. Definition 7.10 ( Injekt. Fkt.) Eine Funktion f : A —> B heißt genau dann injektiv wenn im Pfeildiagramm dieser Funktion bei jedem Element von B höchstens ein Pfeil ankommt. Definition 7.11 ( Injekt. Fkt.) Eine Funktion f : A —> B heißt injektiv wenn für alle a, b € A gilt : Aus f (a) = f (b) folgt a=b. Definition 7.12 ( surjekt. Fkt.) Eine Funktion f: A—> B heißt genau dann surjektiv wenn im Pfeildiagramm dieser Funktion bei jedem Element von B mindestens ein Pfeil ankommt. Bemerkung: Durch Einschränkung der Zielmenge kann man jede Funktion surjektiv machen. Definition 7.13 ( Surjekt. Fkt.) Eine Funktion f: A —> B heißt genau dann sirjektiv wenn zu jedem b € B mindestens ein a € A existiert mit f(a) = b. Definition 7.14 ( Bijekt. Fkt) Eine Funktion f: A—> B heißt genau dann bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist. Definition 7.15 ( Verkettung von Fkt.) Gegeben seien die Funktionen f: A—> B und g: B —> C. dann ist durch x |— > g (f(x)) eine Funktion h: A—> C gegeben mit h(x) = g(f(x)). Die Funktion h nennen wir Verkettung von f und g , schreiben hierfür h = f ° g und lesen dies „zuerst f, dann g“. Also h(x) = (f ° g) (x) = g(f(x))

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Definition 7.16 (Umkehrrelation) Ist R eine Relation von Menge A nach Menge B so nenen wir die Relation R` = { (b,a) | (a,b) € R} die Umkehrrelation der Relation R. Erinnerung: bijektive Fkt. Definition 8.1 (gleichmächtig) Eine Menge A heißt glm zu einer Menge B ( kurz : A glm B) wenn es (mind.) eine bijektive Abb. von A nach B gibt. Definition (unendliche Menge):! Eine Menge heißt genau dann unendlich, wenn sie zu einer echten Teilmenge von sich selbst gleichmächtig ist. Definition (endliche Menge)! Eine Menge heißt genau dann endlich, wenn sie nicht unendlich ist. Definition 8.1 / 8.2 + 8.3 (gleichmächtig) > extensional: Kardinalzahl einer Menge M ( kurz : card M) ist die Ä.klasse aller zu M glm Mengen > intensional: Kardinalzahl von Menge M ist die gem. Eigenschaftt aller zu M glm Mengen Definition (natürliche Zahlen) Die Kardinalzahlen aller endlichen Mengen bezeichnen wir als natürliche Zahlen. 0:=card{} 1:=card{a} 2:=card{a,b} Definiton 8.4 ( Addition) Die Summe a + b zweier nat. Zahlen a und b erhalten wir folgendermaßen: Wir wählen einen Repr. A von a und einen dazu disj.Repräsentanten B von b. Die Kardinalzahl A U B also card ( A U B) ist dann die Summer a + b. Kurz: a+b:=card{A∪B}, mit a=cardA,b=cardB,A∩B={}. Bezeichnungen: a, b Summanden Definiton 8.5 ( Kleinerrelation, Ans.2) Für a, b € N0 gilt: 1. a < b genau dann wenn gilt: Es existiert eine n € N mit a + n = b 2. a...