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Mathematische Sätze...

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Satz X (Fundamentalsatz der Arithmetik)! Jede natürliche Zahl ist vollständig in Primfaktoren zerlegbar.! Die Primfaktorzerlegung jeder natürlichen Zahl größer 1 ist eindeutig bis auf d Reihenfolge der Primfaktoren.

Begründungsniveau I > auf ikonischer/enaktiver Repräsentationsebene z.B. illustrierende(s) Beispie UND Verallgemeinerung Begründungsniveau II > auf der Zahlenebene z.B. illustrierende(s) Beispiel(e) UND Verallgemeineru > Beispielsgebundene Beweisstrategien (Grundschule) Begründungsniveau III mit Variablen Formale Beweisstrategie

Rückblick: Teilbarkeitsregeln " Endstellenregeln (z. B. 2, 4, 5, 8, 10) " Quersummenregeln (für 3, 9) " „Prüfverfahren“ (z. B. 7) " Primfaktorzerlegung (z. B. 6)

Beweisen von Sätzen und aussagenlogische Verknüpfungen II Logische Grundstrukturen von (math.) Behauptungen Die Folgerung bzw. „Wenn, dann“-Verknüpfung: - Aus „Voraussetzung“ folgt „Folgerung“ - Wenn gilt „Voraussetzung“, dann gilt „Folgerung“ - V⇒F Die Gleichwertigkeit bzw „Genau dann, wenn“- Verknüpfung - Aus „Aussage A“ folgt „Aussage B“ und andersrum - „Aussage A“ gilt genau dann, wenn „Aussage B“ gilt.

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Gemeine Brüche: 3⁄4 bzw. drei Viertel Dezimalbrüche: 0,75 Verhältnisse bzw. Quotienten: 3:4 Prozentwerte (Promillewerte): 75 %, 750 ‰

Mengenoperationen Teilmenge A⊆B󲍼aus a∈A,a beliebig, folgta∈B. Gleichheit von Mengen A=B 󲍼 A⊆BundB⊆A Vereinigung A∪B={xεX∣x∈A∨x∈B} Durchschnitt A∩B={xεX∣x∈A∧x∈B} Differenz A∖B={xεX∣x∈A∧x∉B} Relationendarstellung

1. a|b > Teilbarkeitsrelation 2. b|a > Vielfachenrelation 3. a < b > Kleinerrelation 3 a. a ≤ b > Kleinergleichrelation 4. a > b > Größererrelation 4 a. a ≥ b > Größergleichrelation 5. a≡b(n) > Restgleichheitsrelation 5 a. a=b > Gleichheitsrelation! 6. a + b < 8 " 7. a + b > 8 Besondere Linien Passante, Tangente, Sekante Sehne, Mittelsehne Mittelsenkrechte (Mittellot) Winkelhalbierende Seitenhalbierende, Höhe Mittellinie

→ Kreis → Strecke → Winkel → Dreieck → Viereck

Diagonale

→ Vieleck

ABSCHNITT I Satz 0 ( Gaußsche Summenformel) Die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt n (n+1) 2 d. h. 1+2+3+4+󸰈+(n−1)+n = n⋅(n+1) 2 0 ∉ N und {0}∪ N = N 0

Satz 1.1 (Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen)

Jedes echte Vielfache von 3 lässt sich als Summe von drei aufeinanderfolgen natürlichen Zahlen darstellen. Satz 1.1 (umformuliert)

Wenn eine natürliche Zahl ein echtes Vielfaches von 3 ist, dann lässt sie sich Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen. Satz 1.2

Jede Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen lässt sich darste als echtes Vielfaches von 3. Satz 1.2 (umformuliert) Wenn eine natürliche Zahl sich als Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen lässt, dann ist sie ein echtes Vielfaches von 3 . Satz 1.3 (ersetzt Satz 1.1 und 1.2)

Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darstellen, wenn sie ein echtes Vie von 3 ist.

Satz 1.5. ( Spiegelzahlen/Vert.Zahlen) Gegeben seine bel. zweistelligen Spiegelzahlen ( Keine Ziffer Null, beide Ziffern versch.) 1. 2.

Der Unterschied zw. zwei SpZ ist stets ein Vielfaches von 9. Der Unterschied zw. Zehner/Einerziffer gibt uns an um welches Viel von 9 sich die beiden SpZ genau untersch.

Satz 1.6 ( Sp.Zahlen ) Gegeben seine bel. zweistelligen Spiegelzahlen. Dann gilt: 1. 2.

Ihr Untersch. ist stets ein Vielfaches von 99. Das konkr. Vielfache von 99 ergibt sich jew. aus dem Unterscied vo Hundert und Einerziffern

Satz 1.7

Gegebn seien drei Ziffern , die alle versch. voneinadner sind und von denen Null ist, Bilden wir hieraus die größte und die kleinste Zahl, so gilt für die Diff. 1. 2.

Die Zehnerziffer ist stets 9. Die Summe aus Einer-Hundertziffer ist stets 9.

Satz 1.8 ( ANNA-Zahlen)

Für alle ANNA-Zahlen (keine Ziffer Null, verschie- dene Ziffern) gilt:

1. Der Unterschied zwischen einem Paar von ANNA-Zahlen ist stets ein Vie von 891. 2. Der Unterschied zwischen den verschiedenen Ziffern der ANNA-Zahl gibt jeweils genau an, um welches Vielfache von 891 es sich handelt.

Satz 2 ( Zahldarstellung in Stellenwertsystemen ) Jede natürliche Zahl x lässt sich in einem Stellenwertsystem mit Basis g auf eindeutige Weise darstellen als: n n−1 i

x = a ⋅g +a ⋅g + … + a ⋅g+a = ∑ ( n-te Summe mit i = 0) a ⋅g n n−1 1 0 i mit den Ziffern a i ∈ {0,..., g−1}. Schreibt man nur die Ziffern hintereinander, erhält man die so genannte g-ad Darstellung der Zahl: a(n unten) a ( n-a unten) a (1 unten) a (0 unten) Satz 3 ( Division mit Rest )

Zu je zwei natürlichen Zahlen a und b gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q u aus N mit: 0 a = q ⋅ b + r , und 0 ⩽ r < b . (BÜNDELN) Satz 4 ( Rechengesetze ) Für alle (natürlichen) Zahlen a, b und c gilt: a+b=b+a a⋅b = b⋅a > Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (a⋅b)⋅c=a+(b+c)=a+b+c > Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c > Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Satz 4.1 (Summenregel)

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Aus a ∣ b und a ∣ c folgt a ∣ (b+c).

Satz 4.2 Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Aus a∣b und a∤ (ungleich) c folgt a∤(ungleich) (b+c). Satz 4.3 (Produktregel) Für alle natürlichen Zahlen a, b, n gilt: Aus a∣b folgt a ∣( n⋅b ) . Satz 4.4 (Transitivität der Teilbarkeitsrelation) Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Aus a∣b und b ∣c folgt a∣c Satz 6 (Differenzregel) Für alle natürlichen Zahlen a, b, c mit b > c gilt: Aus a∣b und a∣c folgt a∣(b−c). Satz 5.1 (Teilbarkeitsregel für 4/ Endstellenregeln) !Für alle natürlichen Zahlen gilt:!

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden Endziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Satz 5.2 (Teilbarkeitsregel für 2, 5 und 10 Endstellenregeln)

Für alle natürlichen Zahlen gilt:! Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 (bzw. 5) teilbar, wenn die Endziff oder durch 2 (bzw. 5) teilbar ist. Sie ist genau dann durch 10 teilbar, wenn die Endziffer 0 ist. Satz 5.3 (Teilbarkeitsregel für 8/ Endstellenregeln)

Für alle natürlichen Zahlen gilt:! Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die aus den drei let Endziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.

Satz 5.4 (Teilbarkeitsregel für 9 / Quersummenregeln)

Für alle natürlichen Zahlen gilt:! Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme du teilbar ist. Satz 5.5 (Teilbarkeitsregel für 3 / Quersummenregeln)

Für alle natürlichen Zahlen gilt: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme du teilbar ist. Satz 5.6 (Teilbarkeitsregel für 6)

Für alle natürlichen Zahlen gilt: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 te ist. Satz 5.8 (Aussagenlogische Gesetze/ Metaebene) 1. Kommunikativgesetze p ^ q q ^ p p v q q v p p < > q q < > p 2. Assoziativgesetze ( p v q) v r p v ( q v r ) ( p ^ q ) ^ r p ^ ( q ^ r ) ( p < > ) < > r p < > ( q < > r ) 3. Distrubutivgesetz p v ( q ^ r ) ( p v q ) ^ ( p v r ) p ^ ( q v r ) ( p ^ q ) v ( p ^ r )

Satz 5.8 (Aussagenlogische Gesetze) 4. Absorptionsgesetze p v ( p ^ q ) p p ^ ( p v q ) p 5. Gesetze von Morgan `-( p ^ q ) `-p v `-q `-( p v q ) `-p ^ `-q Beweis: Wahrheitstafeln !

Satz 5.9 ( Gesetze über die Subjunktion und Bisubjunktion) 1. Kontraposition p→q 󲍼 ¬q→¬p," (q→p 󲍼 ¬p→¬q), 2. Moduls ponens p∧(p→q) 󲍻 q, 3. Moduls tollens (p→q)∧¬q 󲍻 ¬p, ! 4. Moduls Barbara (p→q)∧(q→r) 󲍻 (p→r),! 5. (p󲎘q) 󲍼 (p→q) ∧(q→p) (Erinnerung) Subjunktion p → q • q → p das Konverse (die Umkehrung) • ¬p → ¬q das Konträre • ¬q → ¬p das Kontraponierte Satz 6 ( perfekte Zahl / ind. Beweis) Wenn eine Zahl perfekt ist, dann ist sie keine Primzahl.

Satz 6.1 ( Teiler und Vielfache)

Sei a eine natürliche Zahl. Dann gilt: Wenn t ein Teiler in der linken Spalte der Teilertabelle von a ist, dann gilt t ≤ √ Beweis: durch Widerspruch

Satz 6.2 ( Teilmengen) Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: T(a)⊆T(b) 󲍼 a ∣ b Satz 6.3 ( Gesetze der Mengenalgebra ) 1. Kommunikativgesetze A (schneidet) B = B ( schneidet ) A A u (vereinigt ) B = B u A 2. Assoziativgesetze ( A schneidet B ) schneidet C = A schneidet ( B schn. C) (Au B)u C=Au (Bu C) 3. Distributivgesetzte A schn. ( B u C ) = ( A schn. B ) u ( A schn. C ) A schn. ( B schn. C ) = ( A u. B ) schn. ( A u C ) 4. Absorbtionsgesetzte A schn. ( A u B) = A A u ( A schn. B ) = A Satz 6.4 ( Zum Beweis des Euklidischen Algorithmus ) Seien a, b ∊N mit a > b. Die Division mit Rest von a durch b ergebe die eindeutig bestimmten Zahlen a=q⋅ b + r, und 0 ⩽ r < b. Dann gilt: T(a)∩T(b) = T(b)∩T(r).

Satz 6.5 ( Beweis des Euklidischen Algorithmus ) Seien a,b∊N mit a > b und a = q⋅ b + r , und 0 ⩽ r < b mit q und r ausN . 0 Dann gilt: ggT(a, b) = ggT(a-q⋅b, b). > ( ggT ( b,T) Satz 6.6 ( Beweis des Euklidischen Algorithmus )

Seien a, b ∊N mit a > b. Durch Division(en) mit Rest erhalten wir stets eine – endlich vielen Schritten – mit dem erstmalig auftretenden Rest 0 abbrechend von Gleichungen: a = q ⋅b + r 0 ⩽ r < b, 1 1 1 b = q ⋅r + r 0 ⩽ r < r , 2 1 2 2 1 ⋮

⋮

r =q ⋅r +0. n−1 n+1 n und es gilt: (1) T(a)∩T(b)=T(r ) und (2) ggT(a, b) = r . n n !!!!! ANMERKUNG

T(a)∩T(b)=T(ggT(a,b)) für alle natürlichen Zahlen a, b. 1. Der ggT(a, b) ist stets darstellbar als sogenannte Linearkombination von d. h. Es gibt stets ganze Zahlen x, y, so dass gilt ggT(a, b) = x

⋅ a + y⋅ b .

2. Sind a und b disjunkt, d. h. gilt ggT(a, b) = 1, dann lässt sich sogar jede g Zahl als Linearkombination von a und b darstellen. Satz 7.1 ( Äquvalenzrelationen/ klasseneinteilung/ Ä.Klasse )

Ist R eine Ä.Relation in einer Menge A, so erzeugt R eine Klasseneinteilung i z.B. Längen : ist genauso lang wie… / Gewichte : ist genauso schwer wie….

Satz 7.2. ( Verkettung /Komp. von Fkt) Sind die Funktionen f : A —> B ung g : B —> C 1. beide injektiv , dann ist auch f ° g injektiv 2. beide surjektiv, dann ist auch f ° g surjektiv 3. beide bijektiv, dann ist auch f ° g bijektiv. Satz 7.3. ( Umkehrung Relationen/Fkt.)

Zu einer Funktion f gibt es genau dann eine Umkehrfunktion f ` wenn f bijektiv Die Umkehrfunktion f ` ist ebenfalls bijektiv. Die Umkehrfunktion ( f ` ) von f ` i weider die Funktion f , d.h. es gilt ( f ` ) = f. Satz 8.1 ( gleichmächtig ) Die Relation „ ist gleichm. zu ….“ ist eine Äquivalenzrelation in M d.h. für alle Mengen A, B, C € (Element) M gilt : 1. A glm A ( reflexiv) 2. Aus A glm B folgt B glm A (symmetrisch) 3. Aus A glm B und B glm C folgt A glm C ( transitiv) Satz 8.2 ( Rechengesetze Addition > Kommutativ G. ) Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt : a + b = b + a Satz 8.3 ( Rechengesetze Subtraktion ) Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt : ( a - b ) - c = a - ( b + c ) > Gesetz von der Konstanz der Differenz Für alle a, b, c ∈N gilt: a−b=(a−c)−(b−c). Satz 8.4. ( RG Multiplikation > Kommutativ G. ) Für alle natürlichen Zahlen a , b gilt : a x b = b x a

Satz 8.5 ( RG Multiplikation > Distributiv G. ) Für alle natürlichen Zahlen a , b gilt : a x ( b + c ) = a x b + a x c

Satz 8.6 (Multiplikat. /Kreutprodukt KG) Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a x b = b x a Satz 8.7 (Multiplikat. /Kreutprodukt DG) Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a x ( b + c ) = a x b + a x c Satz 8.8 ( Umkehroperation Division ) Die Gleichungen x mal b = a und b mal x = a haben für a, b € N in N jeweils stets höchstens eine Lösung. Satz 8.9 ( Umkehroperation Division )

Die Gleichungen x mal b = a und b mal x = a mit jeweils festen a , b € N besi N - sofern sie lösbar sind - stets dieselbe Lösung. Satz 8.10 ( Umkehroperation Multiplikation ) Für alle a, b , k € N gilt : 1. a : b = k genau dann, wenn k x b = a 2. a : b = K genau dann, wenn a : K = b Satz 8.11 ( Transitivität der Kleinerrelation ) Die Kleinerrelation ist transitiv. Satz 8.12 ( Monotoniegesetz der Addition ) Für a , b , c € N (0) gilt stets : Aus a < b folgt a + c < b + c Satz 8.13 ( Monotoniegesetz der Multiplikation )

Für a , b € N (0) gilt stets : Aus a < b folgt a x c < b x c

ABSCHNITT II Satz 10.1 ( Permutationen mit Wiederholung )

Für alle natürlichen Zahlen n und k gilt: Die Anzahl der k-stelligen Permutationen mit Wiederholung einer n-elementig Menge beträgt genau : n hoch k Satz 10.2 ( Permutationen ohne Wiederholung )

Für alle natürlichen Zahlen n und k mit k ≤ n gilt: Die Anzahl der k-stelligen Permutationen ohne Wiederholung einer n- elemen Menge beträgt genau: n⋅( n − 1 )⋅...⋅( n − k + 1 ) = n / ( n - k ) Satz 10.3 ( Kombinationen ohne Wiederholung )

Für alle natürlichen Zahlen n und k mit k ≤ n gilt: Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, d.h Anzahl der k-stelligen Kombinationen ohne Wiederholung einer n - elementig Menge, beträgt genau: n/(n-k)xk n/ k=n/(n-k)xk Satz ( Exkurs: Binomialkoeffizienten ) Der Binomialkoeffizient n über k beschreibt die Anzahl der k- elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (also k ≤ n). Es gilt : !( n/0 ) + ( n/1) + …….+ ( n/n ) = 2 hoch n ( n/k ) = ( n - 1/ k -1) +( n - 1 / k ) (k+/k)=(k+a/l) Satz ( Anwendung Komb. ohne Wiederholung )

Es gibt ( n + m / n ) kürzeste Wege um in einem Koordinatensystem von (0, 0 (n, m) zu gelangen.

Beweisidee: Codierung der Wege durch Ziffernfolgen aus n Nullen und m Einsen.

Satz 10.4 Kombinationen mit Wiederholung

Für alle natürlichen Zahlen n und k gilt: Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen mit Zurück- legen auszuwählen, d.h. die Anzahl der k-stelligen Kombination mit Wiederholung e elementigen Menge, beträgt genau: (n+k-1/k)=(n+k-1/(n-1)xk Beweisidee: n (ununterscheidbare) Kugeln auf k Schubladen verteilen, kodieren durch Ziffernreihe (der Länge n + k −1) aus (k−1) Einsen und n Nullen.

Satz 11.1 ( Brüche )

Die Relation „ ~ “ ist in N x N reflexif, symmetrisch und trassitiv, d.h. für alle B a/c , c/d und e/f gilt : 1. a/ b ~ a/b (reflexiv) 2. Aus a/b ~ c/d folgt c/d ~ a/b (symmetrisch) 3. Aus a/b ~ c/d und c/d ~ e/f folgt a/b ~ e/f ( transitiv) Satz 2 ( Erweitern und Kürzen ) ∀ a, b, k € N : a / b = a⋅k / b⋅k Satz 3 ( Erw. und Kürzen ) ∀ a , b∈N und k∈T (a)∩T (b)gilt : a / b = a : k / b : k Satz 4 ( Grundform/ Kernbruch ) ∀ a , b ∈ N mit ggT (a ,b)=1 gilt : a / b = { a x k / b x k | k ∈ N } Satz 5 ( Vergleichen, Kleinerrelation für Bruchzahlen )

∀ a, b , c , d ∈ N: a/ b < c / d a x d < b x c BZW. k / n < k / m n > m

( QUASIKARDINAL)

Satz 6 ( Add. /Subtraktion Bruchzahlen ) a) ∀ n , m ∈ N : 1 / n + 1 / m = m + n / n x m b) ∀ n , m ∈ N mit m ≥ n : 1 / n - 1 / m = m - n / n x m Satz 7 ( Add./ Subtr. Bruchzahlen ) a) ∀ a, b, c , d ∈ N : a / b + c / d = a x d + b x c / b x d b) ∀ a, b, c , d ∈ N mit a x d ≥ b x c : a / b - c / d = a x d - b x c / b x d Satz 8 ( Add./ Subtr. Bruchzahlen )

Für die Addition von Bruchzahlen gelten das Kommutativ- und Assoziativgese Satz 9 ( Bruchzahlen )

Die Bruchzahlen liegen dicht auf dem Zahlenstrahl, man findet also stets zwis zwei Brüchen einen weiteren. Satz 10 ( Division in N u. Bruchz.) ∀n,m∈N: n:m=n/m Satz 11 ( Multiplikation von Bruchzahlen ) Für die Multiplikation von Bruchzahlen gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Satz 12 ( Zahldarstellung im Dezimalsystem ) Jede rationale Zahl x lässt sich im Dezimalsystem (auf fast eindeutige Weise darstellen als: −1 −2 n x=a ⋅10 +…+ a ⋅10 + a + a ⋅10 1 0 −1 n

+a

⋅10 −2

+ ... mit den Ziffern a ∈ {0,.. i

Schreibt man nur die Ziffern hintereinander, erhält man die so genannte dezim Darstellung der Bruchzahl (Dezimalbruch(-entwicklung)) : a a a ,a a n n−1...a1 0 −1 −2 ......