Descripción de una trayectoria analítica (circunferencia) en el plano XY mediante el empleo del modelo cinemático y diferencial del Robot manipulador SCARA de 3 GDL (DRAWBOT) PDF

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RobóticaPractica 7͞Descripción de una trayectoria analítica (circunferencia) en el plano XYmediante el empleo del modelo cinemático y diferencial del RobotŵaŶipulador “CARA de 3 GDL ;DRAWBOTͿ.͟INGENIERÍA MECATRÓNICAALUMNO:CASTILLO SANCHEZ GUSTAVODOMÍNGUEZ MALACARA DIEGO ALEJANDROESCAMILLA LOSOYO JOS...

Description

Robótica Practica 7 Descripción de una trayectoria analítica (circunferencia) en el plano XY mediante el empleo del modelo cinemático y diferencial del Robot manipulador SCARA de 3 GDL (DRAWBOT).”

INGENIERÍA MECATRÓNICA ALUMNO: CASTILLO SANCHEZ GUSTAVO DOMÍNGUEZ MALACARA DIEGO ALEJANDRO ESCAMILLA LOSOYO JOSÉ DE JESÚS MONTOYA ATILANO DIEGO RENÉ ROMERO CALVO CARLOS ISSAC

GRUPO: 12:15 pm – 1:55 pm

PROFESOR: ING. CASILLAS ARAIZA MIGUEL ANGEL FECHA DE ELABORACIÓN: 28/11/2020 FECHA DE ENTREGA: 04/12/2020

PERIODO: AGOSTO - DICIEMBRE 2020 CALIFICACIÓN: _____________

8138

Contenido Objetivos ............................................................................................................................................. 4 Objetivo general .............................................................................................................................. 4 Objetivos específicos ....................................................................................................................... 4 Introducción ........................................................................................................................................ 4 Marco teórico ...................................................................................................................................... 6 Simulación numérica ......................................................................................................................... 18 Desarrollo .......................................................................................................................................... 23 1. Reproduzca la simulación numérica y obtenga las gráficas que se indican en el Marco Teórico. Simulación numérica usando Excel, reporte sus gráficas y archivos de Excel. ............................. 23 2. Repita las gráficas que se muestran en el Marco Teórico. Simulación numérica usando Excel, con los siguientes parámetros del Robot DRAWBOT: ................................................................... 29 3. Repita las gráficas que se muestran en el Marco Teórico. Simulación numérica usando Excel, con los siguientes parámetros del Robot DRAWBOT: ................................................................... 33

4. Describa la relación analítica entre la posición en 𝒁 del 𝑻𝑪𝑷, esto es, 𝒁𝑻𝑪𝑷 y la variable articular 𝒒𝟑. .................................................................................................................................. 38

5. Describa la relación analítica entre la velocidad en 𝒁 del 𝑻𝑪𝑷, esto es, 𝒁𝑻𝑪𝑷 y la variable articular 𝒒𝟑. .................................................................................................................................. 39 6. Compare el modelo digital desarrollado en el software NX, Solid Works, Solid Edge y/o la construcción física del robot SCARA DRAWBOT para los valores 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 y 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 contra los obtenidos por la Jacobiana (analítica) inversa reducida desarrollada en la presente práctica. ... 39

7. Valide el modelo cinemático inverso y el modelo diferencial inverso del robot manipulador SCARA 3GDL DRAWBOT por medio del empleo del cálculo de la cinemática directa y de la Jacobiana (analítica) introduciendo las posiciones y las velocidades articulare 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 y 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 respectivamente, que se calcularon a partir del modelo cinemático y diferencial inverso respectivamente; mismos que fueron obtenidos a partir de los perfiles de posición y velocidad del extremo del robot SCARA DRAWBOT, 𝑿𝑻𝑪𝑷, 𝒀𝑻𝑪𝑷 y 𝑿𝑻𝑪𝑷, 𝒀𝑻𝑪𝑷 para el trazo del 𝑻𝑪𝑷 de una circunferencia y cuya magnitud de la velocidad del 𝑻𝑪𝑷 es constante. ............................... 44

Cuestionario ...................................................................................................................................... 51

Conclusiones ..................................................................................................................................... 55 Conclusión General ....................................................................................................................... 55 Conclusiones técnicas ................................................................................................................... 55 Conclusiones personales ............................................................................................................... 56 Referencias ........................................................................................................................................ 57

2

3

Objetivos Objetivo general

Obtener el modelo analítico y numérico para el trazo en el plano 𝑋𝑌 de una circunferencia de radio R con centro en (𝑋0 , 𝑌0 ) considerando la magnitud de la velocidad del TCP constante 𝐾 durante el intervalo de tiempo del trazo (2𝑇) mediante el empleo del modelo cinemático y diferencial inversos del robot manipulador SCARA de 3 GDL DRAWBOT.

Objetivos específicos 1. Describir analíticamente la trayectoria de una circunferencia de radio R en el plano XY con centro en (𝑋0 , 𝑌0 ). 2. Determinar analíticamente las velocidades 𝑉𝑥_𝑡𝑐𝑝 y 𝑉𝑦_𝑡𝑐𝑝 que permitan mantener la magnitud de la velocidad del TCP constante (K) durante el trazo de la circunferencia. 3. Determinar analíticamente las posiciones 𝑋𝑡𝑐𝑝 , 𝑌𝑡𝑐𝑝 que desarrollen el trazo de una circunferencia de radio 𝑅 y centro (𝑋0 , 𝑌0 ) en el plano 𝑋𝑌 mientras se cumple que la magnitud de la velocidad es constante durante todo el intervalo de tiempo (2T) del trazo de ésta. 4. Empleo de la cinemática inversa y la Jacobiana (analítica) inversa reducida para calcular las variables articulares 𝑞1 , 𝑞2 y sus velocidades 𝑞󰇗1 , 𝑞󰇗 2 , respectivamente. 5. Validar los modelos cinemáticos y diferenciales inversos mediante el cálculo de cinemática directa y de Jacobiana (analítica) que permita obtener la posición del TCP (𝑋𝑡𝑐𝑝 , 𝑌𝑡𝑐𝑝 ) y la velocidad del TCP (𝑉𝑥_𝑡𝑐𝑝 y 𝑉𝑦_𝑡𝑐𝑝 ).

Introducción Un manipulador mecánico, se puede modelar como una cadena articulada en lazo abierto con unos elementos conectados en serie por una articulación de revolución o prismática movida por actuadores. El movimiento relativo en las articulaciones resulta en el movimiento de los elementos que posicionan la mano en una orientación deseada. En la mayoría de las aplicaciones de robótica, se está interesado en la descripción espacial del efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fija, para lo cual necesariamente se debe resolver el problema de la cinemática directa y la cinemática inversa. Para un manipulador determinado, la cinemática directa consiste en hallar la orientación y posición del efecto final a partir del vector de ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos del elemento. En (Denavit & Hartenberg , 1955) “se propone un método matricial para resolver en forma sistemática y generalizada este problema”. La cinemática inversa consiste en hallar el vector de ángulos de las articulaciones a partir de la orientación y posición del efector final, el cual es un problema de difícil solución debido a que incluye ecuaciones no lineales y múltiples soluciones. Menciona (Giraldo, Delgado, & Castellanos, 2006) “En la literatura este problema ha sido abordado de muchas formas planteándose diversos métodos para resolverlo”. 4

Enfatizan (Ramírez Arias & Rubiano Fonseca, 2013) “Los robots manipuladores se caracterizan por tener limitaciones de diseño relacionado con la estabilidad y la distribución de equilibrio y peso”. Como consecuencia de ello se afecta la precisión en el posicionamiento y seguimiento de las trayectorias del manipulador. Es importante destacar que generalmente el análisis de la cinemática se aborda de forma directa para así calcular la posición del punto final del robot como función de los valores articulares (ángulos) y de forma inversa para calcular el valor de las coordenadas articulares como función de la posición final; este procedimiento es importante, ya que permite posicionar el robot en un punto dentro de su volumen de trabajo.

5

Marco teórico

󰇍 Sea |𝑉 𝑇𝐶𝑃 | la magnitud del vector de la velocidad del 𝑇𝐶𝑃, para el caso del ROBOT DRAWBOT que trabaja en el plano 𝑋𝑌 consideramos el vector de velocidad del 𝑇𝐶𝑃 sólo como: 𝒱󰇍𝑇𝐶𝑃 = 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 𝒾 + 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 𝒿

Entonces

Ecuación 1

2 2 + 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 |𝑉󰇍𝑇𝐶𝑃 | = √𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

Ecuación 2

O bien

󰇍 𝑇𝐶𝑃 | Con 𝒱𝑇𝐶𝑃 = |𝑉

2 2 2 = 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 + 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 𝒱𝑇𝐶𝑃

Ecuación 3

Ecuación 4

Podemos considerar que queremos que la trayectoria recorrida se realice a una velocidad constante, esto es. 𝒱𝑇𝐶𝑃 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑘

Ecuación 5

En este caso que tenemos la función analítica de la trayectoria calculamos la longitud de arco de una dicha función, mediante la integral definida, recordando 𝑏

𝐿 = ∫ √1 + ( 𝑎

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

) 𝑑𝑥 Ecuación 6

Para la trayectoria de la práctica tenemos

Y

𝑦𝑧 = 𝑦0 + √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

Ecuación 7

𝑦𝑧 = 𝑦0 − √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

Ecuación 8

6

Con la restricción para Ecuación 7) yEcuación 8)

|𝑥 − 𝑥0 | ≤ 𝑅′

Ecuación 9

Así ara trazar la circunferencia de radio 𝑅 centrada en (𝑥0 , 𝑦0 ) empleamos (Ecuación 7) y (Ecuación 8) sujeto del dominio de dichas funciones a la desigualdad dada en (Ecuación 9) de (Ecuación 7), la razón de cambio de 𝑦𝑧 con respecto a 𝑥 es. 𝑑𝑦𝐽 𝑥 − 𝑥0 =− 2 𝑑𝑥 √𝑅 − (𝑥 − 𝑥1 )2

Ecuación 10

Sujeto al domino dado por (Ecuación 9) y excluyendo los extremos de este dónde la indetermina la función, por tanto |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑅

O bien

Ecuación 11

−𝑅 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝑅

𝑥0 − 𝑅 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝑅

Ecuación 12

𝑑𝑦𝑧 𝑥 − 𝑥0 = 2 𝑑𝑥 √𝑅 − (𝑥 − 𝑥1 )2

Ecuación 13

De (Ecuación 8), la razón de cambio de 𝑦𝑧 con respecto a 𝑥 es

Sujeto al dominio dado por (Ecuación 9) y excumenos los extremos de este donde se indetermina la función, por tanto se obtiene la desigualdad dado en (Ecuación 11) y (Ecuación 12) Calculamos la longitud de arco de 𝑦𝑧 , empleando (Ecuación 7) en (Ecuación 6) 𝐿𝑠 = ∫

𝑋0 +𝑅

𝑥0 −𝑅

√1 + (

𝑋0 +𝑅

=∫

𝑥0 −𝑅

√1 +

𝑥 − 𝑥0

√𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

2

) 𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑑𝑥 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

7

𝑋0 +𝑅

= ∫𝑥0−𝑅 √ =∫

𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑑𝑥 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

𝑋0 +𝑅

𝑥0 −𝑅

√

𝑅2 𝑑𝑥 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

Haciendo el cambio de variable 𝑢 = 𝑥 − 𝑥0 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑅

=∫ √ −𝑅

=∫

𝑅

−𝑅

𝑅2

= 𝑅∫

De tablas ∫

𝑑𝑦

√𝑎2

−

𝑅2

𝑅

−𝑅

𝑢2

𝑅2 𝑑𝑢 − 𝑢2

𝑅

− 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑢 − 𝑢2

𝑅2

𝑢 = sin−1 ( ) 𝑎

𝑎 𝑅 = 𝑅 sin−1 ( ) |−𝑅 2 𝜋 𝜋 = 𝑅[ + ] 2 2 𝐿𝑠 = 𝜋𝑅

Ecuación 14

Resultado que era de esperarse, ya que la trayectoria es una media circunferencia, por lo tanto, su longitud es la mitad del perímetro de la circunferencia. Simplemente para calcular la longitud del arco 𝑦𝑧 empleamos (Ecuación 8) en (Ecuación 6) 𝐿𝐼 = ∫

𝑋0 +𝑅

𝑥0 −𝑅

√1 + (

𝑋0 +𝑅

𝐿𝐼 = ∫

𝑥0 −𝑅

𝑥 − 𝑥0

√𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

√1 +

2

) 𝑑𝑥

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑥0 )2

𝑅2

Que como podemos comparar es igual al desarrollo previo para 𝐿𝑠 , por tanto, concluimos pues 𝐿𝐼 = 𝐿𝑠 = 𝜋𝑅

Ecuación 15

8

Que corresponde con la otra mitad del perímetro de la circunferencia de radio R el recorrido de media circunferencia y la velocidad especificada o deseada dada en (Ecuación 5), se puede determinar el tiempo 𝑇 en el que se realizara el trazo o recorrido, usando los totales para la media circunferencia superior. 𝒱𝑇𝐶𝑃 =

De (Ecuación 16) 𝑇=

𝐿𝑠 𝑇

[𝑠] 𝐿𝑠 𝜋𝑅 [𝑚𝑚] = 𝑜 𝑚𝑚 𝒱𝑇𝐶𝑃 𝒱𝑇𝐶𝑃 [ 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ] 𝑠

Simplemente para la media circunferencia inferior, 𝒱𝑇𝐶𝑃 = 𝑇=

Ecuación 16

𝐿𝑠 𝑇

[𝑠] 𝜋𝑅 [𝑚𝑚] 𝐿𝐼 = 𝑜 𝒱𝑇𝐶𝑃 𝒱𝑇𝐶𝑃 [𝑚𝑚] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑇 𝑠

Podemos definir que

𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(𝑡)

Ecuación 17

Ecuación 18

Ecuación 19

Ecuación 20

Y como podemos deducir de la regla de la cadena, en la composición de funciones [véase practica #2], para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝑠 =

De (Ecuación 10) y (Ecuación 20) 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝑠 = −

Similarmente, para 𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑇

√𝑅 2

𝑥 − 𝑥0

− (𝑥 − 𝑥1 )2

𝑑𝑦𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡

Ecuación 21

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑅 Ecuación 22

9

𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝑥 = De (Ecuación 13) y (Ecuación 20) 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝐼 =

𝑥 − 𝑥0

√𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥1 )2

𝑑𝑦𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Ecuación 23

𝒱𝑋𝑇𝐶𝑃 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑅 Ecuación 24

Podemos pensar en sobre 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 así de (Ecuación 3)

2 2 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 𝒱𝑇𝐶𝑃 = 1+ 2 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 𝒱𝑥_𝑇4

Ecuación 25

Así de la anterior, se obtiene la siguiente restricción

2 𝒱𝑇𝐶𝑃 ≥1 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

Ecuación 26

2 2 𝒱𝑇𝐶𝑃 ≥ 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

|𝒱𝑇𝐶𝑃 | ≥ |𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 | 𝒱𝑇𝐶𝑃 ≥ |𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 |

Ecuación 27

Particularmente, tenemos para la trayectoria de la circunferencia se tiene para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 Empleamos (Ecuación 25), (Ecuación 22) y (Ecuación 5) 2 𝒱𝑇𝐶𝑃

2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

= 1+

𝑘2

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

(−

= 1+

𝑘2

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑥 − 𝑥0 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 ) √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

2

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝒱2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑥_𝑇𝐶𝑃 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑅2

= 1+

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

10

𝑘2

Resolviendo para 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

2 2 2 𝑅 2−−𝑥(𝑥 𝑅 2 − (𝑥 0 ) − 𝑥0 ) 0 ) −+𝑥(𝑥 =2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 𝑘 𝑅2 2 2 = 𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 ) 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 =−+ √

𝑘 2 [𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ] + 𝐾 =− √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 𝑅2

Y a partir de esta velocidad, empleamos (Ecuación 22) para determinar 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝑠

Ecuación 28

Nota: Tomamos la raíz positiva cuando vamos en la dirección positiva de las 𝑥 y tomamos la raíz negativa cuando vamos en la dirección negativa de 𝑥.

Similarmente

Para 𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑇

Empleamos (Ecuación 25), (Ecuación 24) y (Ecuación 5)

2 𝒱𝑇𝐶𝑃 = 1+ 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑘

2

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑘2

Resolviendo para 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑥 − 𝑥0 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 ) √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

= 1+

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑘2

(

=

2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

2

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝒱2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑥_𝑇𝐶𝑃 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑅2

= 1+

(𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 =−+ √ 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 =+−

𝑘 2 [𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ] 𝑅2

𝐾 √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅

Ecuación 29

11

Y a partir de esta velocidad, empleamos (Ecuación 24) para determinar 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃𝐼 Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

Sustituimos (Ecuación 22), (Ecuación 27) y (Ecuación 5) en (Ecuación 25)

𝑘2 =

𝑘2 =

2 2 + 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃 𝑘 2 = 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃

𝑥 − 𝑥0 𝑘2 2 [𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ] + (− 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 ) 2 𝑅 √𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2

2

𝑘2 2 (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑘2 2 2 [𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ]] [𝑅 ] − (𝑥 − 𝑥 ) + [ 0 𝑅2 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 2 𝑘2 =

𝑘2 2 [𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 ] 𝑅2 𝑘2 =

𝑘 2 𝑅2 𝑅2

𝐾2 = 𝐾2 1=1

Para 𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 2𝑇

Sustituimos (Ecuación 24), (Ecuación 28) y (Ecuación 5) en (Ecuación 25) 2 2 𝑘 2 = 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 + 𝒱𝑦_𝑇𝐶𝑃

𝑘2 𝑥 − 𝑥0 𝑘 = 2 [𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ] + ( 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 ) 2 𝑅 √𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 2

𝑘2 =

2

𝑘2 2 (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑘2 2 2 [𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 ]] [𝑅 ] − (𝑥 − 𝑥 ) + [ 0 𝑅2 𝑅 2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑅 2 𝑘2 =

𝑘2 2 [𝑅 − (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 ] 𝑅2 𝑘2 =

𝑘 2 𝑅2 𝑅2

𝐾2 = 𝐾2 1=1

Dada las velocidades 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 dadas por (Ecuación 28) y (Ecuación 29) calculamos 𝑥(𝑡) a partir de la integración de la velocidad es 𝑥 Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

12

De (Ecuación 28) 𝑘 2 2 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 = + 𝑅 √𝑅 − (𝑥𝑇𝐶𝑃 − 𝑥0 )

Recordando

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 =

𝑑𝑥𝑇𝐶𝑃 𝑑𝑡

(𝑡)

Ecuación 30

𝑑𝑥𝑇𝐶𝑃 = 𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 𝑑𝑡

𝑑𝑥𝑇𝐶𝑃 =

𝑑𝑥𝑇𝐶𝑃

√𝑅 2 − (𝑥𝑇𝐶𝑃 − 𝑥0 )2

O bien

∫

𝑋𝑇𝐶𝑃

𝑥𝑇𝐶𝑃

De tablas, tenemos:

∫ Así para nuestro caso

O bien

𝑘 √𝑅 2 − (𝑥𝑇𝐶𝑃 − 𝑥0 )2 𝑑𝑡 𝑅

√𝑎2

=

𝑘 𝑑𝑡 𝑅

[𝑅 2 − (𝑥𝑇𝐶𝑃 − 𝑥0 )] 𝑑𝑥 −

𝑥2

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) 𝑎

𝑢 𝑠𝑒𝑛−1 ( )| 𝑅

=−

𝑘 𝑡 | 𝑅

𝑢 𝑢0󰇗 𝑘 𝑘 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) − 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) = − 𝑡 + (0) 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑘 ) − 𝑠𝑒𝑛−1 ( )= 𝑡 𝑅 𝑅 𝑅

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑅

)=

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑘 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) 𝑅 𝑅

Si consideramos que arranca a una distancia R de X. Entonces 𝑋𝑡𝑐𝑝 − 𝑋0 = −𝑅 (arranca a la izquierda de 𝑋0 ). 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑘 −𝑅 )= 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) 𝑅 𝑅 𝑅

𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑅

)=

𝑘 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛−1 (−1) 𝑅

13

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0

𝑘 𝜋2 𝑡 − 𝑅 𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑅 𝑘 𝜋) ( ) = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡 − 2 𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛−1 (

Recordando

)=

𝑠𝑒𝑛 (𝐴 ± 𝐵) = 𝑠𝑒𝑛 (𝐴)𝑐𝑜𝑠(𝐵) ± 𝑐𝑜𝑠 (𝐴) 𝑠𝑒𝑛 (𝐵)

Así (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑘 𝜋 𝑘 𝜋 ) = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) 𝑐𝑜𝑠 ( ) − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2 𝑅 𝑅 2 𝑅 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑘 ) = − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) 𝑅 𝑅

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 = −𝑅 𝑐𝑜𝑠 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 = − 𝑅 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑅 𝑡) + 𝑥0 𝑘

Ahora para 𝑇 < 𝑡 ≤ 2 De (Ecuación 29)

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 = −

Recordando

𝑘 𝑡) 𝑅

𝑘

𝑅

Para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

√𝑅 2 − (𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋0 )2

𝒱𝑥_𝑇𝐶𝑃 =

𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃 = 𝒱𝑥𝑇𝐶 𝑃 𝑑𝑡

𝐾 𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃 = − √𝑅 2 − (𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋𝑜 )2 𝑑𝑡 𝑅 𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃

√𝑅 2 − (𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋𝑜 )2

O bien ∫

𝑋𝑇𝐶𝑃

𝑋𝑇𝐶𝑃 0

−1 ⁄2

2 [𝑅 2 − (𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋0 ) ]

Haciendo el cambio de variable

= −

𝐾 𝑑𝑡 𝑅

𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃 = −

𝑡 𝐾 ∫ 𝑑𝑡 𝑅 0

14

𝑢 = 𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋0 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑋𝑇𝐶𝑃 𝑈0 = 𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋0 ∫

𝑢0

De tablas, tenemos

∫

Asi, para nuestro caso

O bien

𝑢

𝑢 = 𝑋𝑇𝐶𝑃 − 𝑋0 𝑑𝑢

−𝑡

𝐾 ∫ 𝑑𝑡 √𝑅2 − 𝑢 = 𝑅 0 𝑑𝑥

√𝑎 2

−

𝑥2

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) 𝑎

𝑢 𝐾 𝑠𝑒𝑛 −1 ( )| = − 𝑡 | 𝑅 𝑅

𝑢 𝑢0󰇗 𝐾 𝐾 𝑠𝑒𝑛 −1 ( ) 𝑠𝑒𝑛 −1 ( ) = − 𝑡 + − (0) 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑋𝑇𝑐𝑝 −𝑋0 𝑋𝑇𝑐𝑝 −𝑋0 𝑘 𝑡 ) − 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) = 𝑅 𝑅 𝑅

𝑋𝑇𝑐𝑝 −𝑋0 𝑘 𝑋𝑇𝑐𝑝 −𝑋0 ) ) = − 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛−1 ( 𝑅 𝑅 𝑅

Si consideramos que arranca a una distancia R de X. Entonces 𝑋𝑡𝑐𝑝 − 𝑋0 = +𝑅 (arranca a la derecha de 𝑋0 ). 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑋𝑇𝑐𝑝 −𝑋0 𝑘 +𝑅 ) = − 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) 𝑅 𝑅 𝑅

𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑥𝑡𝑐𝑝 − 𝑥0 𝑅

𝑠𝑒𝑛−1 (

Recordando

Así

(

)= −

𝑘 𝑡 +...