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Diario del corso di Analisi Matematica II per gli studenti delCorso di laurea in InformaticaUniversit`a di VeronaA. A. 2015/Docente: Simone UgoliniUltimo aggiornamento:23 gennaio 2016Indice 1 Lezione di venerd`ı 2 ottobre 1 Equazioni differenziali ordinarie: introduzione 1.1 Il modello di Malthus pe...

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Diario del corso di Analisi Matematica II per gli studenti del Corso di laurea in Informatica Universit`a di Verona A. A. 2015/16 Docente: Simone Ugolini Ultimo aggiornamento: 23 gennaio 2016

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Indice 1 Lezione di venerd`ı 2 ottobre 1.1 Equazioni differenziali ordinarie: introduzione . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Il modello di Malthus per l’evoluzione di una popolazione isolata 1.2 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili . 1.3 Problema di Cauchy per un’equazione differenziale a variabili separabili

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2 Lezione di luned`ı 5 ottobre 10 2.1 Esistenza e unicit`a della soluzione per un problema di Cauchy in cui l’equazione differenziale `e a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Lezione di marted`ı 6 ottobre 12 3.1 Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine . . . . . . . . . . 12 3.2 EDO lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Lezione di marted`ı 13 ottobre 14 4.1 EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . 14 4.2 Metodo di somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Lezione di marted`ı 20 ottobre 16 5.1 Metodo di somiglianza (seconda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2 Metodo di variazione delle costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 Lezione di venerd`ı 23 ottobre 6.1 Problemi di Cauchy in cui l’EDO `e lineare del secondo ordine 6.2 L’insieme Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Rn `e uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Rappresentazione geometrica dei vettori di R2 e R3 . . . . . . 6.5 Rn `e uno spazio euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Topologia in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Lezione di marted`ı 27 ottobre 21 7.1 Topologia in Rn (seconda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 Lezione di venerd`ı 30 ottobre 8.1 Funzioni di pi` u variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Dominio di una funzione di pi` u variabili . . . . . . . . 8.3 Curve di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x 8.6 Circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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8.7 Ellissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Iperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Iperbole con asse trasversale parallelo all’asse delle x . . . 8.8.2 Iperbole con asse trasversale parallelo all’asse delle y . . . 8.8.3 Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani 8.9 Classificazione delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Limiti per funzioni di pi` u variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Lezione di marted`ı 3 novembre 30 9.1 Limiti per funzioni di pi` u variabili (seconda parte) . . . . . . . . . . . . . 30 9.2 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10 Lezione di marted`ı 10 novembre 32 10.1 Calcolo dei limiti in 2 variabili attraverso coordinate polari . . . . . . . . 32 10.2 Insiemi aperti e chiusi definiti tramite funzione continue . . . . . . . . . . 33 11 Lezione di marted`ı 17 novembre 34 11.1 Archi di curva continui e insiemi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11.2 Derivate parziali (introduzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 12 Lezione di marted`ı 1 dicembre 12.1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Interpretazione geometrica delle derivate parziali . 12.1.2 Polinomio di Taylor di ordine 1 . . . . . . . . . . 12.2 Differenziabilit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Iperpiano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 Lezione di venerd`ı 4 dicembre 13.1 Gradiente e derivate direzionali . . . . . . 13.2 Arco di curva regolare . . . . . . . . . . . 13.3 Derivata di una funzione composta . . . . 13.4 Ortogonalit` a fra gradiente e curve di livello

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14 Lezione di venerd`ı 11 dicembre 14.1 Ottimizzazione libera (in 2 variabili) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Grafico di una forma quadratica in due variabili . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Segno delle forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Derivate parziali del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Ottimizzazione libera per funzioni di n variabili (facoltativo) . . . . . . .

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15 Lezione di marted`ı 15 dicembre 55 15.1 Funzioni definite implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 15.2 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 15.3 Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 16 Lezione di marted`ı 22 dicembre 58 16.1 Classificazione dei punti stazionari della funzione lagrangiana . . . . . . . 58 17 Lezione di venerd`ı 8 gennaio 59 17.1 Ottimizzazione vincolata su domini compatti . . . . . . . . . . . . . . . . 59 17.2 Lunghezza di una curva in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 18 Lezione di marted`ı 12 gennaio 61 18.1 Integrali di linea di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 18.2 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 19 Lezione di venerd`ı 15 gennaio 19.1 Integrali doppi su domini semplici e regolari . . . . 19.2 Coordinate polari nel piano . . . . . . . . . . . . . 19.3 Alcune possibili interpretazioni degli integrali doppi 19.4 Integrali tripli su domini che sono parallelepipedi .

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20 Lezione di marted`ı 19 gennaio 20.1 Integrazione per fili . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Integrazione per strati . . . . . . . . . . . . . 20.3 Cambiamento di variabili negli integrali tripli 20.3.1 Integrali tripli in coordinate sferiche . .

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21 Lezione di gioved`ı 21 gennaio 21.1 Integrali tripli in coordinate cilindriche . . 21.2 Alcune interpretazioni degli integrali tripli 21.3 Integrali di linea di seconda specie . . . . . 21.4 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Integrali di linea di seconda specie . . . . .

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22 Lezione di venerd`ı 22 gennaio 22.1 Campi conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Condizione necessaria affinch´e un campo sia conservativo . . . . . . . . . 22.3 Condizione sufficiente affinch´e un campo sia conservativo . . . . . . . . . 22.4 Superfici regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Piano tangente in un punto di una superficie regolare . . . . . . . . . . . 22.6 Area di una superficie e integrale di superficie di una funzione continua .

68 68 69 69 69 70 70

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Introduzione Le pagine che seguono sono un diario il pi` u possibile dettagliato delle lezioni di Analisi Matematica II per gli studenti del corso di laurea in Informatica dell’Universit`a di Verona dell’anno accademico 2015-2016. Questo diario crescer`a nel corso delle settimane e sar`a quindi definitivo al termine delle lezioni. Chiunque notasse delle inesattezze nelle pagine del presente diario `e pregato di scrivermi all’indirizzo e-mail [email protected]. Allo stesso indirizzo gli studenti possono scrivermi in qualunque momento per chiedere delucidazioni sia su queste note che su tutto ci`o che riguarda il corso.

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1 1.1

Lezione di venerd`ı 2 ottobre Equazioni differenziali ordinarie: introduzione

Un’equazione differenziale ordinaria `e un’equazione che mette in relazione una funzione incognita con le sue derivate. Le equazioni differenziali descrivono fenomeni di varia natura, ad esempio in fisica e biologia. Nella sezione successiva vedremo la descrizione di uno dei primi modelli di dinamica delle popolazioni, il cosiddetto modello di Malthus. L’equazione differenziale che ricaveremo si pu`o in realt`a utilizzare per descrivere altri fenomeni. Ad esempio, a lezione abbiamo visto come la stessa equazione descriva la crescita di un capitale investito nel tempo, una volta fissato un tasso annuo nominale r e un capitale iniziale investito K(0), supponendo che la liquidazione e capitalizzazione degli interessi avvenga con continuit`a. L’equazione differenziale che abbiamo ricavato a lezione `e K ′ (t) = r · K(t), dove K(t) `e l’ammontare del capitale rivalutato all’istante di tempo t, supponendo che l’istante iniziale sia t = 0 (si confronti l’equazione appena scritta con 1). 1.1.1

Il modello di Malthus per l’evoluzione di una popolazione isolata

Il modello di Malthus descrive l’evoluzione del numero di individui di una popolazione, ipotizzando che tale popolazione sia isolata, che non ci siano limitazioni nelle risorse, n´e che ci siano predatori o antagonisti per l’utilizzo delle risorse. In definitiva si tratta di un modello piuttosto semplificato, ma che descrive abbastanza bene l’evoluzione di una popolazione di individui in archi temporali limitati oppure in situazioni di laboratorio. Denotiamo con N (t) il numero di individui della popolazione in un certo istante t. Nel modello malthusiano si suppone che il numero di individui nati e morti nell’intervallo di tempo di lunghezza h con istante iniziale t e istante finale t + h, per un arbitrario valore h > 0, sia proporzionale al numero di individui presenti all’istante t e a h. Quindi, l’equazione che descrive l’evoluzione nell’intervallo h `e N (t + h) − N (t) = λhN (t) − µhN (t), dove λ e µ sono costanti non-negative fissate. Dividendo entrambi i membri per h abbiamo che N (t + h) − N (t) = (λ − µ)N (t). h Passando al limite per h che tende a 0 in entrambi i membri otteniamo N ′ (t) = lim

h→0

N (t + h) − N (t) = (λ − µ)N (t). h 6

Quella che abbiamo appena trovato `e un’equazione differenziale. La funzione incognita `e il numero di individui N (t), che dipende dalla variabile tempo t. Tale funzione che non conosciamo deve soddisfare l’equazione differenziale ordinaria del primo ordine N ′ (t) = (λ − µ)N (t). Per semplicit`a, possiamo indicare con ε = λ − µ. Tale numero ε viene detto il potenziale biologico della popolazione. Supponendo che a un istante iniziale t0 il numero di individui di una popolazione sia N (t0 ), si pu`o verificare che l’equazione differenziale N ′ (t) = εN (t)

(1)

ha come soluzione la funzione N (t) = N (t0 ) · eε(t−t0 ) . Vediamo dunque come si fa a ricavare la soluzione di un’equazione differenziale come (1).

1.2

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

L’equazione differenziale (1) `e un esempio di equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili. In generale tali equazioni sono della forma y ′ (x) = f (x) · g(y(x)),

(2)

dove y(x) `e la funzione incognita, che dipende dalla variabile indipendente x, mentre f `e una funzione nella variabile x e g una funzione nella variabile y. Supponiamo poi che f sia continua per ogni x ∈ I e g sia continua per ogni y ∈ J, dove I e J sono due intervalli aperti di R. Con le ipotesi fatte, una soluzione y(x) definita su un sottointervallo I ′ di I dell’equazione differenziale appena scritta dovr` a essere almeno derivabile e quindi ′ continua su I . Un’equazione come (2) si dice a variabili separabili perch´e le variabili x e y si possono appunto separare, nel senso che cercheremo di mostrare ora. Per risolvere l’equazione y ′ (x) = f (x) · g(y(x)) divido per g(y (x)) entrambi i membri. Cos`ı facendo sto implicitamente assumendo che g(y (x)) 6= 0 almeno per tutti gli x ∈ I ′ , con I ′ sottointervallo aperto di I, tali ` lecito chiedersi per un momento se un tale sottointervallo I ′ dove che g(y (x)) ∈ J. E g(y(x)) `e diversa da 0 esista veramente. Possiamo ragionare in questo modo: se esiste 7

una soluzione non costante y(x) di (2) definita su qualche intervallo I ′ ⊆ I, allora non `e possibile che y ′ (x) = 0 per ogni x ∈ I. Perci`o, esister`a almeno un x˜ ∈ I tale che y ′ (˜ x) 6= 0. Ci` o implica che g(y(˜ x)) 6= 0. Ora, essendo g(y(˜ x)) 6= 0 ed essendo sia g(y) che y(x) funzioni continue, la composizione g(y (x)) `e continua in x˜. Ci`o implica che in un intorno (magari piccolo) di x˜ la funzione g(y(x)) sia diversa da zero. In definitiva, l’unico problema che potremmo avere nel dividere per g(y(x)) `e quello di perdere eventuali soluzioni costanti. Per recuperare le soluzioni costanti dell’equazione differenziale possiamo fare le seguenti considerazioni. Innanzitutto, se f (x) fosse identicamente nulla su un intervallo I ′ ⊆ I , si avrebbe y ′ (x) = 0 per ogni x ∈ I ′ . Quindi, ogni funzione y(x) = C, per ogni possibile scelta di C ∈ R, sarebbe soluzione dell’equazione differenziale per ogni x ∈ I ′ . Se invece f (x) non `e identicamente nulla e y(x) = C `e una soluzione costante dell’equazione differenziale definita su I ′ ⊆ I , significa che 0 = f (x) · g(y (x)) per ogni x ∈ I ′ . Ora ci ricordiamo che y(x) = C, ovvero 0 = f (x) · g (C ) per ogni x ∈ I ′ . Visto che f (x) non `e identicamente nulla su I ′ e il prodotto f (x) · g(C ) `e nullo per ogni x ∈ I ′ , concludiamo che dev’essere g(C) = 0. In altre parole le soluzioni costanti dell’equazione differenziale, qualora f (x) non sia identicamente nulla, sono quei valori di y tali che g(y) = 0. Dopo questa discussione, separiamo effettivamente le variabili per cercare eventuali soluzioni non costanti dell’equazione differenziale. A seguito della divisione ottengo dunque 1 y ′ (x) = f (x). g(y(x)) A questo punto integro entrambi i membri rispetto alla variabile x: Z Z y ′ (x) dx = f (x) dx. g(y(x)) Per la formula di sostituzione per gli integrali indefiniti,  Z Z 1 du = f (x) dx. g(u) u=y(x) Sia G(u) una primitiva di 1/g(u) e F (x) una primitiva di f (x). Notiamo che una primitiva di 1/g(u) e una primitiva di F devono esistere, visto che le due funzioni sono continue rispettivamente in J e in I. Dunque, G(y(x)) = F (x) + C, 8

dove C `e una costante di integrazione. Se poi riesco a trovare l’inversa della funzione G, allora posso esplicitare y(x). Per il momento non ci preoccupiamo dell’esistenza di G−1 , ma anticipo fin da ora che con le ipotesi fatte su g tale inversa dovr` a esistere. Dopo aver fatto tutti i passaggi appena esposti, dovremmo essere in grado di trovare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale. Potrebbe comunque rimanere ancora il dubbio del perch´e le equazioni come (2) si chiamino a variabili separabili. Ci` o `e pi` u evidente se si considera l’equazione (2) riscritta come y ′ = f (x) · g(y ), dove abbiamo rimpiazzato y(x) con y. Dobbiamo comunque ricordarci sempre che y `e una funzione di x. A questo punto si denota y ′ con la notazione di Leibniz, scrivendo dy = f (x) · g(y ). dx Ora si trattano dy e dx come numeri, anche se ci`o non sarebbe matematicamente corretto. In ogni caso, ottengo dy = f (x) dx, g(y) ovvero ho separato le variabili (a sinistra vedo solo y, a destra vedo solo x). Per finire, passo agli integrali Z Z 1 dy = f (x) dx g(y) e proseguo come prima.

1.3

Problema di Cauchy per un’equazione differenziale a variabili separabili

Sebbene in generale ci siano infinite soluzioni di un’equazione differenziale, se imponiamo una condizione iniziale la soluzione di un’equazione differenziale a variabili separabili `e unica (almeno localmente) quando sono soddisfatte certe ipotesi (il Teorema 1.1 fornisce delle condizioni sufficienti per l’esistenza e l’unicit`a). Imporre una condizione iniziale significa dire quanto deve valere la funzione incognita y(x) per un certo x = x0 . In un caso come questo si ha che fare con un cosiddetto problema di Cauchy, ovvero un problema della forma ( y ′ = f (x) · g(y) (3) y(x0 ) = y0 , dove x0 , y0 ∈ R, f (x) `e una funzione della variabile x definita in un intervallo aperto I contenente x0 , mentre g(y) `e una funzione di y definita in un intervallo aperto J contenente y0 . 9

Risolvere (3) significa trovare una funzione y(x), definita in un intervallo aperto I ′ ⊆ I che contenga x0 , che sia soluzione dell’equazione differenziale data e tale che y(x0 ) = y0 . L’intervallo I ′ pi` u grande contenente x0 , tale che I ′ ⊆ I e che g(y (x)) sia ′ definita per ogni x ∈ I , `e detto l’intervallo massimale di definizione della soluzione. Vale il seguente teorema. Teorema 1.1 (T. di esistenza e unicit`a locale della soluzione di un problema di Cauchy in cui l’equazione differenziale `e a variabili separabili). Consideriamo il problema di Cauchy ( y ′ = f (x) · g(y) y(x0 ) = y0 ,

dove (x0 , y0 ) ∈ R2 , f `e una funzione continua su un intervallo aperto I contenente x0 e g `e una funzione continua su un intervallo aperto J contenente y0 . Allora il problema di Cauchy assegnato ha almeno una soluzione y ∈ C 1 (I ′ ) definita su un intervallo aperto I ′ ⊆ I contenente x0 . Se inoltre g(y) 6= 0 per ogni y ∈ J ′ , sottointervallo aperto di J contenente y0 , allora esiste un intervallo aperto I ′ contenuto in I e contenente x0 tale che la soluzione del problema di Cauchy sia unica per ogni x ∈ I ′ .

Osservazione. Il fatto che la soluzione di un problema di Cauchy sia unica non `e per niente scontato. Vedremo la prossima volta un esempio in cui la soluzione di un problema di Cauchy non `e unica. Ovviamente per farlo dovr`a esser violata qualche ipotesi del teorema precedente.

Osservazione. La scrittura y ∈ C 1 (I ′ ) significa che y `e continua e derivabile con derivata continua per ogni x ∈ I ′ . Pi` u in generale, se k `e un intero non negativo, la notazione C k (I) dove I `e un intervallo (con o senza gli estremi) denota l’insieme delle funzioni continue e con derivate...