Diferenciacion e integracion numericas PDF

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F O R M U L A S D E D I F E R E N C I A C I O N C O N A L T A EX A C T I T U DSe pueden generar formulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando términos de la expansión de la serie de Taylor, esta ecuación es:f ( xi + 1 )= f ( xi )+ f' ( xi ) h +f' ' ( xi )2h 2 + ...Despejamos y tendrem...

Description

FORMULAS XACTITUD

DE

DIFERENCIACION

CON

ALTA

E

Se pueden generar formulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando términos de la expansión de la serie de Taylor, esta ecuación es: f ( x i+1 ) =f ( x i ) + f ' ( x i ) h+

'' f (xi ) 2 h +… 2

Despejamos y tendremos: ''

f ( x i+1 ) −f ( x i ) f ( x i ) − h+O ( h2) f ( xi ) = h 2 '

Eliminamos la segunda derivada '

f ( xi ) =

f ( x i+1 ) −f ( x i ) +O ( h) h

Tenemos ahora el término de la segunda derivada sustituyendo la siguiente aproximación para al final tener: f ' ( xi ) =

f ( x i+1 ) −f ( x i ) f ( x i+2 ) −2 f ( xi +1 ) +f ( x i ) 2 − h+O ( h ) 2 h 2h

Y agrupando términos semejantes tendremos: f ' ( xi ) =

−f ( x i+ 2 ) + 4 f ( xi +1 )−3 f ( x i ) +O ( h2 ) 2h

Lo que hacemos es hacer la derivada más exacta. Se puede hacer algo similar para obtener formulas hacia adelante, centradas y hacia atrás.

EJEMPLO Calcule las aproximaciones por diferencias hacia adelante y atrás, de O(h) y O(h2), y aproximaciones por diferencia central de O(h2) y O(h4) para la primera derivada de y = cos x, en x = π/4, con el uso de un valor de h = π/12. Estime el error relativo porcentual verdadero ε t para cada aproximación. x=

π π h= 12 4

y=cos x

y ' =−sin x f

x i−2 =

( π4 )=−sin π4 =−0.7071 →VALOR VERDADERO

π f ( x i−2) =0.9659 12

π x i−1 = f ( x i−1) =0.8660 6 x i=

π f ( x i )=0.7071 4

π x i+1= f ( x i+1 ) =0.5 3 x i+2=

5π f ( x i+2 ) =0.2588 12

Diferencias hacia adelante f ' ( x i) = f

'

f ( x i+1 ) −f ( x i ) O ( h) h

=−0.7911 ε =11.8795 % ( π4 )= 0.5−0.7071 π t

12

f ' ( x i) = f'

−f ( x i+ 2 ) + 4 f ( xi +1 )−3 f ( x i ) 2h

2 O (h )

( π )= −0.2588+ 4 ( 0.5 )−3 ( 0.7071 ) =

0 7259 ε =2 6587 %

Diferencias hacia atrás f ' ( x i) = f

'

f ( x i )−f ( x i−1 ) h

O( h )

=−0.6070 ε =14.1564 % ( π4 )= 0.7071−0.8660 π t

12

f ' ( x i) = f'

3 f ( x i ) −4 f ( x i−1 )+ f ( x i−2 ) 2 O (h ) 2h

) +0.9659 =−0.7196 ε =1.7678 % ( π4 )= 3 ( 0.7071 )−42( 0.8660 π ( 12 ) t

Diferencia central f ' ( x i) = f

'

=−0.6990 ε =1.1455 % ( π4 )= 0.5−0.8660 π 2( ) 12 t

f ' ( x i) = f'

f ( x i+1 ) −f ( x i−1 ) O ( h2) 2h

−f ( x i+ 2 ) + 8 f ( x i+1)−8 f ( x i−1) + f ( x i−2) 4 O (h ) 12 h

( π )= −0.2588+ 8 ( 0.5 )−8 ( 0.8660 )+0.9659 =

EXTRAPOLACION

DE

0 7069 ε =0 0283 %

RICHARDSON

Un procedimiento basado en la extrapolación de Richardson utiliza 2 estimaciones de la derivada para calcular una tercera aproximación más exacta. Sabemos que la extrapolación constituye un medio para obtener una mejor aproximación por medio de la fórmula: I ~¿ I ( h2 )+

1 [ I (h2 )−I ( h1 )] 2 ( h1 / h2 ) −1

En el caso en que h2 = h1/2 tendremos: 1 ~4 I ¿ I ( h 2) − I ( h1) 3 3 Y para las derivadas de escribirá de la misma manera: 1 ~4 D ¿ D ( h2 )− D ( h1 ) 3 3 EJEMPLO Emplee la extrapolación de Richardson para estimar la primera derivada de y = cos x, en x = π/4, con el uso de tamaños de paso de h 1 = π/3 y h2 = π/6. Utilice diferencias centradas de O(h2) para las estimaciones iniciales. x=

π π π h1 = h 2 = 6 12 4

y=cos x

y ' =−sin x f

x i−2 =

( π4 )=−sin π4 =−0.7071 →VALOR VERDADERO

π f ( x i−2) =0.9659 12

π x i−1 = f ( x i−1 )=0.8660 6 x i=

π f ( x i )=0.7071 4

π x i+1= f ( x i+1 ) =0.5 3 x i+2=

D

5π f ( x i+2 ) =0.2588 12

=−0.6752 ε =4.5114 % ( π3 )= 0.2588−0.9659 π t

3 D

( π )= 0.5−0.8660 =−0 6990 ε =1 1455 %

1 ~4 D ¿ D ( h2 )− D ( h1) 3 3 4 1 D= ( −0.6990 )− (−0.6752 )=−0.7069 ε t =0.0283 % 3 3

DERIVADAS PACIADOS

DE

DATOS

IRREGULARMENTE

ES

Al momento de hacer las aproximaciones por diferencias divididas, los datos deben estar igualmente espaciados. Para tener un buen control del espacio entre los datos, solo sucede cuando se usan datos sacados de tablas de valores. Una forma de usar datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un polinomio de interpolación de Langrage de segundo grado a cada conjunto de tres puntos. Si se deriva el polinomio de segundo grado se obtiene: f ' ( x )= f ( x i−1)

2 x −x i− x i+ 1

( x i−1− x i ) ( x i−1 −xi +1)

+f ( x i)

2 x − x i−1− x i+1

( x i−x i−1 ) ( x i− x i+ 1)

+ f ( xi +1 )

2 x −xi−1−x i

( x i+1− x i−1 )( x i+1−x i )

En donde x es el valor que se quiere encontrar de la derivada. Este método tiene como ventajas:   

Sirve para estimar la derivada en cualquier punto dentro de un intervalo determinado por tres puntos Los puntos no tienen que estar igualmente espaciado La estimación de la derivada tiene la misma exactitud que la diferencial centrada

EJEMPLO Emplee la ecuación para datos irregularmente espaciados para determinar la primera derivada de y = 2x 4 – 6x3 – 12x – 8 en x = 0, con base en los valores de x0 = -0.5, x1 = 1 y x2 = 2 Compare este resultado con el valor verdadero y con una estimación obtenida con el uso de una aproximación por diferencias centradas con base en h = 1. x=0 x 0=−0.5 x 1=1 x2 =2 y =2 x 4−6 x 3−12 x −8 y ' =8 x 3 −18 x 2−12 f (0)=8 (0 )−18 (0 ) −12=−12 →VALOR VERDADERO

x i−1 =−0.5 f ( x i−1 )=−1.1250 x i=1 f ( x i )=−24 x i+1=2 f ( x i+1 ) =−48

f ' ( x )= f ( x i−1)

2 x −x i− x i+ 1

( x i−1− x i ) ( x i−1 −xi +1)

'

f ( 0) =−1.1250

+f ( x i)

2 x − x i−1− x i+1

( x i−x i−1 ) ( x i− x i+ 1)

+ f ( xi +1 )

2 x −xi−1−x i

( x i+1− x i−1 )( x i+1−x i )

2 ( 0 ) −1−2 2 (0 )− (− 0.5 ) −2 2( 0 )− (−0.5 )−1 −24 −36 =−15.9 ε t (−0.5 −1 ) (−0.5−2 ) ( 1− (−0.5)) ( 1−2 ) ( 2− (−0.5 ) ) ( 2−1 )

Estimación por diferencias centradas x i−2 =−2 f ( x i−2 ) =96 x i−1 =−1 f ( x i−1 ) =12 x i=0 f ( x i )=−8 x i+1=1 f ( x i+1 ) =−24 x i+2=2 f ( x i+2 ) =−48

f ' ( 0) =

−( −48) +8 (−24 )−8 ( 12 ) +96 =−12 ε t =0 % 12 (1)

DERIVADAS ERRORES

E

INTEGRALES

PARA

DATOS

CON

Un problema en la derivación de datos es que podemos encontrar errores de medición, esto tiende a aumentar los errores. El principal procedimiento para derivar este tipo de datos es la regresión por mínimos cuadrados, que estudiamos en la unidad anterior para poder ajustar la función.

TEMA 2: INTEGRACION NUMERICA El proceso inverso a la derivación es la integración. Según la definición integrar significa juntar partes en un todo, indicar una cantidad total; se representa por: b

∫ f ( x ) dx a

Que representa la integral de la función f(x) con respecto a la variable independiente x, que se evalúa entre los límites a y b. Las fórmulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basa en reemplazar una función complicada por un polinomio más fácil de integrar. Estas pueden ser cerradas o abiertas, las cerradas son cuando se nos proporcionan los límites de integración y en las abiertas se pueden extender los límites más allá de los datos.

REGLA DEL TRAPECIO ION MULTIPLE

SIMPLE

Y

DE

APLICAC

La regla del trapecio ocurre cuando el polinomio es de primer grado. Para obtener la regla del trapecio debemos integrar la forma de una recta de la cual obtendremos el área bajo la curva y obtendremos la ecuación siguiente que se denomina como “regla del trapecio” I =( b−a )

f (a ) +f ( b ) 2

La regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea que une f(a) y f(b). La integral aproximada se representa como ~ ~ I ¿ ancho∗altura promedio ó I ¿ ( b−a ) ∗altura promedio Al emplear esta regla, al aproximar la integrar bajo la curva, podemos tener algún error, por lo que debemos calcular el error de truncamiento local, el cual su fórmula será: Et =

−1 ' ' 3 f ( ξ ) ( b−a) 12

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio es dividir el intervalo de integración en varios segmentos y se aplica el método a cada uno de ellos. Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuesta.

Mediante una integral compuesta se debe sustituir cada integral con la regla del trapecio y sustituyendo los términos semejantes se obtendrá de manera general la ecuación: n−1

f ( x 0 )+2 ∑ f ( x i ) +f ( nn ) i=1

I =( b−a )

2n

Y para esta fórmula de trapecio múltiple y también tendrá su fórmula para calcular el error. 3

Ea =

(b −a ) ´ 2 f '' 12 n

EJEMPLO Evalué la integral siguiente: 4

∫( 1−e−2 x) dx 0

a) En forma analítica b) Con una sola aplicación de la regla del trapecio c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio con n = 2

a) Analíticamente 4

∫( 1−e−2 x) dx=3.50016 →VALOR VERDADERO 0

b) Regla del trapecio a=0 f ( a) =0 b=4 f ( b) =0.9997

I =( b−a )

f (a ) +f ( 2) 2

I =( 4−0 ) 0+0.9997 =1.9994 ε t =42.8769 2

Et =3.50016−1.9994 =1.5008

−2 x

f ' ' (x ) =−4 e b

∫ f ( x ) dx

´f ' ' (x ) = a

( b−a )

4

∫ (−4 e−2 x ) dx

´f ' ' (x ) = 0

=−0.4998

( 4−0)

Et =

−1 ' ' 3 f ( ξ ) ( b−a) 12

Et =

−1 ( −0.4998) ( 4−0 ) 3=15.9936 12

I =h= I=

f ( a) + f (b ) 1 −¿− f ' ' ( ξ )( b−a) 3 2 12

0+0.9997 1 − ( −0.4998 ) (4−0) 3=3.1655 ε t =9.5613 % 12 2

c) Regla del trapecio múltiple n=2h=

4−0 =2 2

x 0=0 f ( x 0 )=0 x 1=2 f ( x 1) =0.9817 x 2=4 f ( x 2 )=0.9997

n−1

f ( x 0 )+2 ∑ f ( x i ) +f ( nn ) I =( b−a ) I =( 4−0 )

i=1

2n 0+2 ( 0.9817) +0.9997 =2.9631 ε t=15.3439% 2 ( 2)...