Diktat Bu Sri Redjeki PDF

Preview

Summary

Catatan Kuliah MAPengantar Persamaan DiferensialSri Redjeki Pudjaprasetya Kelompok Keahlian Matematika Industri & Keuangan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi BandungCONTENTSContentsKata PengantarPuji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Penya...

Description

Catatan Kuliah MA2271 Pengantar Persamaan Diferensial

Sri R ed jeki Pu d jap ras etya Kelompok Keahlian Matematika Industri & Keuangan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung

Contents 1 Pendahuluan 6 1.1 Pendekatan kualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Klasifikasi persamaan diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Persamaan Diferensial Orde Satu 10 2.1 Persamaan diferensial terpisah, metode pengintegralan langsung . . . . . . . . . . . 10 2.2 Persamaan diferensial linier orde-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Masalah-masalah aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Persamaan diferensial autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Eksistensi dan ketunggalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Persamaan Diferensial Orde-n Linier 24 3.1 Sifat-sifat solusi persamaan diferensial linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Persamaan diferensial homogen koefisien konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Sistem pegas massa dengan redaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Persamaan diferensial tak homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.1 Metode koefisien tak tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.2 Metode variasi parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Getaran dengan gaya luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5.1 Kasus tanpa redaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5.2 Kasus dengan redaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Sistem Persamaan Diferensial 38 4.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Metode nilai eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Matriks fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3.1 Sistim homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.2 Sistim tak homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.3 Matriks exp(At) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.4 Bidang phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5 Model Populasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5.1 Model predator-prey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.2 Model interaksi dua spesies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.6 Sistim persamaan diferensial orde-2 (pengayaan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

2

CONTENTS

5 Transformasi Laplace 65 5.1 Transformasi Laplace dan inversnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Transformasi masalah nilai awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 Fungsi tangga satuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 Perkalian, turunan dan integral dari transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Gaya luar berupa fungsi periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6 Impuls dan delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6 Deret Fourier 6.1 Deret Fourier 6.2 Deret Fourier 6.3 Deret Fourier 6.4 Deret Fourier

dan kekonvergenannya . . . bagi fungsi berperioda 2L . bagi fungsi genap dan ganjil sinus dan cosinus . . . . . .

7 Metoda Separasi Variable 7.1 Masalah nilai eigen . . . 7.2 Persamaan difusi . . . . 7.3 Persamaan gelombang . 7.4 Persamaan Laplace . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

81 81 84 87 88

93 . 93 . 96 . 100 . 104

Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Penyayang atas kasih dan karunia yang telah dilimpahkan sehingga diktat kuliah ini dapat diselesaikan. Diktat ini disusun dengan tujuan untuk membantu mahasiswa dalam mengikuti perkuliahan MA2271 Pengantar Persamaan Diferensial. Perkuliahan persamaan diferensial ini diperuntukkan bagi mahasiswa tingkat dua bidang matematika, sains, dan engineering. Prasyarat bagi peserta kuliah ini adalah telah mengikuti kuliah Kalkulus tahun pertama. Perkuliahan akan difokuskan pada pembahasan berbagai metoda penyelesaian persamaan diferensial, sistem persamaan, dan persamaan diferensial parsial. Sebagian isi diktat ini disarikan dari buku Elementary Differential Equations, karangan Boyce & Diprima, yang merupakan textbook utama bagi MA2271. Mengingat tidak semua materi pada textbook masuk dalam silabus MA2271, keberadaan diktat ini dapat membantu pengajar MA2271 menyampaikan materi sesuai target pada kurikulum. Saat penyampaian kuliah, dosen diharapkan dapat memberikan penekanan pada konsep matematika serta aplikasinya (termasuk pemodelannya) dengan proporsi yang seimbang. Untuk pemahaman yang lebih menyeluruh, peserta kuliah tetap disarankan untuk mempelajari textbook utama. Perkuliahan persamaan diferensial sebelum tahun 2000 kebanyakan menggunakan pendekatan klasik, yang hanya melibatkan perhitungan analitik. Namun di jaman sekarang dimana komputer serta software telah mudah dijangkau dan sedemikian maju, penjelasan konsep-konsep matematika sebaiknya disertai ilustrasi grafik visual. Kami berharap dengan adanya visualisasi mahasiswa akan lebih mudah memahami teori yang diajarkan. Kuliah MA2271 dilaksanakan bersamaan dengan praktikum MA2271. Pada sesi praktikum, mahasiswa akan berlatih menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial serupa seperti di kelas, namun dengan menggunakan software Maple. Harapan kami mahasiswa dapat mengintegrasikan materi kuliah di kelas dengan praktikum Maple ini, serta menggunakan pengalaman bekerja dengan Maple untuk mendukung proses belajarnya, baik selama menempuh kuliah MA2272 ini, ataupun setelahnya. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Penerbit ITB yang bersedia menerbitkan diktat ini, juga kepada mahasiswa Matematika angkatan 2009, 2010, 2011, 2014, 2015, 2016, yang sempat menggunakan versi draft dari diktat ini, sehingga memungkinkan terwujudnya diktat versi final ini. Dengan tangan terbuka, penulis akan menerima kritik dan saran yang bersifat membangun untuk perbaikan di edisi berikutnya. Akhir kata kami berharap, mahasiswa dapat memperoleh manfaat yang sebesar-besarnya dari adanya diktat ini. Besar harapan kami, mahasiswa mendapat bekal yang cukup tentang persamaan diferensial, serta dapat memanfaatkannya saat mengikuti kuliah-kuliah di tingkat lanjut. Sri Redjeki Pudjaprasetya 3

CONTENTS

4

Bab 1

Pendahuluan Hukum-hukum alam yang mendasari berbagai perubahan di alam seringkali tertuang dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut ini akan disajikan beberapa contoh untuk memperjelas hal tersebut. Masalah benda jatuh bebas Gambar di samping mengilustrasikan benda yang jatuh bebas, dengan posisi benda tiap saat adalah y(t), dengan y = 0 adalah posisi awal benda. Selan- y = 0 jutnya kita tetapkan bahwa arah ke bawah adalah positif, dan arah ke atas adalah negatif. Gaya-gaya yang bekerja pada benda bermassa m tersebut y = h0 adalah gaya berat Fb = mg dan gaya gesek udara Fs .

mg

Jika dimisalkan gaya gesek dengan udara sebanding dengan kecepatan, maka Fs = −av, dengan a menyatakan koefisien drag. Perhatikan bahwa tanda negatif di sini menandakan bahwa arah gaya gesek selalu berlawanan dengan arah kecepatan. Yakinilah kebenarannya dengan memeriksa, saat benda bergerak ke bawah: v > 0 sehingga Fs < 0 berarti gaya gesek mengarah ke atas. Menurut Hukum Newton II: massa × percepatan = total gaya yang bekerja pada benda atau m

dv = mg − av, dt

(1.0.1)

dengan v(t) = dy dt . Dengan demikian, persamaan (1.0.1) adalah model yang berlaku untuk masalah jatuh bebas ini. Bertolak dari formulasi di atas, akan kita tentukan rumus kecepatan benda menumbuk tanah jika dijatuhkan dari ketinggian h0 , dalam kasus tak ada gaya gesek. Syarat awal yang sesuai untuk dy(0) masalah jatuh bebas ini adalah y(0) = 0 dan v(0) = dt = 0. Persamaan gerak (1.0.1) dalam kasus tak ada gaya gesek adalah m

d2 y = mg. dt2

Setelah satu kali pengintegralan dan karena

dy(0) dt

dy = gt. dt 5

= 0, maka

BAB 1. PENDAHULUAN

6

Pengintegralan sekali lagi dan setelah digunakan syarat y(0) = 0, maka y(t) =

1 2 gt . 2

q 2h0 Benda menumbuk tanah saat takhir yaitu saat y(takhir ) = h0 , sehingga takhir = g . Dengan √ demikian benda menumbuk tanah dengan kecepatan v(takhir ) = 2gh0 , bernilai positif yang berarti mengarah ke bawah. Hal ini tepat seperti yang telah kita kenal melalui pelajaran fisika. Tugas: Dalam hal gaya gesek diperhitungkan, tentukan kecepatan benda saat menumbuk tanah. Bandingkan nilainya dengan kasus saat tidak ada gaya gesek, kecepatan mana yang lebih besar? Apakah hal tersebut logis? Tugas: Apakah (1.0.1) juga merupakan persamaan gerak benda yang dilempar ke atas? Untuk benda yang di lempar ke atas dengan kecepatan awal v0 , buktikan bahwa benda akan mencapai v2 tinggi maksimum 0 , dalam kasus tak ada gaya gesek. Tentukan juga tinggi maksimum benda 2g dalam hal ada gaya gesek.

1.1

Pendekatan kualitatif

Misalkan benda yang jatuh itu massanya m = 10 kg dan koefisien geseknya a = 2 kg/det. Setelah gaya gravitasi dipilih g = 9.8 m/det2 persaman gerak jatuhnya benda adalah v dv = 9, 8 − , 5 dt Perilaku kualitatif gerak benda jatuh tersebut akan diperla jari di sini tanpa mencari solusi persamaan diferensialnya. Perhatikan bahwa ruas kanan persamaan tak lain menyatakan gradien garis singgung kurva solusi v(t) di titik (t, v). Berdasarkan prinsip inilah medan gradien seperti pada Gambar 1.1.2 dibuat. Perhatikan bahwa potongan garis-garis kecil dari medan gradien tak lain adalah garis singgung kurva solusi. Dengan demikian kita dapat mensketsakan grafik solusi. Tampak dari gambar di atas bahwa jika kecepatan benda lebih kecil dari suatu nilai tertentu, maka kecepatan benda akan bertambah saat jatuh. Demikian pula sebaliknya, jika kecepatan benda melebihi suatu nilai tertentu, maka kecepatan benda akan berkurang saat jatuh. Selanjutnya, untuk kecepatan benda berapakah dv dt bernilai nol? Hal ini terjadi bila kecepatannya v = (5)(9.8) = 49 m/det. Perhatikan bahwa fungsi konstan v(t) = 49 m/det juga merupakan solusi persamaan diferensial, yang mana dikatakan sebagai solusi equilibrium. Dari medan gradien di atas kita dapat memperhatikan bahwa solusi-solusi lain konvergen ke solusi konstan v(t) = 49 m/det. Tugas: Pelajari dinamika populasi tikus dan burung hantu pada Subbab 1.1. Boyce Diprima.

1.2

Klasifikasi persamaan diferensial

Persamaan Diferensial Biasa ialah persamaan yang memuat variabel bebas x, variabel tak bebas

7

BAB 1. PENDAHULUAN

Gambar 1.1.1: Medan gradien bagi persamaan

v dv = 9, 8 − beserta kurva solusinya. 5 dt

y(x) beserta turunan-turunan dari y(x). Bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah F (x, y, y ′ , y ′′ , · · · , y (n) ) = 0. Persamaan Diferensial dikatakan linier jika F merupakan fungsi linier terhadap mun fungsi F terhadap variabel x tak perlu linier.

(1.2.1) y, y ′ , · · ·

, y (n) ,

na-

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial tersebut. Contoh: y′ − cos x = 0

y′′′

+ yy ′

−

ex

persamaan diferensial orde 1, linier

= 0 persamaan diferensial orde 3, tak linier

Persamaan diferensial yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih disebut Persamaan Diferensial Parsial. Contoh: ut + cux = 0

(persamaan transport)

uxx − uyy = 0 ut = kuxx

(persamaan gelombang) (persamaan difusi)

uxx + uyy = 0

(persamaan Laplace)

Contoh Sistem Persamaan Diferensial  ′ x =x−y y′ = 2x + y

(1.2.2)

BAB 1. PENDAHULUAN

8

Jika y = f (x) memenuhi persamaan diferensial (1.2.1) maka f (x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Sedangkan solusi umum adalah bentuk umum dari solusi. Ini berarti, formula solusi umum harus mencakup sebarang solusi yang mungkin dari suatu persamaan diferensial. Suatu solusi umum bisa menjadi solusi khusus dengan adanya informasi / syarat tambahan, disebut syarat awal / syarat batas. Contoh: Persamaan diferensial y′ − cos x = 0, solusi umum y(x) = sin x + C Jika diberikan syarat awal y(0) = −1, maka diperoleh solusi khusus y(x) = sin x − 1. Melalui ilustrasi masalah jatuh bebas di atas, kita telah memperoleh gambaran bahwa penerapan Hukum Newton II tertuang dalam bentuk persamaan diferensial. Selain itu, hukum-hukum alam lain seperti prinsip konservasi massa, dan konservasi energy, formulasinya juga berupa persamaan diferensial. Secara umum, model yang dihasilkan dapat berupa persamaan diferensial parsial ataupun persamaan diferensial biasa, seringnya tak linier. Untuk dapat menganalisa permasalahan yang dihadapi, seringkali kita perlu menentukan solusi persamaan diferensial tersebut, dan ini sama sekali bukan hal mudah. Untuk persamaan diferensial yang relatif sederhana, tersedia beberapa metoda pencarian solusi analitik yang dapat dipelajari, sedangkan untuk persamaan diferensial yang lebih rumit, termasuk di sini persamaan diferensial tak linier, seringkali kita hanya bisa bergantung pada solusi numeriknya. Untuk mendapatkan solusi numerik yang tepat dari suatu persamaan diferensial juga terkadang merupakan tugas yang sangat menantang. Sebagai contoh, penelitian terkait solusi persamaan Navier-Stokes, masih merupakan topik riset yang menarik hingga saat ini. Pada kuliah pertama tentang persamaan diferensial ini, akan dibahas berbagai metode pencarian solusi analitik persamaan diferensial. Satu persatu metode analitik, yang bergantung pada tipe persamaan diferensialnya, akan dipelajari. Metode pencarian solusi persamaan diferensial biasa ini hanya dibahas di dua bab saja yaitu persamaan diferensial orde satu, dan persamaan diferensial linier orde-n. Pembaca dipersilakan untuk mempelajari buku pegangan utama secara mandiri guna menambah pengetahuan terkait metoda pencarian solusi persamaan diferensial. Bab selanjutnya akan membahas persamaan diferensial tipe lain, yaitu sistem persamaan diferensial. Masalah-masalah bio-matematika, dan epidemiologi sering tertuang dalam model berbentuk sistem persamaan diferensial. Selanjutnya akan dibahas transformasi Laplace, metoda ini banyak diperlukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang melibatkan gaya luar berupa fungsifungsi non-standar. Metoda ini juga sangat diperlukan di bidang Teori Kontrol. Dua bab terakhir adalah Deret Fourier, dan metoda separasi variabel. Pada dasarnya Deret Fourier adalah teori representasi fungsi periodik dalam bentuk fungsi sinus cosinus. Aplikasi Deret Fourier sendiri sangat luas, termasuk aplikasi di bidang engineering secara umum. Pada kuliah MA2271 ini Deret Fourier akan digunakan untuk melengkapi formulasi solusi persamaan diferensial parsial yang diperoleh melalui penerapan separasi variabel. Hal inilah yang dibahas pada bab terakhir diktat ini. Materi MA2271 ini disusun agar peserta kuliah dapat memperoleh pengetahuan mendasar yang cukup menyeluruh terkait persamaan diferensial, termasuk sekilas mengenai metoda separasi variabel untuk persamaan diferensial parsial. Sedangkan materi persamaan diferensial parsial ada pada MA3073 Persamaan Diferensial Parsial dan MA5273 Persamaan Diferensial Parsial Lanjut.

Bab 2

Persamaan Diferensial Orde Satu Bab ini difokuskan pada pembahasan solusi persamaan diferensial orde satu, yang memiliki bentuk umum F (x, y, y ′ ) = 0.

(2.0.1)

Berbagai metoda penyelesaian persamaan diferensial orde satu adalah sebagai berikut: 1. metoda pengintegralan langsung (direct integration) untuk persamaan diferensial terpisah, 2. penyelesaian persamaan diferensial orde 1 linier, 3. solusi bagi persamaan diferensial eksak, 4. metoda substitusi untuk persamaan diferensial homogen, 5. dan metoda lainnya. Jadi sebenarnya ada banyak metoda penyelesaian persamaan diferensial orde satu, namun cakupan materi MA2271 dibatasi mengingat kami perlu memberikan cukup penekanan pada aspek pemodelannya. Oleh karena itu pada bab ini hanya akan dibahas metoda pengintegralan langsung dan solusi persamaan diferensial linier orde-1. Untuk cara-cara penyelesaian lainnya, pembaca disarankan untuk mempelajari langsung dari buku rujukan utama.

2.1

Persamaan diferensial terpisah, metode pengintegralan langsung

Metoda pengintegralan langsung ditujukan bagi persamaan diferensial orde-1 yang dapat dituliskan sebagai persamaan diferensial terpisah. Bentuk umum persamaan diferensial terpisah adalah: dy = g(x)h(y). dx

(2.1.1)

Dengan asumsi h(y) 6= 0, maka kedua ruas (2.1.1) dibagi dengan h(y) sehingga dihasilkan 1 dy = g(x), h(y) dx

h(y) 6= 0. 9

BAB 2. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

10

Selanjutnya, di kuliah Kalkulus bagian diferensial, kita mempelajari bahwa turunan pertama dapat diberi arti sebagai dy dibagi dx, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

dy dx

1 dy = g(x)dx, h(y)

h(y) 6= 0.

Jika dilakukan pengintegralan langsung seperti Z Z 1 dy = g(x)dx, h(y) 6= 0 h(y) dy dengan dy dibagi dx hanya akan diperoleh solusinya. Perhatikan bahwa langkah menggantikan dx dapat dilakukan terhadap turunan pertama fungsi satu peubah. Dengan demikian metoda pengintegralan langsung ini juga hanya mungkin diterapkan pada persamaan diferensial orde-1. Satu tahap akhir sebelum merumuskan solusi umum (2.1.1) adalah memeriksa apakah h(y) = 0 merupakan solusi atau tidak, yang dilakukan dengan substitusi langsung ke persamaan (2.1.1) semula. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 2.1.1.

1. Tentukan solusi umum persamaan diferensial

dy = ky. dt Penyelesaian: agar dapat diintegralkan maka ruas kiri dan kanan dibagi dengan y, sehingga didapat Z 1 dy dt = kdt. y dt Karena telah dilakukan pembagian dengan y tentu harus dimisalkan y(t) 6= 0 (atau y(t) bukan fungsi nol). Jika perhitungan dilanjutkan maka diperoleh y(t) = exp(kt + C), dengan C ∈ R atau y(t) = K exp(kt), dengan K ∈ R − {0} Selanjutnya diperiksa apakah fungsi nol y(t) = 0 merupakan solusi atau tidak, dengan cara substitusi langsung. Ternyata y(t) = 0 merupakan solusi. Dengan demikian solusi umum persamaan diferensial di atas adalah y(t) = K exp kt,

K ∈ R (Perhatikan K = 0 termasuk). 2

2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial x2 y′ = 3xy2+1 +1 Penyelesaian: agar dapat diintegralkan maka persamaan diferensial dibagi dengan x2 dan dikali dengan...