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DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________

9.6

Diseño de columnas esbeltas

9.6.1 Introducción Una columna es esbelta si sus dimensiones transversales son pequeñas respecto a su longitud o también si su relación de esbeltez definida como la longitud sobre el radio de giro “ l / r “ supera ciertos limites especificados. El primero que intento resolver el problema fue el matemático Suizo Leonhard Euler ( 1707-1783) quien mediante un simple experimento con una barra de madera logro demostrar como entre mas alta sea la longitud de la barra menor es su capacidad de carga axial y mayor su inestabilidad lateral. Sin embargo este resultado no fue aceptado por la comunidad técnica a pesar de que treinta años mas tarde P. Van Musschenbroek logro demostrar mediante análisis matemático la confiabilidad de los resultados de Euler. Por ejemplo Coulomb ( 1776 ) sostenía que “ La resistencia de una columna era únicamente función de su sección transversal y no dependía de su longitud “ tesis apoyada por numerosos ensayos en columnas de madera y hierro de longitud relativamente corta. El primer científico en dar una explicación satisfactoria de la discrepancia entre el desarrollo teórico y los resultados experimentales fue E. Lamarle quien en 1845 logro demostrar la certeza de la ecuación de Euler. Mas tarde investigadores reconocidos como pioneros en la ingeniería: I. Bauschinger (1889 ), Tetmayer ( 1903 ), Considere ( 1895 ) y Von Karman ( 1910 ) demostraron la confiabilidad de la ecuación de Euler. Hasta ahora se ha estudiado que cuando un elemento de hormigón armado se somete a compresión simple, sin flexión, la capacidad de carga axial esta indicada por la ecuación 9.1 o 9.2 y la falla se presentara ya sea por agotamiento del hormigón a compresión o por fluencia del acero a tracción. En estos casos no se ha considerado el efecto de la esbeltez porque se ha asumido por hipótesis que se trata de una columna corta es decir de baja esbeltez. Si la esbeltez crece por efectos ya sea constructivos o arquitectónicos la capacidad dada en las ecuaciones 9.2 o 9.3 no son las correctas y la falla de la columna estará regida por el “ pandeo o flexión lateral del elemento “. 9.6.2 Esbeltez en columnas cargadas concentricamente 9.6.2.1 Antecedentes La información relativa al comportamiento estructural de estas columnas se inicia con la experiencia de Euler en 1757. En forma generalizada el logro demostrar que un elemento a compresión fallara cuando este alcanza una determinada carga conocida como: carga critica “ Pcr “ o carga de Euler o carga de pandeo. La expresión 9.33 se encuentra deducida en todos los textos de resistencia de materiales por lo que aquí solo se hará referencia a ella recomendándole al lector estudiarla para su posterior aplicación. Al analizar la ecuación 9.33 se observa que la carga critica es directamente proporcional a la rigidez de la sección “ E.I “, es periódica “ ð “, es inversamente proporcional a la longitud “ l “ y depende del grado de restricción de los extremos de la columna “ k “. La ecuación 9.33 se puede representar también como la 9.34 en donde se aprecia como “Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez “ l / r “. La figura 9.77 también muestra la relación grafica entre las dos variables mencionadas y los 136 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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rangos de aplicabilidad de 9.33. Se puede demostrar analíticamente que si la columna esta articulada en sus dos extremos “ k = 1.0 “, igualmente si esta doblemente empotrada “ k = 0.50 “, si esta en voladizo “ k = 2.0 “ y si esta con un extremo empotrado y el otro articulado “ k = 0.70 “. 2

Pcr

E.I 2 . kl 2

cr

( 9.33 )

E

l k. r

( 9.34 )

2

Se puede notar como la carga de pandeo disminuye rápidamente al aumentar la relación de esbeltez. Si se grafica “ ó cr vs l / r “ se obtiene la grafica de la figura 9.77 en donde se puede apreciar como el tramo AB muestra la región de columna corta, el BC la región de columna intermedia y la CD la zona de columna esbelta. De esta forma se definen unos limites para la relación “ l / r “ como se indica gráficamente.

ó cr

Zona Columna DE .............. Corta EB ............ Intermedia BC .............. Larga

A D E

óp

B

Curva de Euler

ó cri

C Zona de columna larga

( l / r ) lim

( l / r )i

(l/r)

Figura 9.77 Relación entre la esbeltez y la tensión critica La ecuación 9.34 parte de la base de un material elástico por lo tanto su validez solo se da cuando ó cr > óp . En la igualdad se obtiene el valor limite de “ l / r “ por debajo del cual no es aplicable la formula ( Región AB ). Por ejemplo una barra de acero articulada en sus dos extremos de fy = 420 MPa ( óp = 210 MPa ) y Es = 200.000 MPa presenta un “ ( l / r )lim = 100 “. Así para “ ( l / r )lim < 100 “ la tensión de compresión es menor que la tensión critica y la ecuación 9.34 no es aplicable.

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Cuando “ l / r “ es alto el pandeo se presenta antes de que “ óc = óp “ y la capacidad mecánica de la columna se define por medio de una carga de trabajo o de seguridad. Cuando “ l / r “ es bajo lo mas probable es que la columna falle por agotamiento del material antes de que alcance la tensión critica “ ócr “. En estos casos se establece una tensión máxima utilizando un adecuado coeficiente se seguridad. En el caso dela acero una gran cantidad de experimentos han logrado concluir que si “ l / r < 60 “ => se tiene columna corta; si “ 60 < l / r < 100 “ => se tiene columna intermedia y si “ l / r > 100 “ => se tiene columna esbelta. Además para obtener las tensiones admisibles en estas columnas se debe conocer el diagrama de las tensiones de rotura del material y el coeficiente de seguridad “ n “. Este ultimo depende de factores estadísticos tales como: aumento imprevisto de la carga, errores en su aplicación, excentricidades accidentales. Un valor frecuentemente usado por la ingeniería es el de “ n = 2.5 “. Sin embargo existen también ecuaciones que permiten estimar su valor en función de la esbeltez del elemento como lo indica expresión 9.35. En resumen la elección de un adecuado coeficiente de seguridad es una de las tareas mas engorrosas y difíciles que ha tenido la resistencia de materiales. Para 0 < ( l / r ) < 100 =>

n

2 .0 0 .015 .

l r ( 9.35 )

Para ( l / r ) > 100 =>

n

3 .5

9.6.2.2 Columnas impedidas de desplazamiento lateral ( nonsway ) Este caso se presenta cuando la columna esta conectada a un elemento muy rígido que prácticamente le impida moverse lateralmente cuando se someta a cualquier patrón de carga externa. En la practica estos elementos rígidos, de los cuales mas adelante se hablara, representan núcleos de muros estructurales que van desde la cimentación hasta la parte alta del edificio. Si la columna esta doblemente articulada al alcanzar la carga critica “ Pcr “ se pierde la verticalidad original y esta comienza a doblarse en forma de onda senoidal como se muestra en la figura 9.78.a. En este caso los puntos de inflexión se localizan en los dos extremos de la columna por lo tanto la longitud efectiva “ k.l = l “ y “ k = 1.0 “. La columna alcanza la falla cuando las tensiones adicionales creadas por el desplazamiento horizontal sumadas a las originales alcanzan el valor critico. Cuando la columna esta doblemente empotrada el pandeo se manifiesta como se indica en la figura 9.78.b. Los puntos de inflexión se localizan a una distancia “ l / 4 “ de cada extremo para obtener así una longitud efectiva de “ k.l = l / 2 “ por lo tanto “ k = 2.0 “. Esta columna como se puede analizar rápidamente toma cuatro veces mas carga que la columna anterior. Las dos condiciones anteriores son teóricas ya que en las estructuras reales no existen ni empotramientos ni articulaciones perfectas y lo que se tiene son condiciones intermedias como se muestra en la figura 9.78.c. En estos casos “ k.l “ adquiere un valor entre “ l / 2 y l “ dependiendo del grado de restricción de los extremos. Este grado de 138 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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restricción esta medido como la rigidez relativa entre los elementos verticales y horizontales. En resumen se puede decir: “ En columnas impedidas de desplazamiento lateral el factor de longitud efectiva “ k “ es siempre menor o al menos igual a la unidad. P

P

k.l = l

a) Art-Art.

P

k.l = l / 2

b) Emp-Emp.

l / 2 < k.l < l

c) Conexión real

Figura 9.78 Longitud efectiva en columnas impedidas de desplazamiento lateral 9.6.2.3 Columnas no impedidas de desplazamiento lateral ( sway ) Este es el caso de aquellas edificaciones en donde las columnas tienen libertad para moverse lateralmente cuando actúan las cargas externas. En la practica el sistema estructural que mas representa este caso es el pórtico simple. Cuando una columna empotrada en un extremo y libre en el otro ( voladizo ) se somete a carga axial, figura 9.79.a, se deflectara en la forma indicada en donde el extremo libre se mueve lateralmente respecto al fijo definiendo una forma deformada típica similar a un cuarto de onda senoidal y equivalente a la mitad de longitud de la columna doblemente articulada de la figura 9.78. Los puntos de inflexión están separados una distancia “ 2.l “ de tal forma que la longitud efectiva es “ k.l = 2.l “ para un valor de “ k = 2.0 “. La longitud efectiva de la columna de la figura 9.79.b la cual esta restringida contra rotación en ambos extremos pero en uno de ellos puede desplazarse lateralmente, esta definida como “ k.l = l “ con un valor de “ k = 1.0 “. Si se compara esta columna con la de la figura 9.78.b se nota que la longitud efectiva ha aumentado el doble con la presencia del desplazamiento lateral; esto significa que la resistencia de pandeo ha disminuido en un 75 % lo que ilustra el hecho de que: “ Los elementos sometidos a compresión con libertad de desplazamiento horizontal son mas débiles que cuando están impedidos de este movimiento “. 139 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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Nuevamente, en las estructuras reales las conexiones de los extremos son variables y dependen del grado de restricción que ofrecen los elementos horizontales ( vigas-losas ). P

k.l = l

k.l = 2.l

a) Voladizo

b) Emp.- Art.

l < k.l < ฀

c) conexión real

Figura 9.79 Longitud efectiva de columnas con desplazamiento lateral En las estructuras fabricadas con hormigón armado la practica común es el ensamble monolítico sin posibilidad de conexiones ni articulaciones lo que caracteriza aun mas la forma como se deforma la estructura. Si existen elementos que impidan el desplazamiento lateral la forma deflectada se ilustra en la figura 9.80.a, mientras que si hay posibilidad de movimiento adquiere la forma 9.80.b. En el primer caso “ k.l < l “ y en el segundo “ k.l > 2.l “ lo que representa una menor carga de pandeo.

k.l < l

k.l > 2.l

a) Pórtico sin desplazamiento

b) Pórtico con desplazamiento

Figura 9.80 Longitud efectiva en pórticos de hormigón armado 140 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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9.6.3 Esbeltez en columnas sometidas a flexión mas carga axial En definitiva las columnas de los edificios están sometidas a la acción simultanea de carga axial y momento, este ultimo producido ya sea por la continuidad del sistema o por la presencia de cargas laterales. En estos casos al igual que el numeral anterior la capacidad resistente de la columna se ve afectada por la esbeltez de los elementos. La figura 9.81 ilustra una columna sometida a carga axial “ P “ y un par de momentos en los extremos “ Me = M o “, si no existiera la carga axial el diagrama de momentos seria constante en toda la longitud de la columna con magnitud de “ Mo “ y la forma deflectada es la indicada con la línea punteada en donde “ yo “ es la deflexión en cualquier punto del elemento. Cuando actúa además la carga axial “ P “ el momento en cualquier punto se amplifica en una cantidad igual a “ P “ veces la distancia de la carga a la posición original de la columna “ y “. Este incremento en el momento produce una deflexión adicional, de tal forma que la curva deformada es la indicada con la línea continua. Se concluye que en cualquier punto “ M = Mo + P y “ es decir el momento total es la suma del debido a la flexión mas el de la carga axial. P Me

Mo

yo Mo + P y

y

Me P Figura 9.81 comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple Una situación similar se presenta en la figura 9.82 en donde la flexión es producida por una carga lateral “ H “. Cuando no existe “ P “ el momento producido en cualquier punto “ x “ es “ Mo = H.x / 2 “ con un valor máximo de “ Mo max.= H.l / 4 “ la deflexión lateral en cualquier punto es “ yo “. Cuando se aplica “ P “ se producen momentos adicionales “ P. y “ que se distribuyen como se indica en la figura y el momento en cualquier punto es la suma de las dos fracciones indicadas. 141 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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P H/2

yo

Mo

H Mo + P y

y

H/2

P Figura 9.82 Comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple La deflexión “ y “ de la elástica de una “ viga-columna “ de la forma y tipo indicada anteriormente puede determinarse a partir de la deflexión “ yo “ del elemento sin carga axial utilizando la expresión 9.36 la cual fue deducida por Timoshenko en 1909 y fue propuesta como método alternativo siempre y cuando la relación “ P / Pcr < 0.6 “. Se encuentra deducida en cualquier texto de teoría de elasticidad o de estabilidad elástica. y

1

yo . 1

( 9.36 )

P Pcr

La ecuación 9.36 es aproximada y representa la deflexión en función del elemento sin carga axial “ yo “ mas la contribución de la carga axial que es un factor que depende de la relación carga axial sobre carga critica “ P / Pcr “. Sea “ Ä “ la deflexión en el punto de momento máximo en las columnas de la figura 9.81 y 9.82 =>

M max

M o P. y

Mo

1

P. y o. 1

P Pcr

1

Mo 1

P Pcr

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Esta expresión se puede organizar de forma diferente para tener en cuenta algunos factores no considerados en la deducción inicial. Este trabajo lo realizaron MacGregor, Breen y Pfrang en 1970 y se indica a continuación: M max

Mo

1 1

P Pcr P Pcr

En donde “ ø “ es un coeficiente que depende del tipo de carga y varia aproximadamente entre – 0.20 y 0.20 para la mayoría de los casos prácticos. Considerando que “ P / Pcr “ por lo general tiene valores significativamente menores que la unidad, el segundo termino del numerador de la ecuación anterior es pequeño comparado con la unidad, por lo tanto si se desprecia este valor se obtiene una expresión simplificada de diseño fácil de manejar y recordar: M max

Mo .

1 1 P Pcr

( 9.37 )

la expresión “ 1 / ( 1- P / Pcr ) “ se conoce como el factor amplificador de momentos y refleja la cantidad numérica en que se debe aumentar “ Mo “ por la presencia de la carga axial “ P “. Si se verifica la ecuación 9.37 se encuentra que este factor tiene un valor de 2.5 cuando la relación “ P / Pcr “ es igual a 0.6. Ya que “ Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez es evidente que el momento máximo en el elemento aumenta cuando se presenta este efecto como se ilustra en la figura 9.83 en donde para una carga transversal dada “ H “ la cual produce un momento inicial “ Mo “ la acción de una carga axial “ P “ produce un mayor momento en un elemento de mayor esbeltez que otro.

M Mo + P y 2

Mo + P y 1

Mo kl/r ( K l / r)1

( K l / r)2

Figura 9.83 Aumento del momento con la esbeltez

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En los casos anteriores se ha considerado como hipótesis que los momentos que producen la flexión mas la carga axial en las columnas se pueden adicionar para obtener el máximo momento en el elemento ( curvatura simple ). Sin embargo a pesar de ser este el caso mas desfavorable no es el caso general y en algunos casos se presentan elementos donde los momentos máximos se dan en diferentes partes tanto para la carga axial como la flexión. Este caso es el de columnas con doble curvatura, es decir momentos en los extremos iguales y opuestos, figura 9.84. En estos casos la deflexión producida por la flexión nuevamente se incrementa con la presencia de la carga axial pero el factor amplificador ya no es el mismo porque el efecto es menor en estos casos. La ecuación 9.38 muestra el valor de la deflexión lateral en elementos sometidos a flexión mas compresión doble curvatura. yo . 1

y

1

( 9.38 )

P 4 .Pcr

El momento adicional producido por la carga axial “ P.y “ se distribuye como se muestra en la figura 9.84. Aunque el momento “ Mo “ es mayor en los extremos los momentos producidos por “ P “ son de mayor cuantía en los tercios medios de la columna. Dependiendo de las magnitudes relativas, los momentos totales se distribuyen como se indica en la figura 9.84 es decir estos pueden ser mayores en los extremos o en los puntos intermedios entre los extremos y la mitad de la luz. P

Me

P.y

Mo

+

M max

=

o

- Me P Figura 9.84 Momentos en columnas con doble curvatura En forma general el tratamiento del momento en columnas con simple y doble curvatura se puede resumir así: “ El momento Mo producido por la flexión se considera mas o 144 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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