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Apunte sobre pandeo de columnas del profesor Guillermo Gonzalez Baquedano...

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PANDEO EN COLUMNAS

En la determinación de la resistencia de una estructura a soportar cargas, interesa su estabilidad estructural; es decir, su capacidad para soportarlas sin experimentar un cambio en su configuración, que produzca fallas catastróficas o deformaciones permanentes. Los elementos cargados en compresión, por originar ésta una condición de equilibrio inestable, pueden fallar o colapsar por una flexión bajo compresión antes que se alcance la carga de fluencia. Este colapso se denomina pandeo y su estudio se basará en elementos prismáticos verticales denominados columnas. Existen también otros tipos de pandeo como el pandeo local, lateral u otros. En resumen el pandeo es un colapso producido por la inestabilidad elástica de la columna, sujeta a estados de esfuerzos en compresión. ECUACIÓN DE EULER PARA COLUMNAS ARTICULADAS(COLUMNA DE EULER)

Se trata de encontrar la carga crítica a la cual se produce el colapso de la columna (inestabilidad elástica),

en tal caso se producirá una deformación de la columna como

la de la figura. P

P A

y

x

Mf

l P

y

B

Considerando la columna bajo una carga axial P, y designando por y la deflexión experimentada desde el punto A y tomando el eje x vertical y dirigido hacia abajo se establece el siguiente análisis a partir del diagrama de cuerpo libre:

Se recordará que:

Mf P y d 2y   2 dx E  I  E I 

sea;

d 2y P  y  0 dx 2 E  I 

Que es una ecuación diferencial ordinaria , lineal, homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. Haciendo p 2 

P E  I

d 2y  p2 y  0 2 dx

Resulta

Para esta ecuación diferencial se tiene una solución del tipo:

y  A  sen px  B cos px  Donde A y B son constantes que dependen de las condiciones de borde, que, para nuestro caso son: i) X=0 ii) X=L



y=0, con lo cual B=0 

y=0, con lo cual A sen (px) =0.

La primera es la solución trivial  A=0 lo que implica que y=0 (columna recta) La segunda solución es sen (pl) =0  pl = n. Sabiendo que p2 = P/EI, obtenemos: Pcrít =

n 2 EI L2

Esta es la “Ecuación de Euler”, en honor al matemático Leonhard Euler (1707-1783).

De otra forma:

Pcrít 

 2 EI  L   n

2

Para nuestro caso con n=1 (columna rotulada-rotulada)

Y la solución para la deflexión es: y  Asen

x L

Debe notarse que ymáx =A para x=L/2, ya que la solución o la EDO es una aproximación linealizada de la ecuación diferencial real para la curva elástica.

Para el caso de columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia I de la sección transversal es el mismo respecto a cualquier eje centroidal y la columna se curvará en un lado u otro lado dependiendo de las condiciones de borde. Para otras secciones la carga crítica debe calcularse haciendo I = Imín. Si el valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico crít y haciendo I=Ak2 ; en donde A es la sección transversal y k es el radio de Inercia, entonces:

crít

= P crít /A

=  2 E k2 / L2

de donde:

 crít 

 2E L   k

2

Se define L/k como la relación de esbeltez característica de la columna, designada por la letra griega . Obtendremos ahora la esbeltez crítica, es decir, el valor de  mínimo para el cual comienza a regir la ecuación “Ecuación de Euler” . Si analizamos el diagrama de Esfuerzo-Deformación

- f l p

- El ezfuerzo

Proporcional es el límite donde en la realidad se mantiene constante el

Módulo de Elasticidad ( rige exactamente la ley de Hooke), recordemos que la resistencia a la fluencia se adopta por convención a un 0,2% de la deformación total. El valor aproximado para el esfuerzo proporcional es p

 0,5 fl.

Si reemplazamos p en la ecuación de Euler obtendremos:

crít  

2E fl

EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER A COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES EXTREMO.

El análisis de la columna de Euler se efectuó para condiciones de borde tal que en X=0  y=0 ; X=L  y=0. Que corresponden a una columna rotulada-rotulada; en tal caso.

L= Le (Longitud de Euler característica) De modo que:

 crít luego =

Le/k

 2E   2

El análisis se remitirá a establecer la forma en que se pandeará la columna y visualizar donde se forma la columna de Euler. A continuación se muestran algunos casos con diferentes condiciones de borde.

Insertar figura

CLASIFICACIÓN DE LAS COLUMNAS. En general podemos clasificarlas en columnas esbeltas o largas en donde,

>crít, y

columnas cortas en donde < crít. Si a partir de la ecuación de Euler graficamos  como función de  veremos:

Note que para > crít (Columna Esbelta), la columna se pandeará elásticamente, en tal caso:

 crít 

2 E  2

Ahora si < crít (Columna Corta), La columna se pandeará anhelasticamente, en ta l caso el esfuerzo crítico está representado por un arco parabólico de la forma:

 crít   fl  c2 un valor bastante utilizado para la constante c es:

c

 fl (2 ) 2 E l

quedando el esfuerzo crítico definido como

 crit   fl (1 

 fl  (

E 2

)2 )

Finalmente el factor de seguridad quedará definido como:

FS 

 CRIT TRAB

Ejercicio: Para el Esquema de la figura se pide determinar Qmáx que es capaz de soportar la viga de acero A37/24 si se quiere un FS=2

L

Datos:



= 7,85 gr/dcm3

L

= 8000 mm

Para el esquema

DCL

De la geometría de la viga: A0 =

20 x 20 – 19 x 16

q = A0 x 

= 96 cm2 = 0,7536 kgf/cm2

1000 x = 20 x 203 – 19 x 163

= 6848 cm4

12 Wx = x /10

= 684,8 cm3

y = 2 x 2 x 20 3 + 16 x 13

= 2668 cm4

12 = 266,8 cm3

Wy =y /10 kx = ( x / A0 )1/2

= 8,446

ky = ( y / A0 )1/2

= 5,272

Lex = Ley

 Le = 800 cm

=L

Luego: c=  (2E/fl)1/2 x

= Lex / kx

= 131,4 =800/8,446

= 94,72 < c  Columna Corta

y

= Ley / ky

=800/5,272

= 151,7 > c  Columna Esbelta

para x ( pandeo anelástico ): cx

= fl ( 1 - fl/E (/2)2 )= 1776,7 kgf/cm2

para y ( pandeo elástico): cy

=  2 E/2

=  2 x 2,1 x 106 /151,72 = 900,6 kgf/cm2

luego se pandeará en y para lo cual c= 900,6 kgf/cm2

del diagrama de cuerpo libre i) fx = 0  O x – T cos 30º = 0  Ox = Tcos 30º ii) M0 = 0  Tsen30º L – Q L – q L2 /2 = 0  T= (Q + q L/2 )/sen30ºreemplazando en i)  O x = (Q + q L/2)/ tg30º de flexión se tiene Mfmáx = qL2 /8 cm kgf ahora trab = O x /Ao + qL2 /( 8 W ) a) trab = 3((Q + q L/2)/ Ao) + qL2 /( 8 W  )

Además

adm . = c/FS

Igualando

adm = trab y reemplazando en a):

= 900,6/2

=450,3 kgf/cm2

450,3 = 3((Qmáx + 0,7536x 800/2)/96) + 0,7536x 800 2 /(8 x 266,8) se llega a Qmáx= 12133 kgf...