Tema 08. Pandeo - Apuntes 8 PDF

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Apuntes tema 8 de Ciencia y Resistencia de los ateriales de Ingeniería de la salud....

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Lección 8: Pandeo.

Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

Introducción

Cuando la fuerza axial que se ejerce sobre un prisma mecánico recto es de compresión, el comportamiento es tanto más distante del que corresponde a un esfuerzo de tracción cuanto mayor es la relación entre la longitud y la dimensión de la sección recta, es decir cuanto más esbelta es la pieza

El fenómeno por el cual la pieza sometida a compresión se flexiona lateralmente, recibe el nombre de pandeo o flexión lateral.

Experimentalmente podemos comprobar que, si sometemos a compresión axial piezas de la misma sección recta, del mismo material, pero de diferentes longitudes, la carga que produce el cambio de forma de la línea media es menor cuanto más esbelta es la pieza.

Si una vez producida la deformación de la línea media, la carga de compresión sigue aumentando lentamente, se siguen produciendo deformaciones cada vez más rápidamente y la pieza se rompe para un valor de carga ligeramente superior a la carga crítica.

Un sistema elástico sometido a unas cargas determinadas es estable cuando pequeñas perturbaciones momentáneas originan en el sistema desplazamientos que desaparecen al suprimir dichas perturbaciones. Si los desplazamientos aumentan de un modo continuo después de suprimir las perturbaciones, el sistema es inestable. Si el sistema permanece desplazado después de que las perturbaciones han desaparecido, el sistema es indiferente.

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO Estabilidad del equilibrio elástico. Noción de carga crítica.

Supongamos que el extremo A, contado a partir de su posición de equilibrio, sufre un pequeño desplazamiento AA’ = x. Sobre el extremo A’ actúa una fuerza horizontal de módulo kx que ejerce el resorte y que, en caso de desaparecer la fuerza causante del desplazamiento, hace que la barra vuelva a ocupar su posición vertical de equilibrio. El equilibrio en este caso es estable.

Supongamos que en el extremo de la barra actúa una fuerza F dirigida hacia abajo. Estudiaremos la estabilidad del sistema y para ello tomaremos momentos respecto de O de las fuerzas que actúan sobre la barra y que son Fx de la fuerza F que tiende a separar la barra de su posición de equilibrio y kxl, antagonista del anterior producido por la fuerza horizontal del resorte que tiende a recuperar el equilibrio.

El equilibrio de la barra será estable si se verifica que : kxl Fx o sea que F kl esto quiere decir que el equilibrio es estable solamente si la fuerza F aplicada es inferior a un cierto valor crítico Fcr = kl. Superado este valor el equilibrio ya es inestable.

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO Pandeo de vigas rectas de sección constante sometidas a compresión. Fórmula de Euler.

Momento flector M F

Py

MF EI z

Ecuación de la elástica: y ' ' Cuya solución es; y

C2 y

b) para x

l 2

y

P y EI z

y' '

P EI z

y 0

P P x C 2 cos x. EI z EI z

C1 sen

Condiciones de contorno: a) para x 0 y 0

y''

0

C1 sen

y máx ⇒ sen y

P EI z

y máx sen

P x EIz 1 ; entonces C1

y máx

P x EI z

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

c) para x

sen

l

P x EI z

y 0

0

0

P x EI z

P x ; como y máx EI z

y máx sen n P

0 entonces

de donde se obtiene que

n2

2

EI z

2

l 1 se tiene el menor valor de P que se denomina carga crítica de

Para n pandeo

2

Pcr

EI z

l2

Fórmula de Euler

Cuando la carga P adquiere el valor Pcr , el equilibrio estable de la pieza recta se convierte en equilibrio inestable o indiferente, ya que la ecuación de la elástica será

y

C1 sen

l

x

La fórmula de Euler nos dice que si la fuerza de compresión que actúa sobre la viga de sección recta constante alcanza la carga crítica de pandeo la constante C1 de la ecuación de la elástica ( que representa la máxima deformación) se puede hacer arbitrariamente grande, lo que produciría inexorablemente la ruina o rotura de la viga.

x

z P 2

y

Pcrz Pcry

EI z l2 2 EI y l2

El pandeo se puede producir en cualquiera de los planos xy ó xz y

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

¿Cómo sabemos por cuál plano se va a producir el pandeo?

Esta condición la deducimos directamente por simple inspección de la fórmula del Pcr . El plano de pandeo vendrá determinado por el menor valor de la carga crítica de pandeo que corresponderá al menor valor del momento de inercia (ya que todos los restantes factores que aparecen en la fórmula son constantes)

El plano de pandeo tiene lugar en el plano de mínima rígidez. Las secciones transversales giran alrededor del eje de menor momento de inercia.

Si aplicamos la carga de compresión según el eje x y si I z I y el pandeo se produce en el plano longitudinal xy. Iy

I z el pandeo se produce en el plano longitudinal xz.

La fórmula del Pcr nos quedará entonces 2

Pcr

EI min l2

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO Conceptos importantes

Longitud de Pandeo l p : Es la distancia que existe entre dos puntos consecutivos de inflexión de la línea elástica

Esbeltez mecánica:

lp i

l p longitud de pandeo i radio de giro mínimo (i 2 2 EI min Pcr Pcr l2

I) 2

Ei 2 l p2

2

E

l ( p )2 i

Coeficiente de reducción de longitud

: lp

2

Pcr

E 2

l

2

Pcr

EI z ( l )2

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

=2

= 0,7

= 0,5

=1

l

Libre-empotrado

articulado-empotrado

biempotrado

biarticulado

Límites de aplicación de la Fórmula de Euler

A partir de 2

Pcr

EI z

l2

se puede deducir que: La carga crítica de pandeo para una determinada sujeción no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elasticidad

Para optimizar la resistencia al pandeo de una barra de sección dada, habrá que conseguir que el momento de inercia de la sección respecto a cualquiera de los ejes principales, tenga el valor máximo posible, es decir tendremos que alejar el material lo más posible del c.d.g de la sección, de tal manera que los momentos de inercia respecto a los ejes principales sean iguales.

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

Cuando se alcanza la carga crítica, el estado tensional simple de la barra es:

Pcr cr

2

E 2

o sea que

cr

f( )

hipérbola de Euler

Del estudio de la curva: Para piezas de esbeltez elevada, cr es muy pequeña una pieza muy esbelta pandea para una tensión de compresión muy pequeña. La hipérbola de Euler sólo es válida hasta un valor lím a la que corresponde un

cr

e

(límite elástico)

La fórmula de Euler será válida solamente para piezas de esbeltez superior a aquella para la cual cr e.

Hay que tener en cuenta que la fórmula de Euler nos da la carga crítica y no la carga de trabajo. Para calcular la carga admisible Pp adm habrá que dividir la carga crítica por un coeficiente n de seguridad a pandeo

Pp adm

Pcr n 8

Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

Cálculo de pandeo por el método de los coeficientes

Para que no haya pandeo en una barra sometida a compresión axial es necesario que

P cr adm

cr adm

es función de la esbeltez

Se define el coeficiente de pandeo

adm

donde

cr adm

tensión de compresión admisible del material. Entonces, P P adm adm

adm

es función del material y de la esbeltez Existen tablas de para distintos aceros y valores de Para 20 ⇒ 1 (no se considera pandeo)

.

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Resistencia de Materiales LECCIÓN 8: PANDEO

Coeficientes

para aceros

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Problemas de la Lección 8: Pandeo

Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 1: Se desea dimensionar un pilar IPN de acero A-37, de 6m de longitud, empotrado en sus extremos y sometido a una carga de compresión de 30 T. Considere los siguientes casos: 1. Sólo compresión. 2. Considerando pandeo. Datos: = 1400Kg/cm2. adm

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Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 2: Una columna de 10 m de altura, simplemente apoyada, está formada por dos perfiles UPN soldados formando cajón, como se indica en la figura. Calcular la carga crítica de pandeo.

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Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 3: En una estructura articulada, como se indica en la figura, las barras son de sección cuadrada 4 x 4 cm 2. Calcular la menor magnitud de la carga P para la cual se produce la rotura de la estructura, indicando en qué barra se inicia la misma.

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Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 4: Una barra de duraluminio de sección rectangular simplemente apoyada, está sometida a una carga de compresión P, como se muestra en la figura. Determinar tensión crítica de pandeo y carga crítica de pandeo.

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Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 5: Calcular la carga máxima de compresión que debe soportar una columna de acero A-37 y de longitud L, doblemente empotrada, constituída por: a) Un tubo rectangular. b) Un perfil IPN-20. Datos: adm = 1400 kg/cm 2, L = 6 m.

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Problemas de la Lección 8 PANDEO

Problema 6: Una estructura articulada está sometida a las cargas horizontales P. Dimensionar las barras utilizando acero A-42 y secciones circulares huecas de razón d/D = 0,8 2 Datos: P = 26000 3 kg, adm = 1520 kg/cm , L=2m .

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