Distribución de Erlang PDF

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Consulta de Codificación ...

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Comunicación y Codificación Digital Nombre: Byron Motoche

NRC: 3471

Distribución de Erlang Como describe Thomopoulos (2017) el origen de la distribución de Erlang es atribuido a Agner Erlang, un ingeniero Danés de la Compañía de Telefonía de Copenhagen, quien en 1908 buscaba cuánta s troncales se necesitan para acomodar el tráfico de voz en su sistema telefónico. Esta distribución es muy utilizada en el estudio de los sistemas de colas (queuing systems). Thomopoulos (2017) y Forbes et al. (2011) mencionan que la distribución de Erlang es un caso especial de la distribución Gamma, donde el parámetro es un número entero positivo para la distribución de Erlang, y es cualquier número positivo para la distribución Gamma. La distribución de Erlang tiene formas que van desde exponenciales a normales. La distribución de Erlang tiene dos parámetros: y .  

es el parámetro de forma. es el parámetro de escala.

La suma de las variables aleatorias exponenciales con el mismo factor de escala , forman la variable aleatoria de Erlang.

Cuando se reduce a una distribución exponencial. A medida que aumenta, la distribución de Erlang se aproxima a la normal debido al teorema del límite central. Ambas aseveraciones se muestran gráficamente en la figura 1. Función de Densidad de Probabilidad ()

(

)

Función de Distribución Acumulada ()

[ ( )

( )

( )

Media

Varianza

Moda 

(

)

]

Figura 1. Función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang, cuando y . Cuando , la distribución es exponencial, al aumentar el valor de la forma se asemeja a la de una distribución normal.

Erlang B y Erlang C Erlang trabajó mucho en el modelado de tráfico. Por lo tanto, hay otras dos distribuciones de Erlang, ambas utilizadas para modelar el tráfico (EventHelix, 2017): Distribución Erlang B: es la más simple, permite calcular la probabilidad de que una solicitud de recursos del cliente sea denegada debido a la falta de recursos. Funciona bajo las siguientes condiciones:      

La cantidad de clientes es mucho mayor que la cantidad de recursos disponibles para atenderlos (al menos 10 veces). Las solicitudes de los clientes son independientes entre sí. Las solicitudes de los clientes se bloquean solo cuando no hay recursos disponibles para atenderlos. Cuando un cliente no puede recibir servicio, la solicitud de recurso simplemente se rechaza. No se hace ningún intento de poner en cola la solicitud del cliente. El cliente no reintenta la solicitud después de que se le haya denegado el servicio. El recurso se asigna exclusivamente a un cliente para el período especificado. El recurso no puede ser compartido con otros clientes.

∑ : es el número total de recursos en el sistema : es el tráfico total en Erlangs : es la probabilidad de que una solicitud de un cliente sea rechazada debido a la falta de recursos.

Distribución de Erlang C: esta fórmula es mucho más difícil, le permite calcular la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por un recurso. Es aplicable bajo las siguientes condiciones:     

La cantidad de clientes es mucho mayor que la cantidad de recursos disponibles para atenderlos (al menos 10 veces). Los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. Los clientes no abandonan las solicitudes de recursos mientras esperan un recurso, los clientes permanecen en la cola hasta que se pueda encontrar un recurso gratuito Las solicitudes de los clientes son independientes entre sí. El recurso se asigna exclusivamente a un cliente para el período especificado. El recurso no puede ser compartido con otros clientes.

∑

: es la probabilidad de que un cliente experimente un retraso distinto de cero en la obtención de un recurso. : es el número total de recursos disponibles. : es el tráfico total ofrecido en Erlangs.

Referencias   

Nick T. Thomopoulos (2017) Statistical Distributions: Applications and Parameter Estimates, Springer International Publishing. Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings & Brian Peacock (2011) Statistical Distributions, Fourth Edition. John Wiley & Sons, Inc. EventHelix (2017) Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C. Disponible en https://www.eventhelix.com/RealtimeMantra/CongestionControl/resource_dimensioning_er lang_b_c.htm#.XDu5WVVKgdU...