Distribución Poisson, definición y características principales PDF

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Summary

Breve resumen a cerca de la definición de la distribución de Poisson, requisitos, parámetros y propiedades que la caracterizan, además de un ejemplo para la materia de estadística....

Description

Distribución Poisson Una distribución de probabilidad de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún evento en un intervalo especificado. La variable aleatoria x es el número de ocurrencias del evento en un intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar. La probabilidad de que el suceso ocurra x veces en un intervalo está dada por la siguiente fórmula:

Requisitos para la distribución de probabilidad de Poisson: 1. La variable aleatoria x es el número de ocurrencias de un evento en algún intervalo. 2. Las ocurrencias deben ser aleatorias. 3. Las ocurrencias deben ser independientes entre sí. 4. Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas a lo largo del intervalo utilizado. Parámetros de la distribución de probabilidad de Poisson: • La media es µ. • La desviación estándar es σ = µ. Propiedades de la distribución de probabilidad de Poisson: 1. Una distribución particular de Poisson está determinada solamente por la media µ. 2. Una distribución de Poisson tiene posibles valores x de 0, 1, 2, . . . , sin límite superior. En base a la definición proporcionada, la distribución de Poisson permite conocer la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante un período de tiempo definido o en un área determinada. Por tal motivo, algunas de sus aplicaciones en las ciencias pueden ser: ● Calcular el número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de estar expuesta a cierta cantidad de radiación. ● Calcular el número de núcleos atómicos inestables que se han desintegrado en un determinado período. ● Calcular el número de estrellas en un determinado volumen de espacio.

Ejemplo: Problema En el juego Maine Pick 4, usted paga 50¢ para seleccionar una secuencia de cuatro dígitos (del 0 al 9), como 1377. Si juega este juego una vez al día, encuentre la probabilidad de ganar al menos una vez en un año de 365 días.

Solución

El intervalo de tiempo es un día, y al jugar una vez cada día se tiene n = 5 365 juegos. Debido a que hay un conjunto ganador de números entre los 10,000 que son posibles (de 0000 a 9999), la probabilidad de un juego ganado es p = 1/10,000. Con n = 5 365 y p = 1/10,000, se satisfacen las condiciones n ≥ 100 y np ≤ 10, por lo que podemos usar la distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial. Primero necesitamos el valor de p, que se encuentra como sigue:

Después de haber encontrado el valor deµ , podemos proceder a encontrar la probabilidad de valores específicos de x. Debido a que queremos la probabilidad de que x sea “al menos 1”, usaremos la estrategia inteligente de encontrar primero P(0), la probabilidad de no ganar en 365 días. La probabilidad de al menos un juego ganado se puede encontrar rescatando ese resultado de 1. Encontramos P(0) usando x = 0, µ . = 0.0365 y 𝑒 = 2.71828, como se muestra aquí:

Si se usa la distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial, encontramos que hay una probabilidad 0.9642 de no ganar un juego, por lo que la probabilidad de al menos un juego ganado es 1 - 0.9642 = 0.0358. Si usamos la distribución binomial, obtenemos una probabilidad de 0.0358, por lo que la distribución de Poisson funciona muy bien aquí.

Bibliografía: -Triola M. (2018). Distribuciones de Probabilidad Discreta. En Estadística (pp. 214-217). México: Pearson....