Dominio y Recorrido de todas las funciones PDF

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1. DOMINIO Dominio de

) o campo de existencia de ( ) es el conjunto de valores para los que está definida la

función, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente “x” . Se denota por Dom(f).

Dom( f ) { x

/ y

f ( x)}

con y

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA Cuando una función se presenta a través de su gráfica, con proyectar sobre el eje de abscisas (eje OX) dicha gráfica conseguimos su dominio de definición. Esto es así porque cualquier valor “x” del dominio tiene una imagen “ y

f (x)”,

y, por lo tanto, le corresponde un punto ( x, y) de la gráfica. Este punto es el que, al proyectar dicha imagen sobre el eje OX, nos incluye ese valor dentro del dominio. En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala del

eje

de

Dom ( f ) (

abscisas). En

, 4)

este

caso

tenemos

que

(4,8] .

De una manera no formal, podríamos decir que si aplastamos la gráfica sobre el eje OX y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f. OBTENCIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA I)

FUNCIÓN POLINÓMICA: f ( x)

P ( x) ⇒ Dom( f )

Ejemplos

II)

a)

f ( x)

x3 5x 2

b)

f ( x)

2 x4

2 x 3

x2

5

función polinómica ⇒ Dom ( f )

3 x 1 3

FUNCIÓN RACIONAL: f ( x )

función polinómica ⇒ Dom ( f )

P (x ) ⇒ Dom (f ) Q(x )

{x /Q (x )

0}

Ejemplos

a) f (x )

x 2 x 4x 5 2

función racional ⇒

Dom( f )

{x

/ x2

4 x 5 0}

{ 1,5}

x2

4x 5 0

x 2 x2 4

b) f (x )

x

2

x

4

16 20 2

función racional ⇒

4 0 x

2

Dom ( f )

5

1 / x2

{x

4 0}

4 ⇒ no tiene solución real

4 x

III) FUNCIÓN RADICAL: f (x

4 6 2

4 6  2   4 6   2

n

n par ⇒ Dom( f ) { x Dom( g ) / g( x) g (x ) ⇒  n impar ⇒ Dom ( f ) Dom( g )

0}

Ejemplos

a)

⇒ x 2 1 función radical

f (x )

/ x 2 1 0} (

Dom( f ) { x

, 1] [1,

)

Tenemos que resolver la inecuación : x2 1 0

Ceros

x

b) f ( x )

1 4

4 x

2

2

función radical⇒ Dom( f ) { x

Tenemos que resolver la inecuación : 4

2

x

2

1 0x

/ 4 x2

1x

1x

1 xò

1

0} ( 2,2)

0

Ceros

x4

2

0x

2

4x

4x

2 xò

2

c)

f (x )

d) f ( x )

3

x2

1

5

1 función radical⇒ Dom ( f ) Dom ( y

5x

x 2

1   x 2

 Dom y 

función radical ⇒ Dom( f )

x2

5x 1)

{ 2}

IV) FUNCIÓN EXPONENCIAL 1) f ( x)

2)

a x con a

0, a 1⇒ Dom( f )

f (x ) a g( x) con a

0, a 1 ⇒ Dom ( f ) Dom (g )

Ejemplos

a) f (x )

2

x 3

⇒ Dom (f ) Dom (y

2

b) f ( x ) e x

x 2 3x

2

⇒ Dom( f )

3x

0

x (x 3)

0

 Dom y 

3) ) {x

x

2 x

2

  3x 

/x

3 0} [3,

{x

/ x 2 3 x 0}

{x

/ x 2 1 0}

x 0   x 3 0 ⇒ x 3 

2

c)

f (x )

x

2

 1  x2   2 

1 0

x

1

⇒ Dom( f ) 2

 Dom y 

2 x

2

  1

1 ⇒ No tiene solución real

)

{0,3}

V)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

0, a 1 ⇒ Dom ( f ) (0,

1)

f (x ) loga x con a

2)

f ( x) loga [ g( x)] con a 0, a 1 ⇒ Dom( f ) { x Dom( g) / g( x) 0}

)

Ejemplos

a)

f ( x) log 2 (2 x 1) ⇒ Dom( f ) { x x2

b)

x

1 0

x2

1 x

x 3

0x x (

3x) (

  

1 2

f( x) ln( x3 3 x) ⇒ Dom( f) { x

3

 1 / 2 x 1 0}  ,  2

/ x3 3 x 0}

3) 0 x

(

3 ,0)

(

3,0)

( 3,

( 3,

)

)

Ceros

x3

3x

0

x ( x2

3) 0

x 0    2 x 3 0 ⇒ x

3

VI) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIÓN SENO a) f ( x)

sen x ⇒ Dom( f )

Periodo

b)

f ( x)

T

2

sen[ g ( x )] ⇒ Dom( f )

Dom( g)

Ejemplo

 1  f (x ) sen  ⇒ Dom( f )  x 2

 Dom y 

1   x 2

{x

FUNCIÓN COSENO a) f ( x)

cos x ⇒ Dom( f )

Periodo

b) f ( x)

T

2

cos[ g (x )] ⇒ Dom( f )

Dom( g)

Ejemplo

f (x ) cos(ln x ) ⇒ Dom ( f )

Dom( y

ln x) (0,

)

/ x 2 0} (2,

)

FUNCIÓN TANGENTE ) x ⇒ Dom f ( ) x { f x ( tg Periodo

/ cos x

 k( 2 

0}

  

1); k 2

T

FUNCIÓN COTANGENTE

f (x ) Periodo

cotg x ⇒ Dom ( f ) {x T

/sen x

0}

{k ;k

}

FUNCIÓN SECANTE f x ( ) xsec⇒ Dom f ( )x { Periodo

T

/ cos x

0}

 k (2 

  

1;)k 2

2

FUNCIÓN COSECANTE

f ( x)

cosec x ⇒ Dom( f ) { x

Periodo

T

2

/ sen x 0}

{k ; k

}

g (x) h( x)

VII) COCIENTE DE FUNCIONES NO POLINÓMICAS: f ( x )

Dom ( f ) [Dom (g )

Dom (h )] {x

Dom(h) / h (x ) 0}

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula) Ejemplos x ln( x 1)

a) f ( x )

Dominio



y

x



y

ln(x 1)



ln(x 1) 0

Dominio {x x 1 1

/ x 1 0} {x

x

/ x 1} (1,

)

2

Por tanto, Dom ( f ) (1,2)

b) f ( x )

2x 10 ex 1 1 2x

 y

10

Dominio {x

2 x 10 0 

y ex 1 1

 ex

1

1 0

2x

10

5

x [ 5,

)

)

Dominio ex 1

1

x 1 0

VIII) FUNCIONES DEL TIPO: y

Ejemplos 1

 3 x x2    5x 5

x

( 1,

1

)

f (x )g ( x )

Dom( f ) / f ( x) 0}

(Valores de x en los que f ( x)

a) f ( x )

10 0} [ 5,

x

Por tanto,Dom ( f ) [ 5, 1)

Dominio { x

/ 2x

Dom( g)

0 y f y g están definidas a la vez)

(2,

)



3 x 5x 5

0

x (1,3)

Ceros

x 0⇒ x 3

3



y

1 x

Dominio

2

Por tanto, Dom( f ) (1,3)

Polos

5x 5 0 ⇒ x 1

{2}

(

{2}) (1,2)

(2,3)

IX) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Se estudian las funciones parciales en cada uno de los subintervalos en los que están definidas. Ejemplo

a)

 2x 3 1  f (x )  x  x 2

si

3 x

si si

x 3

1 x

1

5

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales 

y

2x 3



y

1 x



y

x 2

Dominio

Dominio Dominio

Por tanto, Dom ( f ) ( 3,0)

⇒ ( 3, 1] {0} ⇒ ( 1,0) ⇒ [5,

(0,3)

[5,

Dom( f ) (0,3) Dom( f )

)

)

Dom( f )

b)

 1  x2 2 x  1  f (x )   ln( x 1) x 2  

si

x 1

si 1 x si

6

x 6

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales 

1

y

x

x 

y

2

2

x2

1 ln( x 1)

⇒ (1,2) 

y

0 x x(

x 2

2) 0 x

Dominio {x

(2,6)

2x

0 òx /x

0}

⇒ [6,

1 0} {x / ln(x

{0,2}

)

{0, 2}⇒

(

,0)

(0,1] Dom ( f )

2

Dom( f )

Dominio

Por tanto, Dom ( f )

/ x2

{x

Dominio

2x

Dom( f )

1) 0} (1,

) {2} (1,2)

( 2,

)⇒

2. RECORRIDO Recorrido de ( ) es el conjunto de valores que toma la variable dependiente “y”, es decir, el conjunto de números reales que son imagen de algún elemento del dominio de f(x). Se denota por Rec(f).

Re c( f ) { y

/ x

Dom( f ) con f ( x)

y}

OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA Para calcular el recorrido de una función, se representa gráficamente y luego se estudia sobre el eje de ordenadas. Procedemos igual que en el dominio, pero ahora proyectamos sobre el eje de ordenadas. En la gráfica de la derecha Rec( f )

{0}.

OBTENCIÓN DEL RECORRIDO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA Para calcular el recorrido de una función expresada en forma analítica,y

f (x) , se debe encontrar una

expresión en la que se puedan obtener los valores de la variable “x” en función de los valores de la variable “y”. Esta expresión no siempre es una función, como veremos más adelante, pero su dominio constituye el recorrido de f (x) . Ejemplo: Calcular el recorrido de la función y

x . 2x 1

Hay que obtener “x” en función de su imagen “y”, y determinar el dominio de esta expresión.

y

x ⇒ y (2 x 1) 2x 1

x

f 1 ( y) existe

Por tanto, Re c( f )

x ⇒ 2 xy

2y 1 0

1    2 

y

y

1 2

x ⇒2 xy x

y ⇒ x (2 y 1)

y⇒ x

y 2y 1...