E m1 19 solHolalalalalalalalalal lalalalalalalallala alalalalalalal lalalalal lallala PDF

Preview

Summary

Hola lalalala lalalalal lalalalalal lalalalalal lalalalal lalalalal lalalall lalalal lalallaal lalalalalla lalalallaal lalalalalal lalalalall lalalalalala lalalala lala...

Description

FACULTAT D’ECONOMIA I EMPRESA, UPF

Matem` atiques I – Examen Final – ECO/ADE/IBE Soluci´o provisional Examen 2019-20

1 (8 punts) Trobeu el domini de la funci´o f (x) =

ln(x4

1 . − 16)

Doneu la soluci´o en forma d’intervals o uni´o d’intervals. √ √ √ √ ´ (−∞, − 4 17) ∪ (− 4 17, −2) ∪ (2, 4 17) ∪ ( 4 17, ∞) SOLUCIO: √ 2 (8 punts) Donada la circumfer`encia de centre (1, 3) i radi r = 10 − C, trobeu per a quin valor de C aquesta circumfer`encia i la recta y = 21x s´on tangents (´es a dir, es tallen en un u ´nic punt). ´ C=5 SOLUCIO: 3 (8 punts) Resoleu la desigualtat −x2 + k < |x| en termes dels possibles valors de k ∈ R.

√ 1+4k ) 2

´ Si k < 0 ser`a tot R; si k = 0 ser` a R \ {0}; si k > 0 ser`a (−∞, 1− SOLUCIO: √ ( −1+ 2 1+4k , ∞).

4 (8 punts) El nombre de persones contagiades d’una certa malaltia despr´es de t dies de comen¸cada una epid`emia segueix la funci´o Q(t) =

2296 . 1 + 1068e−kt

Si el des`e dia tenien la malaltia 280 persones, (a) calculeu el valor de k . (b) Quan tindran la malaltia 2296 persones? Raoneu la resposta. ´ a) k ≈ 0.5, b) Mai ja que e−kt mai e´s 0. SOLUCIO: 5 (8 punts) Donada la funci´o 2

f (x) = e−x

+1

(a) Trobeu el polinomi de Taylor d’ordre 2 de la funci´o entorn del punt x = 1. (b) Feu servir el resultat anterior per trobar un valor aproximat de e−0.21 . ´ a) p2 (x) = 1 − 2(x − 1) + (x − 1)2 . b) p2 (1.1) ≈ 0.81. SOLUCIO: 3

6 (15 punts) Donat el seg¨ uent polinomi p(x) = −81(x − 1)(x − 4)2 = − x8 + 98 x2 − 3x + 2, 1

∪

(a) Dibuixeu aproximadament la gr`afica de p(x), tenint en compte, en particular, els o`ptims locals (no cal que estudieu la concavitat i convexitat). (b) Trobeu l’`area tancada entre p(x) i l’eix de les x, indicant tots els passos i c`alculs. (c) Trobeu, si existeixen, els o`ptims globals de p(x) a l’interval [1, k] segons els valors de 1 < k ≤ 4. ´ a) SOLUCIO: y 5

4

3

2

1

x −2

1

−1

2

3

4

5

6

−1

−2

27 . c) Si 1 < k ≤ 2 el m`axim global est`a a x = 1 i el m´ınim a x = k; si 2 < k < 4 aleshores b) 32 el m`axim global est`a a x = 1 i el m´ınim global a x = 2; si k = 4 els m` a xims globals estan a x = 1, x = 4 i el m´ınim global a x = 2.

7 (15 punts) Considerem la corba d’equaci´o 15x2 y + 7y 3 = 22. (a) Derivant impl´ıcitament l’equaci´o, calculeu y ′ . (b) Determineu, si existeixen, els punts de la corba d’ordenada y = 1 en qu`e la recta tangent . ´es y = 65x + 11 6 ´ a) y ′ = SOLUCIO:

−30xy . 15x2 +21y 2

´ el punt (−1, 1). b) Es 2

8 (15 punts) Considerem la funci´o f (x) = xe−ax , on a ´es un par`ametre real. (a) Estudieu els o`ptims locals i determineu els intervals de creixement i decreixement en funci´o de a. (b) Pel cas a = 21 determineu, si existeixen, els o`ptims globals de la funci´o f i doneu el recorregut de f . ´ SOLUCIO: p (a) Si a ≤p 0, f no t´e o`ptims locals, i ´es creixent ınim local p a R.pSi a > 0, x = − 1/2a m´p ip x = 1/2a m`axim local. f creix a (− 1/2a, 1/2a) i decreix a (−∞, − 1/2a) ∪ ( 1/2a, +∞). (b) Al ser lim f (x) = 0, x = −1 ´es un m´ınim global i x = 1 ´es un m`axim global. El x→±∞

recorregut de la funci´ o ´es Rf = [−e−1/2 , e−1/2 ].

9 (15 punts) Sobre matrius i vectors. 2

(a) Donades les matrius A = (aij )3×1 on aij = 2i+j (essent i la fila i j la columna) i   B = 2 k 8 , trobeu, si existeix, el valor de k que fa que AB sigui sim`etrica. (b) Donats els vectors ~a = (1, −3, 1) i b~ = (2, −1, 3) i ~c = (2, 4, 4), • calculeu (~a · ~b)(~a × ~b).

• Determineu si els vectors ~a, ~b i ~c s´on linealment dependents o independents i en cas que siguin linealment dependents escriviu un d’ells com a combinaci´ o lineal dels altres.

´ a) k = 4. b) (−64, −8, 40). c) S´on linealment dependents i (2, 4, 4) = −2(1, −3, 1) + SOLUCIO: 2(1, −1, 3) .

3...