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81.512 · Teoría de circuitos · Colección de cuestiones y ejercicios del Módulo 1 · Grado en Tecnologías de Telecomunicación Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación

Teoría de circuitos (81.512) Colección de cuestiones y ejercicios del Módulo 1 Cuestión 1 Dado el circuito de la Figura 1:

Figura 1. (a) La tensión de salida Vo se puede calcular usando dos divisores de tensión consecutivos: el primero que divide la tensión por 2, dando en el nodo A una tensión de 5 V, y el segundo que la vuelve a dividir por 2 la tensión en el nodo A, dando lugar a una tensión de salida de 2,5 V. (b) La tensión de salida vale 2 V y no se puede llegar a este resultado aplicando dos divisores de tensión. (c) La tensión de salida vale 2 V. (d) Todas las afirmaciones anteriores son correctas.

Solución: La respuesta correcta es la (c). La respuesta (a) es totalmente incorrecta, puesto que considerar que la tensión en el nodo A se puede calcular usando el divisor de tensión formado por Vcc – R1 – R2, es decir, V = V ⋅

 

= 5𝑉

(1)

es lo mismo que considerar que por R3 y R4 no pasa corriente, lo cual es totalmente incierto. A la hora de calcular el divisor tensión en el nodo A, hay que tener en cuenta que la impedancia vista entre el nodo A y tierra es la impedancia R2 // (R3 + R4), y la tensión al nodo A seria:

1

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(/ ⁄() )  / ⁄(  ) )

V = V ⋅ (

= 4𝑉

(2)

Conocida esta tensión, podemos calcular la tensión de salida aplicando el divisor de tensión VA – R3 – R4, que este sí que nos divide la tensión VA por 2: V = V ⋅

 

= 2𝑉

(3)

Por lo tanto, sí que puedo calcular la tensión de salida usando dos divisores de tensión. Así, la respuesta (b) es incorrecta y la respuesta correcta es la (c). Lógicamente, al mismo resultado de la ecuación (3) se podría haber llegado aplicando tanto nudos como mallas. De hecho, la ecuación (2) del divisor de tensión es el resultado de aplicar estos métodos.

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Cuestión 2 Dado el circuito de la Figura 2:

Figura 2. (a) No podemos aplicar mallas, puesto que no sabemos la tensión que cae en la fuente de corriente. (b) La corriente de Norton entre los terminales A y B vale 6,67 mA. (c) La resistencia de Thévenin entre los terminales A y B vale 5 kΩ. (d) Todas las afirmaciones anteriores son correctas.

Solución: La respuesta correcta es la (b). La respuesta (a) es totalmente incorrecta, puesto que las leyes de Kirchhoff, y en concreto la ley de las mallas, las podemos aplicar siempre. En este caso el planteamiento de la ecuación de mallas en la malla 1 es muy simple y es que la corriente en esa malla vale I = 10 mA. Para la malla 2, si denominamos I2 a la corriente de esta malla, con el sentido que se marca a la figura, su ecuación será: (I − 𝐼) ⋅ R  + I ⋅ R + I ⋅ R = 0

(4)

Donde todos los parámetros son conocidos a excepción de I2, que al operar da: I = I ⋅

 

= 4mA

(5)

Y la tensión en los terminales A y B valdrá: V = I ⋅ R = 8V

(6)

Respecto al apartado (b), para sacar la corriente de Norton hace falta cortocircuitar los terminales A y B. Cortocircuitar los terminales A y B es equivalente a cortocircuitar la

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resistencia R3, con lo cual la corriente de cortocircuito es la corriente por la resistencia R1, que la podemos calcular usando el divisor de corriente: I = I ⋅

 

    

= 6,67mA

(7)

Y, por tanto, la respuesta (b) es correcta. La resistencia de Norton es totalmente equivalente a la de Thévenin y se calcula cortocircuitando las fuentes de tensión y dejando en circuito abierto las fuentes de corriente. En este caso dejamos en abierto la fuente de corriente y la resistencia que se ve desde los terminales A y B vale: • •

Por un lado las resistencias R1 y R2 están en serie, dando lugar a la resistencia R12 (R12 = R1 +R2) , Esta asociación serie queda en paralelo con R3, dando lugar a la resistencia de Thévenin: R  =

 

= 1,2𝑘𝛺

(8)

Y la respuesta (c) es incorrecta.

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Cuestión 3 Hemos montado en PSpice el circuito exacto de la Figura 3. Configuramos un análisis únicamente de Bias Point y simulamos:

Figura 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? (a) Obtendremos el siguiente resultado después de simular e indicar que nos muestre las tensiones:

Figura 4. (b) Obtendremos error porque el circuito está incompleto y no se puede simular. (c) Este circuito no se puede montar en la realidad y, por lo tanto, no tiene sentido simularlo. (d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Solución: La respuesta correcta es la (b). En primer lugar abrimos el PSpice e introducimos el circuito que nos muestra el enunciado tal cual. Al pulsar F11 para iniciar la simulación, se abrirá una ventana y en la zona inferior derecha nos aparecerá una imagen como esta:

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Figura 5. Lo que nos está indicando el PSpice es que los nodos están todos flotantes, y esto es a causa de que no hemos incluido la referencia en tierra, o nodo con tensión 0 en el circuito. En todo circuito que queramos simular con PSpice es absolutamente necesario añadir el componente “agnd” o “gnd_earth” que indica en qué punto del circuito consideramos que hay 0 Voltios (normalmente en el negativo de la fuente de tensión). Por lo tanto, sin una referencia a tensión 0 PSpice no es capaz de simular y, por lo tanto, la respuesta correcta es la (b), lo cual invalida la respuesta (d). La respuesta (c) es falsa puesto que este circuito es perfectamente posible de montar. Si añadimos el componente “agnd” o “gnd_earth”, el circuito que nos queda sería lo mostrado en la siguiente imagen:

Figura 6. Ahora sí, tenemos una referencia de qué nodo del circuito tiene tensión 0. Y ahora sí, cuando simulamos nos aparece la siguiente imagen en PSpice:

Figura 7. Como vemos, lógicamente la tensión de salida es 2.5 V dado que la tensión se reparte a mitad entre ambas resistencias.

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Cuestión 4 Sea el circuito de la Figura 8, con Ig = 10 mA, Vcc = 9 V, R1= R2= 1 kΩ:

Figura 8. Podemos afirmar que: (a) Vo = 0 V.  (b) 𝐼 = 𝐼 +  = 19 𝑚𝐴. 

(c) Vo = 19 V. (d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.

Solución: La respuesta correcta es la (c). El circuito de la Figura 8 presenta una salida en circuito abierto, con lo cual Io=0 y, por tanto, la respuesta (b) es incorrecta. Que la corriente de salida sea cero no significa que la tensión de salida lo sea, por tanto, la respuesta (a) también es incorrecta. Realmente, al ser la corriente de salida nula, la caída de tensión en R2 será también cero y la tensión de salida será la tensión en el nodo A que se muestra en la Figura 9. La tensión en dicho nodo se calcula fácilmente, pues la corriente que recorre esta malla es justamente Ig: V = V + 𝐼 ∙ 𝑅 = 19 𝑉

(9)

Y, por tanto, la respuesta (c) es correcta.

7

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Figura 9.

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Cuestión 5 Sea el circuito de la Figura 10. Pretendemos montarlo en la placa de prácticas y realizar con el multímetro la medida de la corriente I.

Figura 10. Datos: Vcc= 5 V, R1= 1 kΩ, R2= 2,2 kΩ. De las 5 opciones de montaje y configuración del multímetro mostradas en la Figura 11, indica cuál de ellas es la adecuada para medir con la máxima precisión posible la corriente I:

(1)

9

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(2)

(3)

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(4)

(5) Figura 11. (a) (b) (c) (d)

La única opción correcta es la (4). La única opción correcta es la (2). Las opciones (1) y (4) son las más correctas (ambas son igual de precisas). Las opciones (3) y (5) son las más correctas (ambas son igual de precisas).

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Solución: La respuesta correcta es la (c). Para medir la corriente en un circuito, tenemos que abrir el circuito, e insertar el multímetro en serie con la rama que queremos medir, tal como se representa en la Figura 12:

Figura 12. Por lo tanto la opción (2), donde vemos que no se abre el circuito para nada, es incorrecta independientemente de la posición donde esté la rueda del multímetro, y esto invalida la respuesta (b). En este caso, lo que realmente hemos hecho es cortocircuitar la resistencia R2, de tal forma que la corriente que realmente estamos midiendo es: 𝐼=

 

=

  

= 5 𝑚𝐴

(10)

que coincide con el valor de 4,92 mA que muestra el multímetro. Como las resistencias R1 y R2 están en serie, la corriente que pasa por R1 es la misma que el que pasa por R2, por lo tanto, para medir la corriente por R2 podemos abrir la rama tal y como muestra tanto la Figura 12(a) como la Figura 12(b). Y esto es lo que se hace justamente en las opciones (1), (3), (4) y (5). En las opciones (1) y (5) abrimos el circuito entre la tensión positiva (tira de pines etiquetada como “+5V” en la placa) y la resistencia R1 (Figura 12(a)), y conectamos el multímetro entre estos dos extremos. Por lo tanto, a nivel de circuito ambas son correctas. Ahora bien, para conocerla más precisa hace falta saber el fondo de escala. En este circuito, la corriente estimada es de: 𝐼=

 



=   = 1,6 𝑚𝐴

(11)

12

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Por lo tanto, tenemos que poner el menor fondo de escala que sea superior a esta corriente. En nuestro multímetro esto es 2 mA. Así pues la opción (1) es la correcta, puesto que la (5) tiene un fondo de escala de 20 mA. De la misma forma, en las opciones (3) y (4) abrimos el circuito en la conexión entre R1 y R2 y conectamos el multímetro entre estos dos extremos (Figura 12(b)). Por lo tanto a nivel de circuito ambas son correctos. No obstante, por lo que hemos explicado antes, sólo la que está medida con un fondo de escala de 2 mA será la medida con más precisión y, por lo tanto, la opción correcta es la (4). Así pues, las opciones que dan una mayor resolución en la medida son la (1) y la (4) y, por lo tanto, la respuesta correcta es la (c).

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Ejercicio 1 Sea el circuito de la Figura 13, con: Ig= 10 mA Vcc1= 10 V Vcc2= 5 V R1= R4= 1 kΩ R2= R5= 2,2 kΩ R3 = 10 kΩ

Figura 13. Se pide calcular la tensión VIg que cae en la fuente de corriente, aplicando mallas.

Solución: Consideraremos las corrientes de malla que se indican en el circuito de la Figura 14:

Figura 14.

14

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En el circuito de la Figura 14 hemos dibujado la caída de tensión en la fuente de corriente que hemos denominado VIg y que, de momento, desconocemos. Malla 1: (12)

VIg = (I1 - I2 ) × R1 Reagrupando los términos que dependen de I1 y los que dependen de I2 :

VIg = I 1 × R1 - I2 × R1

(13)

Malla 2:

Vcc1 = ( I2 -I1 )× R1 + I 2 ×R 2 + (I2 -I3 ) × R3

(14)

Y lo reescribimos de la forma:

Vcc1 = -I1 × R1 + I 2 × ( R1 + R 2 + R 3) - I3 ×R 3 Además,

(15)

(16)

I1 = -Ig = -10 mA Malla 3:

Vcc1 + ( I3 - I2 ) × R 3 + I3 × R4 + I 3 × R5 + Vcc2= 0

(17)

que la podemos reescribir de la forma:

Vcc1 + Vcc2 = I2 × R 3 - I3 × (R 3 + R 4 + R 5 )

(18)

Ahora sustituimos los valores con Vcc1 = 10 V, Vcc2 = 5 V, R1= R4= R = 1 kΩ, R 2 = R5 = 2,2R y R3= 10R en las ecuaciones (13), (15) y (18):

VIg = R × I1 - R ×I 2

(19)

10 = - R× I1 +13, 2R× I2 -10R× I2 15 = -10 R× I 2 + 13, 2R× I 3

(20) (21)

que forman un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (I2, I3, Vig). Resolviendo este sistema obtenemos:

I2 = -2, 02 mA I 3 = -2, 67 mA VI = -7,98 V g

(22)

15

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Ejercicio 2 Sea el circuito de la Figura 15, con: Ig= 10 mA Vcc1= 10 V Vcc2= 5 V R1= R4= 1 kΩ R2= R5= 2,2 kΩ R3 = 10 kΩ

Figura 15. Se pide calcular la tensión de salida Vo aplicando superposición.

Solución: Primero, por ejemplo, anularemos las dos fuentes de tensión sustituyéndolas por un cortocircuito, y encontraremos la aportación de la fuente de corriente a la tensión de salida (la denominaremos Vo1). Después, anularemos la fuente de corriente, en este caso sustituyéndola por un circuito abierto y la fuente de tensión Vcc2 sustituyéndola por un cortocircuito. En este caso, encontraremos la aportación de la fuente de tensión Vcc1 (que será Vo2). Repetiremos el proceso para la fuente Vcc2. Cuando tengamos los tres valores, los sumaremos para obtener la tensión de salida, que tendrá que coincidir con los resultados de los apartados (a) y (b). Paso 1. Anulamos las dos fuentes de tensión. Obtenemos el circuito de la Figura 16:

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Figura 16. En este caso, empezaremos calculando la resistencia equivalente R345, formada por la asociación serie de R4 y R5 y esta asociación a su vez en paralelo con R3:

R345 = (R4 + R5 ) / /R3 =

(R4 + R5 ) ´ R3 R4 + R5 + R3

= 2,42 kΩ

(23)

El resultado se muestra en la Figura 17:

Figura 17. En esta última figura podemos apreciar que tenemos un divisor de corriente, de tal forma que:

17

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1 R 2 + R 345 = -1,8 mA I345 = I 21 = -I g × 1 1 + R1 R 2 + R345

(24)

Y ahora la corriente I41 de la Figura 16 la podemos calcular aplicando un segundo divisor de corriente:

1 R4+ R5 I41 = I21 × = -1, 3 mA 1 1 + R3 R 4 + R 5

(25)

Vo1 = I41 × R5 = -2, 96 V

(26)

De esta forma,

Paso 2. Una vez calculada la aportación de la fuente de corriente, ahora encontraremos la de la fuente de tensión Vcc1. Para ello, anularemos la fuente de corriendo sustituyéndola por un circuito abierto y la fuente de tensión Vcc2 sustituyéndola por un cortocircuito, tal y como muestra la Figura 18, donde ya hemos dibujado las corrientes en cada rama:

Figura 18. Aplicando nudos en A:

I 22 = I32 + I 42

(27)

Y, por lo tanto,

VA 0 - VA VA + Vcc1 = + R 1 + R2 R3 R 4 + R5

(28)

18

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Y sustituyendo valores obtenemos VA=-1,379 V. De esta forma,

I 42 =

VA = 0, 431 mA R4 + R5

(29)

Y la tensión de salida:

(30)

Vo2 = I 42 × R5 = -0,948 V

Paso 3. Ahora estudiamos la aportación de Vcc2, anulando el resto de fuentes, tal y como muestra la Figura 19(a).

Figura 19. En este caso, empezaremos calculando la resistencia equivalente R123, formada por la asociación serie de R1 y R2 y esta asociación a su vez en paralelo con R3:

R123 = ( R1 + R2 ) / /R3 =

(R1 + R2 ) ´ R3 = 2,42 kΩ R1 + R2 + R3

(31)

El resultado se muestra en la Figura 19(b). Ahora la tensión de salida se puede calcular aplicando un simple divisor de tensión:

Vo3 = Vcc2 ×

R4 + R 123 = 3, 044 V R 5 + R 4 + R123

(32)

Paso 4. Por último, sólo falta sumar las dos aportaciones para obtener la tensión deseada:

Vo = Vo1 + Vo2 + Vo3 = -2,96 V- 0,948 V +3,044 V =

- 0,8675 V

(33)

19

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Ejercicio 3 Sea el circuito de la Figura 20, con los valores de componentes: V1 = 5 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 4,7 kΩ y R3 = 5,6 kΩ.

+

R1 R2

I

Vo

R3

V1

Figura 20. Determina el valor que ha de tener la fuente de corriente I para que la tensión de salida Vo sea de 10 V.

Solución: Este ejercicio se puede plantear de varias maneras. Por mallas, por nodos, o por superposición. En todos los casos llegaremos al mismo resultado. A continuación, lo resolveremos por nodos. En la Figura 21 vemos el nodo A y sus corrientes:

I 1

I 3

A

+

R1 I

R2

Vo

R3

I 2 V1

Figura 21. Por ...