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Curso de Econometría-ITAM

Versión 2022

Dr. Víctor M. Guerrero

CURSO DE ECONOMETRÍA ITAM

Dr. Víctor M. Guerrero Departamento de Estadística - ITAM [email protected] Enero de 2022

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Curso de Econometría-ITAM

Versión 2022

Dr. Víctor M. Guerrero

1. INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA ECONOMETRÍA, MODELOS Y DATOS - Definición de Econometría. Rama de la Economía que se ocupa de la estimación empírica (o sea, basada en los datos) de las relaciones económicas. - Ingredientes principales de la Econometría: 1) Teoría y 2) hechos. Teoría

Hechos

Modelo

Datos

Especificación

Teoría Estadística Preparación de datos

Modelo Econométrico

Datos refinados

Técnicas Econométricas

Estimación del modelo econométrico con los datos refinados,

Usos del modelo

Análisis estructural

Pronóstico

Evaluación de planes y políticas 2

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- Objetivos de la Econometría. Los objetivos de la Econometría se relacionan directamente con los usos que se pueden dar a los modelos que produce. De esta manera, se tiene que los usos y objetivos principales son: 1. Análisis estructural. Es el objetivo de carácter científico, mediante el cual se trata de entender el mundo real con la validación de relaciones económicas. Este objetivo a su vez influye en ocasiones sobre la teoría. 2. Pronóstico. El objetivo aquí es predecir los valores de las variables que se desea, fuera de la muestra de datos observada. Los pronósticos no son un fin en sí mismos, sino que constituyen la base para tomar decisiones. 3. Evaluación de planes y políticas. Este constituye el uso del modelo para decidir entre diversos planes o políticas en consideración. Una manera de realizar esta actividad es mediante la simulación de lo que ocurriría con cada una de las alternativas, según lo que indique el modelo. Los tres principales usos de la Econometría están íntimamente ligados entre sí, de tal forma que la estructura determinada en un análisis estructural se utiliza después para pronosticar, o bien, la evaluación de políticas con el modelo constituye en realidad un pronóstico de tipo condicional. Sin embargo, es importante reconocer que un modelo econométrico útil para pronosticar puede no servir para realizar análisis estructural y esperar que cualquier modelo sea útil para todo, es un abuso de la Econometría.

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- Modelos econométricos. Modelo: Representación simplificada de un fenómeno real (por lo tanto, todo modelo es erróneo, ya que simplifica algún aspecto de la realidad) MODELO MATEMÁTICO

Inicio Mundo Real

Abstracción (Detección de características Realidad relevantes) Axiomática

Contrastación con la realidad

Aplicaciones

Desarrollo (Traducción a Matemáticas)

Concreción (Interpretación de resultados)

Teoría Matemática

Modelo para el Ingreso Nacional (en una economía cerrada) • Identidad: Y  C + I + G Y = PNB, C = Consumo, I = Inversión, G = Gasto del gobierno (los flujos de C, I y G se suponen medidos en términos reales).

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• Teoría: 1) C = f1 ((1 − τ )Y, r ) con  = tasa impositiva,

(1 − τ)Y = Ingreso disponible libre de impuestos y r = tasa de interés. 2) I = f 2 (ΔY, r ) con ΔY el cambio en PNB. La teoría puede indicar las variables explicativas, las ecuaciones y quizás, los signos de las derivadas parciales. Por ejemplo, en la ecuación 1) se esperaría que

0

f 1 ((1 − τ )Y, r ) 1 (1 − τ)Y

y

f1 ((1 − τ )Y, r ) 0 r

o sea que la propensión marginal del consumo C = f1 ((1 − τ )Y, r ), al ingreso disponible, debería ser una fracción positiva, menor que la unidad, y un incremento en r debería traer consigo un efecto depresivo sobre el consumo (ya que eleva la tasa de rendimiento del ahorro e incrementa el costo del financiamiento de bienes duraderos, entre otras cosas). Por su lado, debido a la ecuación 2), se debería tener que  f 2 (ΔY, r ) 0 ΔY

y

 f 2 (ΔY, r) 0 r

en donde se supone que la inversión, I = f 2 (ΔY, r ) , está influenciada al alza por las expectativas de ganancias que, de manera un tanto burda, se

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aproximan mediante ΔY ; de nuevo, se esperaría que la tasa de interés afectara negativamente, a la inversión en este caso. En esta situación, la Econometría sirve como complemento para determinar: i) La forma funcional de las relaciones 1) y 2). Por ejemplo, si se omite la variable r, podría tenerse alguna de las siguientes opciones, que no se deducen de la teoría, sino del comportamiento de los datos con que se cuente:

C = β 0 + β1 (1 − τ)Y , lineal C = β0 [ (1 − τ )Y] β1 ,

exponencial

o

C = β0 − β1 (1 − τ )Y , recíproca. −1

ii) El tipo de datos más apropiados y su escala de medición. Por ejemplo: ¿cuál es la variable que mejor representa al ingreso, Y? ¿deben usarse datos ajustados por estacionalidad? ¿qué tasa de interés, r, debería emplearse? iii) El tipo de estructura de retrasos (la dinámica del sistema al paso del tiempo), variables alternativas que no fueron consideradas explícitamente por el modelo propuesto, etc. Además, conviene conocer la distinción entre dos tipos de datos con los que se puede realizar análisis econométrico: 6

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a) Los de CORTE TRANSVERSAL, o sea, aquellos que se observan en un cierto momento, que se generan especialmente a través de encuestas y que no tienen un orden de observación asignado. b) Los datos de SERIES DE TIEMPO, que se caracterizan por tener explícitamente un orden cronológico de observación, lo cual no permite intercambiar lugares de los datos y que, además, son obtenidos de manera rutinaria y sistemática, particularmente por agencias gubernamentales.

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2. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE - Introducción. En esta parte se considerarán modelos formados por una sola ecuación, del tipo Y = f(X) donde Y representa la variable dependiente (por ser explicada o endógena) y X es la variable independiente (explicativa o exógena). La especificación del modelo será lineal en los parámetros. De esta forma se habla del modelo de regresión lineal simple, que explica el comportamiento (o variabilidad) de Y simplemente a través de X, por medio de la relación

Y = β 0 + β1X que es lineal en los parámetros porque estos entran en el modelo como combinación lineal de las variables, o sea Y = (β 0 , β 1 )(1, X)' .

El primer paso en una investigación econométrica de la relación entre Y y X consiste en obtener una muestra de n parejas de datos sobre estas variables. Los datos muestrales se denotan entonces por Yi , X i , para i = 1, 2,..., n, o sea

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i

Yi

Xi

1

Y1

X1

...

...

...

n

Yn

Xn

Además, se debe hacer explícita la incertidumbre de que el modelo de regresión lineal simple explique por completo la variabilidad de Y, para ello se introduce una perturbación estocástica (un error aleatorio) que le brinda mayor flexibilidad al modelo, y así se llega a la representación

Yi = β 0 + β1 X i + u i , para i = 1,..., n donde u i denota el término de error. Por ejemplo, si se investiga la relación entre el gasto en bienes de consumo y el ingreso familiar disponible, en una muestra de corte transversal, Y corresponde al gasto, X es el ingreso y n es el número de familias. Debe ser claro que aun dentro de grupos familiares del mismo tamaño y composición, habrá variación en el gasto, aunque el ingreso disponible sea el mismo. Esto se puede deber a otras variables no incluidas en el modelo (como la edad del jefe de familia, los gustos familiares, la tendencia a crecer o decrecer del ingreso, etc.) estas variables omitidas son tenidas en cuenta por el error u.

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Asimismo, u sirve para incorporar el hecho de que la variable Y puede estar medida con error, de forma tal que Z es la verdadera, pero Y es la observada, o sea Z = β 0 + β 1X + v

error en la ecuación

Y= Z+ w

 Y = β 0 + β1X + u

error de medición con u = v + w

incluso podría tenerse v = 0, en cuyo caso u = w. Ya que u es una variable aleatoria, el modelo se complementa con supuestos acerca de su comportamiento probabilístico, para ello se hace referencia a sus primeros dos momentos, es decir, su valor esperado, su varianza y su covarianza. De hecho, se supone que E(ui ) = 0, Var(ui ) = σ2 y Cov(u i, u j) = E(u iu j) = 0

para i, j = 1, ..., n y j  i . También conviene considerar que la distribución del error es Normal, en tal caso se tiene que u1, ..., un constituye una muestra aleatoria (m.a.) porque se tiene un conjunto de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) provenientes de la distribución N(0,  2 ) , lo cual se representa gráficamente con la figura que sigue

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β 0 + β1 X n

f(u)

Y (Gasto)

Yn Y2

β 0 + β 1X 2

β 0 + β1 X1 Y1 0

u2

un

u1

β 0 + β 1X

X1 X2 Xn

X (Ingreso) Un supuesto adicional en el modelo es el de linealidad en las variables, la cual puede ser tan solo aproximada y con eso es suficiente. Y

Y

X Y

X Y

X

X 11

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- Estimación por Mínimos Cuadrados. Para cada selección de valores de los parámetros, se obtiene un conjunto de valores estimados de las Y ' s , o sea, con los valores βˆ 0 y βˆ1 se obtiene

ˆ i = βˆ 0 + βˆ 1 Xi para i = 1, ..., n. Y

A la diferencia entre lo observado y lo estimado se le llama residuo o sea

(

) (

)

ei = Yi − Yˆ i = Yi − βˆ 0 − βˆ 1 Xi = β0 − βˆ 0 + β1 − βˆ1 X i + u i

de manera que e i  u i , excepto si βˆ 0 = β0 y βˆ 1 = β1 . La idea del método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) consiste en seleccionar los parámetros estimados b 0 = βˆ 0 y b1 = βˆ1 que minimicen n

 e 2i , que es la suma de residuos al cuadrado, también llamada Suma de

i =1

Cuadrados Residual (SCR), con

e

2 i

(

)

2

=  Yi − βˆ 0 − βˆ 1X i .

Para minimizar la SCR, primero se obtienen las derivadas parciales, evaluadas en βˆ 0 = b0 y βˆ 1 = b1 , o sea

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que conducen al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Y

= b0 n + b1  X i

  Ecuaciones normales.  Xi Yi = b0  X i + b1  X 2i  i

De la primera ecuación se sigue que

b 0 = Y − b1 X mientras que, del sistema completo, se obtiene

n b1 =

Y X Y X X i

X

i

i

n

X

i

i

i

=

n  X i Yi −  X i  Yi n  X 2i − ( X i )

2

2 i

así que, para calcular b0 y b1, se requieren las siguientes cantidades n,  X i ,  Yi ,  X i Yi y  X2i

Ejemplo. Para ilustrar los cálculos numéricos, considérese el siguiente conjunto de n = 5 datos

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i

Xi

Yi

X i Yi

Xi2

1

2

4

8

4

2

3

7

21

9

3

1

3

3

1

4

5

9

45

25

5

9

17

153

81

Suma

20

40

230

120

Entonces  X i = 20 y Yi = 40, de forma que X = 4 y Y = 8 , además

b1 =

5(230)− 20(40) 1150− 800 350 = = 1.75 2 = 5(120)− (20) 600− 400 200

y

b0 = 8-1.75(4) = 1

o sea que la regresión estimada de Y sobre X es

ˆ i = 1 + 1.75Xi para i = 1,…, n. Y A partir de esta ecuación se pueden obtener los valores estimados por el modelo, correspondientes a las observaciones de X, es decir

ˆ = 1+ 1.75 X = 1 + 1.75(2) = 4.5 Y 1 1 ˆ = 1 + 1.75 X =1+1.75(3) = 6.25 Y 2 2

ˆ 3 = ... Y

...

= 2.75

ˆ 4 = ... Y

...

= 9.75

ˆ 5 = ... Y

...

= 16.75

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De esta forma, los residuos vienen a ser e1 = Y1 − ˆY1 = 4 − 4.5= − 0.5, e2 = 7 − 6.25= 0.75, e3 = 0.25, e4 = − 0.75 y e5 = 0.25

Propiedades de la recta de regresión con las estimaciones b0 y b1. 1.- La recta pasa por el punto de medias

(X, Y )

y esto hace que la suma de

residuos sea cero, o sea

 ei = 0 . Demostración.

 e = (Y − b i

i

0

− b1X i) =  Yi − b 0n − b 1 X i = n(Y − b 0 − b 1X ) = 0 porque b 0 = Y − b1 X

2.- Los residuos tienen covarianza muestral cero con los valores muestrales X y con los valores estimados Yˆ , o sea

Cˆov( X, e) =

1 ˆ , e) = 0 .  ( Xi − X )(ei − e) = 0 y Cˆov(Y n −1

Demostración. Coˆ v( X, e) =

1  (X i − X)(e i − e ) n−1

=

1 ( X i − X)e i n −1

=

1 1 X ei  Xiei − n −1 n− 1

porque e = 0

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=

1  X i ei n −1

=

1  X i (Yi − b 0 − b1X i ) n−1

=

1 ( Xi Yi − b0  Xi − b1  X i2 ) n −1

=0

por la 2ª. ecuación normal

Además,

ˆ , e) = Coˆv(b 0 + b1 X, e) = Cˆov(b0 , e) + Co Cˆov(Y ˆ v(b 1X, e) = 0 + b1Coˆ v(X, e) = 0

3.- El coeficiente de la pendiente en la regresión también puede calcularse a partir de las desviaciones de X y Y respecto a sus medias, o sea, si se define

xi = Xi − X

y y i = Yi − Y

entonces

b1 =  xi yi /  xi2 Demostración. Como  (X i − X ) 2 =  (X 2i − 2X i X + X 2 )

=  X 2i − 2 X  X i + nX 2

=  Xi2 − nX 2 =  X2i − ( Xi ) 2 / n

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y ( X i − X)( Yi − Y) = ( X i Yi − X i Y − XYi + XY)

=  Xi Yi − Y X i − X Yi + nXY

=  X i Yi − nXY =  Xi Yi −( X i )( Yi ) / n

entonces

b1 =

n  X iY i −  X i  Y i n X − ( X i ) 2 i

2

=

n  (X i − X)(Yi − Y) n (X i − X)

2

=

x y x i

i

2 i

4.- La suma de cuadrados asociada con la variación en Y, se puede expresar en términos de la variación “explicada” por la regresión, más la variación “no explicada por el modelo”.

Demostración. En principio, nótese que ˆ − Y = b + b X − Y = Y − b X + b X − Y = b (X − X) = b x yˆ i = Y i 0 1 i 1 1 i 1 i 1 i

entonces, como

yi = Yi − Y = (Yˆ i + e i ) − Y = yˆ i + e i se deduce que 2 2 2 2 2 2  y i =  ( yˆ i + e i ) =  ˆyi + 2 yˆ ie i + e i =  yˆ i +  e i

porque Coˆ v( yˆ , e) = 0

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es decir 2  y 2i =  yˆ 2i +  ei

Esto puede escribirse entonces como SCT

=

Suma de Cuadrados Total de Y, respecto a su media

SCE Suma de Cuadrados de Y Explicada por la Regresión

+

SCR Suma de Cuadrados no Explicada o Residual

Nótese que se tienen las siguientes expresiones de cálculo

SCE =  yˆ i2

=  (b1x i )

2

= b21  xi2 = ( x i y i ) 2 /  x i2

porque b1 =

x y x i

i

2 i

Por otro lado, se debe notar que la varianza del error verdadero es desconocida, pero se sabe que

σ 2 = Var(u i ) = E(u 2i ) − [ E(u i )]2 = E(u2i ) ,

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2 por ello, es razonable estimar a σ como un promedio de los residuos al

cuadrado, de manera que lo que se usa como estimador es

S2 = SCR / g.l. =  e i2 /(n − 2) donde los grados de libertad (g.l.) son en este caso n-2, ya que se tuvo que estimar dos parámetros (β0 y β1 ) para poder calcular los residuos. De 2 hecho, más adelante se demostrará que S resulta ser un estimador 2 insesgado de σ .

- Medidas de bondad de ajuste.

Es importante medir la bondad del ajuste logrado con la recta para estimar los datos observados, esto se logra con el coeficiente de correlación y con el coeficiente de determinación. El coeficiente de correlación muestral entre Y y X viene dado por

r=

Co ˆ v(Y, X)  xi yi /(n − 1) = SX SY ˆ x ˆ y

donde

S X = σˆ X =

x

2 i

/(n − 1) y S Y = σˆ Y =

 y /(n − 1) 2 i

Otra manera de expresar el coeficiente de correlación es como sigue

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 x iy i

r=

2

 xi

2

 yi

 x y   x2 i i i =  x2  2   i  y i

= b1

SX SY

de donde se sigue que

debe notarse que b1 y r tienen el mismo signo. El coeficiente de determinación, por su lado, se obtiene al elevar al cuadrado el coeficiente de correlación, o sea, como

r2 =

=

2

con

( x iy i ) 2 (  x 2i )(  y 2i )

SCE SCT

=1−

de tal manera que r

r 2,

SCR SCT

mide la proporción de SCT explicada por la

regresión. Además, de las últimas dos expresiones para r 2 se deduce que 0  r 2  1 por lo cual − 1  r  1