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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati

CAPÍTULO 1 A NATUREZA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO 1.1 (a) A seguir temos a tabela com as taxas de inflação (%) calculadas ano sobre ano com início em 1974, pois não há dados anteriores a 1973. CANADÁ

FRANÇA

ALEMANHA

ITÁLIA

JAPÃO

10,78431 10,84071 7,584830 7,792208 8,950086 9,320695 9,971098 12,48357 10,86449 5,795574 4,282869 4,106972 4,128440 4,317181 4,054054 4,951299 4,795050 5,608856 1,537386 1,789401 0,202840 2,159244 1,585205 1,625488

13,58382 11,70483 9,567198 9,563410 9,108159 10,60870 13,67925 13,27801 11,96581 9,487459 7,669323 5,827937 2,534965 3,239557 2,725021 3,456592 3,341103 3,157895 2,405248 2,135231 1,602787 1,783265 2,021563 1,188904

6,847134 5,961252 4,360056 3,638814 2,730819 4,050633 5,474453 6,343714 5,314534 3,295572 2,392822 2,044791 –0,095420 0,191022 1,334604 2,728128 2,747253 3,654189 4,987102 4,504505 2,742947 1,830664 1,498127 1,697417

19,41748 17,07317 16,66667 19,34524 12,46883 15,52106 21,30518 19,30380 16,31300 14,93729 10,61508 8,609865 6,110652 4,591440 4,985119 6,591070 6,117021 6,390977 5,300353 4,250559 3,916309 5,369128 3,870652 1,745283

23,17328 11,69492 9,559939 8,171745 4,225352 3,685504 7,701422 4,840484 2,938090 1,732926 2,304609 1,958864 0,672430 0,000000 0,763359 2,367424 3,052729 3,231589 1,652174 1,283148 0,760135 –0,167645 0,167926 1,676446

(b)

REINO UNIDO 0,157706 0,244582 0,164179 0,158120 0,083026 0,134583 0,178679 0,119745 0,085324 0,046122 0,050100 0,060115 0,034203 0,041775 0,049290 0,077229 0,095344 0,058704 0,036966 0,015980 0,024803 0,033648 0,024557 0,031215

Estados Unidos 0,110360 0,091278 0,057621 0,065026 0,075908 0,113497 0,134986 0,103155 0,061606 0,032124 0,043173 0,035611 0,018587 0,036496 0,041373 0,048183 0,054032 0,042081 0,030103 0,029936 0,025606 0,028340 0,029528 0,022945

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati Legenda: PC = Canadá PF = França PG = Alemanha PI = Itália PJ = Japão PUK = Reino Unido PUS = Estados Unidos

(c) Pelo gráfico, pode–se ver que, com o passar dos anos, houve, em geral, diminuição da taxa de inflação de todos os países. (d) Pode–se usar o desvio-padrão como medida de flutuação das taxas. Para Canadá, França, Alemanha, Itália, Japão, Reino Unido e Estados Unidos os valores do desviopadrão são respectivamente 0,036, 0,044, 0,018, 0,062, 0,051 e 0,032. Encontramos, assim, a maior flutuação nas taxas da Itália, e a menor, nas da Alemanha. 1.2 (a) A seguir está o gráfico com a representação das taxas de inflação dos seis países em relação à dos Estados Unidos.

(b) O gráfico mostra que há correlação positiva entre as taxas de inflação dos seis países e a dos Estados Unidos. (c) Lembre–se de que correlação não implica causalidade. Talvez seja necessário consultar um livro de macroeconomia internacional para saber se há uma relação causal entre a taxa de inflação dos Estados Unidos e as dos outros países.

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1.3 (a) Para melhor visualização do gráfico, representamos o logaritmo da taxa de câmbio no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal.

Como se vê, as taxas de câmbio apresentam considerável flutuação. Em 1977, por exemplo, um dólar americano valia 268 ienes, mas somente 94 ienes em 1995. (b) O cenário é, novamente, variado. Entre 1977 e 1995, por exemplo, o dólar americano se depreciou em relação ao iene, e daí começou a se apreciar. O panorama é semelhante em relação às outras moedas. 1.4 O gráfico da oferta de moeda M1, nos Estados Unidos, de janeiro de 1951 a setembro de 1999, é o seguinte:

À medida que o PIB cresce ao longo do tempo, faz–se naturalmente necessário ampliar a oferta de moeda para financiar o aumento da produção.

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1.5 Algumas das variáveis pertinentes seriam: (1) salários ou ganhos nas atividades criminosas; (2) salários ou ganhos por hora em atividades lícitas; (3) probabilidade de ser apanhado; (4) probabilidade de condenação; (5) sentença esperada após a condenação. Repare que não deve ser fácil conseguir dados sobre ganhos em atividades ilegais. Mesmo assim, consulte o artigo de Gary Becker citado no livrotexto. 1.6 Um fator essencial nessa análise seria a taxa de participação na força de trabalho (TPFT) de pessoas na faixa etária dos 65 aos 69 anos. Um aumento dessa taxa, se constatado após a entrada em vigência da nova lei, seria forte indício de que a lei anterior restringira artificialmente a participação desses cidadãos no mercado. Também seria interessante descobrir que tipos de empregos esses trabalhadores conseguem e quanto ganham. Os dados sobre PFT são coletados pelo Departamento do Trabalho (Estados Unidos). 1.7 (a), (b) & (c) De acordo com o gráfico, parece haver uma relação positiva, embora não muito forte, entre as duas variáveis, indicando que pode valer a pena anunciar. Do contrário, más notícias para a indústria da publicidade.

Vertical = Impressões Horizontal = Desppub

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE REGRESSÃO COM DUAS VARIÁVEIS: ALGUMAS IDÉIAS BÁSICAS 2.1 A função informa como varia a resposta média das subpopulações de Y com os valores dados da(s) variável(is) explanatória(s). 2.2 A distinção entre as funções de regressão amostral e populacional é importante, pois aquela é um estimador desta. Na maioria dos casos, o que temos é uma amostra de observações da qual tentamos extrair informações sobre a população a que ela se refere. 2.3 Um modelo de regressão não é, de forma alguma, uma descrição absolutamente fiel da realidade. Assim, é certo que haverá diferenças entre o valor real do regressando e seus valores estimados pelo modelo escolhido. Tal diferença é simplesmente o termo de erro estocástico, cujas diversas formas são discutidas no texto. O resíduo é a contrapartida amostral do termo de erro estocástico. 2.4 Embora seja certo que podemos usar o valor médio, o desvio-padrão e outras medidas sumárias para descrever o comportamento do regressando, estamos em geral interessados em saber se há alguma força causal que o afeta. Se houver, poderemos fazer um melhor prognóstico do seu valor médio com a análise de regressão. Também não podemos esquecer que os modelos econométricos são quase sempre desenvolvidos para testar uma ou mais teorias econômicas. 2.5 É um modelo linear nos parâmetros, mas que pode ou não ser linear nas variáveis. 2.6 Os modelos (a), (b), (c) e (e) são modelos de regressão lineares (nos parâmetros). O modelo (d) também será linear se fizermos α = lnβ1. 2.7 (a) Aplicando o logaritmo natural, obtemos lnYi modelo de regressão linear.

=

β1+ β2 Xi + ui, que assim é um

(b) A seguinte transformação, conhecida como logit, faz deste um modelo de regressão linear: ln[(1-Yi)/Yi] = β1+ β2 Xi + ui. (c) Modelo de regressão linear. (d) Modelo de regressão não-linear. (e) Modelo de regressão não-linear, pois β2 está elevado ao cubo.

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 2.8 Um modelo de regressão intrinsecamente linear é aquele que se pode fazer linear nos parâmetros, como o modelo em 2.7 (a). Se β2 na Questão 2.7 (d) fosse 0,8, esse −0,8( X −2)

i seria um modelo de regressão linear, já que e pode ser facilmente calculado. 2.9 Todos são modelos de regressão intrinsecamente lineares, como demonstramos a seguir:

(a) A transformação (1/Yi) = β1+ β2 Xi converte o modelo em linear. (b) Escrever o modelo como (Xi/Yi) = β1+ β2 Xi converte-o em linear. (c) A transformação ln[(1-Yi)/Yi] = –β1–β2 Xi converte o modelo em linear. 2.10 O gráfico de dispersão indica que, em média, os salários nos países que exportam mais exibem maior crescimento real do que naqueles que exportam menos. É por isso que muitos países em desenvolvimento seguem uma política de crescimento voltada para a exportação. A linha de regressão traçada no gráfico é amostral, pois se baseia numa amostra de 50 países em desenvolvimento. 2.11 De acordo com o conhecidíssimo modelo de comércio de Heckscher-Ohlin, os países têm tendência a exportar mercadorias que, para serem produzidas, utilizem intensivamente seus fatores de produção mais abundantes. Em outras palavras, este modelo enfatiza a relação entre dotação de fatores e vantagem comparativa. 2.12 O gráfico de dispersão mostra que quanto mais alto o salário mínimo, mais baixo é o PNB per capita, indicando, portanto, que a legislação relativa à remuneração mínima pode não ser boa para os países em desenvolvimento, mas há controvérsia quanto a esse assunto. O resultado desse tipo de legislação pode depender do efeito que causa nos empregos, da natureza da indústria do local onde é imposta e da intensidade com que o governo a impõe. 2.13 É uma FRA porque se baseia numa amostra de 15 anos de observações. Os pontos dispersos em torno da linha de regressão são de dados reais. A diferença entre as despesas em consumo reais e as estimadas pela linha representa o resíduo (amostral). Além do PIB, fatores como riqueza, taxa de juros etc. podem afetar as despesas em consumo.

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 2.14 (a) O gráfico de dispersão é o seguinte:

Vertical = TPFTCH Horizontal = TDCH A relação positiva entre as duas variáveis parece surpreendente porque se esperaria, a priori, que fossem negativamente relacionadas. Mas a hipótese do efeito do trabalhador adicional da Economia do Trabalho sugere que quando o desemprego aumenta, a força de trabalho secundária pode ingressar no mercado de trabalho para garantir alguma renda familiar. (b) Segue o gráfico de dispersão:

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati VERTICAL = TPFTCM HORIZONTAL = TDCM Parece que temos aqui em ação a hipótese do efeito desalento da Economia do Trabalho: o desemprego desestimula as mulheres a participarem da força de trabalho por não acreditarem que haja oportunidades de emprego. (c) A representação gráfica da TPFTCH em relação aos GHM82 mostra o seguinte:

VERTICAL = TPFTCH HORIZONTAL = GHM82 E representação gráfica correspondente para as mulheres é:

VERTICAL = TPFTCM HORIZONTAL = GHM82

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati Há uma relação assimétrica entre as duas variáveis para homens e mulheres. Os homens respondem positivamente a salários maiores, ao passo que as mulheres respondem negativamente, o que parece desconcertante. Pode ser que ganhos maiores resultantes de salários mais altos para os homens induzam as mulheres a se retirarem da força de trabalho, algo que pode acontecer com os casais. Mas é preciso ter cuidado, pois aqui estamos trabalhando com regressões simples de apenas duas variáveis. As conclusões anteriores podem mudar quando estudarmos análise de regressão múltipla. 2.15 (a) O gráfico de dispersão e a linha de regressão ficam assim:

Vertical = DESPALIM Horizontal = DESPTOT (b) Na média, à medida que crescem as despesas totais também crescem as despesas com alimentação. Mas há uma flutuação maior entre as duas depois que as despesas totais passam de Rs. 2000. (c) Não esperaríamos que as despesas com alimentação crescessem indefinidamente de forma linear (isto é, como uma linha reta). Satisfeitas as necessidades básicas das pessoas, elas gastarão menos em alimentação à medida que sua renda aumentar. Quer dizer, consumidores com renda mais alta fazem despesas mais discricionárias. Há sinais disso no gráfico de dispersão mostrado em (a): as despesas com alimentação mostram mais flutuação no nível de renda acima de Rs. 2000.

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 2.16 (a) A representação gráfica da pontuação de homens e mulheres em aptidão verbal é a seguinte:

MALEVERB =VERBH FEMVERB = VERBM E a representação correspondente da pontuação de homens e mulheres em matemática é a seguinte:

MALEMATH = MATH FEMMATH = MATM (b) Ao longo dos anos, a pontuação de homens e mulheres em aptidão verbal mostra uma tendência descendente, enquanto depois de atingir o nível mais baixo em 1980, os cálculos mostram uma tendência ascendente, com variações ano a ano, é claro. (c) Pode-se elaborar um modelo de regressão simples, fazendo a regressão da pontuação em matemática contra a de aptidão verbal para ambos os sexos.

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati (d) O gráfico é o seguinte:

VERTICAL = VERBM HORIZONTAL = VERBH O gráfico mostra que as duas pontuações evoluíram na mesma direção ao longo do tempo.

Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati CAPÍTULO 3 MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO

3.1 (1) Yi = β1+ β2Xi + ui, logo, E(Yi|Xi) = E[(β1+ β2Xi + ui)|Xi] E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi + E(ui|Xi), visto que β1e β2 são constantes e X é não-estocástico. E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi, já que E(ui|Xi) = 0, por premissa. (2) Dado que cov(uiuj)=0 para todo i,j (i≠j), então cov(YiYj) = E{[Yi - E(Yi)] [Yj - E(Yj)]} cov(YiYj) = E(uiuj), dos resultados em (1) cov(YiYj) = E(ui)E(uj), porque é premissa que os termos de erro não estão correlacionados, cov(YiYj) = 0, já que o valor médio de ui é zero, por premissa. (3) Dado que var(ui|Xi) = σ2, var(Yi|Xi) = E[Yi - E(Yi)]2 = E(ui2) = var(ui|Xi) = σ2, por premissa.

3.2

Logo, βˆ2 =

∑x y ∑x i

i

2 i

Yi

Xi

yi

xi

xi yi

xi2

4

1

–3

–3

9

9

5

4

–2

0

0

0

7

5

0

1

0

1

12

6

5

2

10

4

soma

28

16

0

0

19

14

Nota:

Y = 7 e X = 4.

=

19 = 1,357; βˆ1 = Y − βˆ 2 X = 1,572. 14

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3.3 A FRP é: Yi = β1+ β2Xi + ui. Situação 1: β1 = 0, β2 = 1, e E(ui) = 0, resultando E(Yi|Xi) = Xi Situação 2: β1 = 1, β2 = 0, e E(ui) = (Xi –1), o que dá E(Yi|Xi) = Xi, o mesmo resultado da situação 1. Logo, sem a premissa E(ui) = 0, não se pode estimar os parâmetros porque, como acabamos de demonstrar, a mesma distribuição condicional de Y é obtida, embora os valores presumidos dos parâmetros sejam bem diferentes nas duas situações.

3.4 Impondo a primeira restrição, obtemos:

∑ uˆ = ∑ ( Y − βˆ − βˆ X i

1

i

2

i

) = 0 , equação que, simplificada, dá a primeira equação

normal. Impondo a segunda restrição, obtemos:

∑ uˆ X = ∑ ⎡⎣(Y − βˆ − βˆ X ) X ⎦⎤ = 0 , equação que, simplificada, dá a segunda equação i

i

i

1

i

2

i

normal. A primeira restrição corresponde à premissa de que E(ui|Xi) = 0. A segunda restrição corresponde à premissa de que não há correlação entre o termo de erro populacional e a variável explanatória Xi, isto é, cov(uiXi)=0.

E ( XY )2 ≤ 1. 3.5 Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que E ( X 2 ) E (Y 2 ) (x y ) = ∑ ∑x ∑y

2

Ora, r

2

i

2 i

i

2 i

≤ 1 , por analogia com a desigualdade de Cauchy–Schwarz, o que

também é verdadeiro para quadrado.

3.6 Observe que

∑ β yx =

ρ 2 , o coeficiente de correlação populacional elevado ao

xi yi

∑x

2 i

e que

β xy =

∑x y ∑y i

i

2 i

. Multiplicando as duas equações,

obtemos a expressão para r2, o coeficiente de correlação amostral elevado ao quadrado.

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3.7 Mesmo que βˆ yx ⋅ βˆ xy = 1, ainda faria diferença (pela causalidade e teoria) se fosse feita a regressão de Y contra X ou de X contra Y, pois o que é igual a um é somente o produto das duas, e isso não implica que βˆyx = βˆxy .

3.8 As médias das duas variáveis são iguais a: Y = X =

∑xy ∑x ∑ y

e a correlação entre os dois rankings é: r =

i

2 i

i

2 i

n+1 , 2 ,

(1) em que as letras minúsculas, como sempre, indicam desvio dos valores médios. Como os rankings são permutações dos n primeiros números naturais, então:

∑ x = ∑ X i2 − 2 i

(∑ X i )2

e, analogamente,

∑d

2

n

=

∑ y i2 =

n (n + 1)(2n + 1) n (n − 1) 2 n (n 2 − 1) − = 6 4 12 n( n 2 − 1) , então 12

= ∑ ( X i − Yi) 2 = ∑( X i2 + Yi2 − 2 X iY i) =

n( n +1)(2n +1) ∑d − . ∑ X iYi = 6 2

2 n( n + 1)(2 n + 1) − 2 ∑ X iYi , logo 6

2

Como

X Y ∑ x y = ∑ X Y − ∑ n∑ i

i

i

i i

(2)

i

, usando (2), obtemos:

2 2 2 n( n + 1)(2n + 1) ∑d n( n + 1) n(n − 1) − − = − 3 2 4 12

∑d 2

2

.

(3)

Agora, basta substituir as equações anteriores na equação (1) para obter a resposta.

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3.9 (a) βˆ1 = Y − βˆ2 X i e αˆ 1 = Y − βˆ 2 x [Observação: xi = ( X i − X ) ].

αˆ1 = Y , já que var (βˆ1 ) =

∑X n∑ x

2 i 2 i

∑x

i

σ2

=0.

e var (αˆ1 ) =

∑x n∑ x

2 i 2 i

σ2

σ2=

.

n

Logo, nem as estimativas nem as variâncias dos estimadores são iguais. (b) βˆ2 =

∑x y ∑x i

e αˆ 1 =

i

2 i

∑x y ∑x i

i 2

, já que

xi = ( X i − X )

i

É fácil verificar que var (βˆ 2 ) = var (αˆ2) =

σ2

∑x

2 i

.

Ou seja, as estimativas e as variâncias dos dois estimadores são idênticas. (c) Pode ser mais fácil usar o modelo II com números X grandes, embora com os rápidos computadores atuais isso não seja mais um problema. 3.10 Como

∑x = ∑ y i

i

= 0 , ou seja, a soma dos desvios em relação ao valor médio é

sempre zero, x e y também são iguais a zero ( x

= y = 0 ). Assim, βˆ1 = y − βˆ2 x = 0 . O

fato relevante aqui é que se tanto Y quanto X forem expressas como desvios em relação às respectivas médias, a linha de regressão passará pela origem.

βˆ 2 =

∑ (x − x )( y − y ) = ∑ x y x ∑ ( x − x) i

i

2

i

i 2 i

i

, já que as médias das duas variáveis são iguais a

zero. Esta é a Equação (3.1.6) do livro-texto.

3.11 Sejam

Zi = aXi + b e Wi = cYi + d , que, em formato de desvios, tornam–se

z i = ax i e wi = cyi . Por definição, r 2 =

∑z w ∑z ∑w i

2 i

i

2 i

ac ∑ xi yi

=

ac

∑x ∑y 2 i

2 i

= r1 na Equação

(3.5.13) do texto.

3.12 (a) Verdadeira. Na Questão 3.11, façamos a e c iguais a -1 e b e d iguais a 0. (b) Falsa. Consultando novamente a Questão 3.11, veremos que será negativo.

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(c)

Verdadeira.

rxy = r yx > 0 ,

Como

Sx e