TEMA 2. Exercicio 2.1 Econometria PDF

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TEMA 2. O MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO EXERCICIO 2.1 A teoría económica suxire que a cantidade demandada dun ben é función do seu prezo e máis da renda dispoñible das familias. Tómase unha mostra de 9 familias, para as cales temos datos do número de unidades demandadas do ben (Y, en miles de unidades), do seu prezo (X1, en decenas de euros), e das rendas anuais dispoñibles das familias (X2, en decenas de miles de euros). obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y 3 8 8 9 9 6 9 4 3

X1 2 3 5 4 6 3 4 5 6

X2 3 4 6 5 7 4 4 4 3

PÍDESE: 1. Formular un modelo econométrico que recolla esta teoría. 2. Desenvolver a fórmula dos EMCO (b) que se van utilizar para a estimación (deducindo os sumatorios da matriz X’X e os do vector X’Y). 3. Efectuar a estimación de mínimos cadrados ordinarios (en encerado e mediante Eviews, explicando previamente o funcionamento básico deste paquete informático). 4. Interpretar os resultados da estimación dos parámetros ou coeficientes. Comparar a interpretación dos parámetros considerando outras formas funcionais (modelo log-log, modelo log-nivel e modelo nivel-log). Comparar os valores estimados para os parámetros mediante as estimacións dos coeficientes estandarizados (no caso do modelo nivel-nivel). 5. Comprobar que se cumpren as propiedades do axuste de mínimos cadrados ordinarios (previamente minimizar SCE utilizando a notación ordinaria para deducir estas propiedades). 6. Deducir a fórmula da varianza estimada da perturbación e máis a das varianzas estimadas dos estimadores. Calcular os seus valores e analizar a precisión dos estimadores. 7. Deducir a fórmula do R2 (a partir da descomposición mostral do regresando) e analizar a bondade do axuste mediante os indicadores (R2 , �� ฀฀��2, %RECM, %ES ). Facelo en encerado e mediante Eviews. Interpretar os resultados ¿Por qué é posible que estas medidas diverxan na súa interpretación?. ¿Qué facer si diverxen?. 1

ENTRAR EN EVIEWS. Para CREAR UN FICHERO: En el menú que está arriba: FILE--- NEW ---- WORKFILE

Cuando se abra la pantalla de creación de fichero, tenemos tres opciones: - Unstructured/ Undated ….. para ficheros de datos atemporales - Dated/ regular frecuency ….. para ficheros cuyos datos tienen una estructura temporal - Balanced panel … combina los datos temporales y atemporales En la práctica de hoy, tenemos datos para 9 familias y, por lo tanto:

OK

Una vez creado el fichero, tenemos que introducir los datos relativos a las series con las que vamos a trabajar. Para ello, escribimos en la pantalla blanca que está debajo del menú de arriba:

2

GRABAR EL FICHERO CUANDO YA TENGAIS LOS DATOS: Arriba: FILE …. SAVE AS Se abre un cuadro: Look in: Buscar vuestro directorio de almacenaje en nube o pen File .. Darle un nombre. Por ejemplo: Practica 1 Files: (por defecto): EViews Workfile (*.wf1)

1.- FORMULAR UN MODELO ECONOMÉTRICO QUE RECOJA LA TEORÍA:

yt = β 0 + β1 x1t + β 2 x2t + ε t 2.- DESARROLLAR LA FÓRMULA DE LOS EMCO (b) QUE SE VAN A UTILIZAR EN LA ESTIMACIÓN (DEDUCIENDO LOS SUMATORIOS DE LA MATRIZ X´X y DEL VECTOR X´Y) Referencia bibliográfica: Guisán, M.C. (1997): Econometría. Ed. MCGraw-Hill, pp. 18-20

3.- ESTIMACIÓN POR MCO: -

A través del desarrollo de los sumatorios

Necesitamos conocer:

b = ( X ′X )−1 X ′Y

3

⎛ ⎜ ฀฀0 ฀฀1 � = ⎜ ฀฀=� ⎜ ฀฀2 ⎝

฀฀

� ฀฀1฀฀

� ฀฀1฀฀2 ฀

฀

� ฀฀฀฀ ⎞� ฀฀2฀฀⎛ ฀฀ ⎞ ฀ ⎟ ⎜ � ฀฀ ฀฀ ⎟ � ฀฀⎟1฀฀ ฀฀2฀฀ ⎜ ฀ ฀ 1฀฀⎟ ฀฀ ⎟ ⎜ ฀฀ ⎟ � ฀฀฀ ฀ ฀฀2฀฀ � ฀฀2฀฀2 ⎠ ⎝ ฀฀ ⎠ ฀฀ ฀฀

฀

−1

CÁLCULOS INTERMEDIOS EN EVIEWS: Nota: las órdenes que se encuentran dentro de los recuadros, se deberán escribir en la pantalla blanca situada debajo del primer menú y se ejecutarán con INTRO: T = tamaño muestral, número de observaciones = 9

Cálculo de la suma de las observaciones de x 1t (∑ ฀฀฀฀1฀฀ ): GENR SUMX1=@SUM(X1) Ejemplo:

Cálculo de la suma de las observaciones de x 2t (∑ ฀฀฀2฀฀)฀

:

GENR SUMX2=@SUM(X2)

2 Cálculo de la suma de las observaciones de x 1t al cuadrado (∑ ฀ ฀฀1฀฀ )฀

:

GENR X1C=X1^2 GENR SUMX1C=@SUM(X1C)

2 )฀ Cálculo de la suma de las observaciones de x 2t al cuadrado (∑ ฀ ฀฀2฀฀

:

GENR X2C=X2^2 GENR SUMX2C=@SUM(X2C)

Cálculo de la suma de las observaciones del producto cruzado x 1t x 2t (∑ ฀฀฀฀1฀฀฀฀2฀฀ ): GENR X1X2=X1*X2 GENR SUMX1X2=@SUM(X1X2)

Cálculo de la suma de las observaciones de Y t (∑ ฀฀฀฀฀฀ ): GENR SUMY=@SUM(Y)

4

Cálculo de la suma de las observaciones del producto cruzado y con x 1t (∑ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀1฀฀ ):

GENR YX1=Y*X1

GENR SUMYX1=@SUM(YX1) Cálculo de la suma de las observaciones del producto cruzado y con x 2t (∑ ฀฀฀฀฀฀ ฀฀2฀฀ ): GENR YX2=Y*X2 GENR SUMYX2=@SUM(YX2)

TRABAJO INDIVIDUAL DEL ALUMNO 1: Con los datos obtenidos en los cálculos anteriores, estimar el vector de estimadores b. Entregar en la siguiente práctica interactiva NOTA: cuando abráis para anotar los datos de cada sumatorio, vais a ver que el Eviews repite el valor para todas las observaciones. Esto lo hace porque no es una hoja de cálculo, sino un programa para trabajar con variables. En cualquier caso no hay problema, anotáis el valor que se repite, tomándolo como lo que es, un escalar. ESTIMACIÓN POR MCO CON EL EVIEWS: Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en inglés sería Least Squares, por eso la instrucción que utilizaremos será LS seguida de NOMBRE VARIABLE INDEPENDIENTE C (si hay ordenada en el origen) y NOMBRE VARIABLES INDEPENDIENTES, Si trabajamos con las instrucciones directamente, en lugar de con el menú, igual que hicimos antes, escribiremos la instrucción en la pantalla blanca que está debajo del primer menú (no olvidaros de ejecutar la instrucción con INTRO):

5

Dentro del cuadro de la estimación, si pulsáis el botón NAME le podéis dar un nombre (o dejar el que aparece por defecto, eq01) y así podéis guardar esta ecuación por si la necesitáis después. GRABAR EL FICHERO: Darle al botón SAVE QUE ESTÁ EN EL CUADRO DEL FICHERO (WORKFILE)

4.- INTERPRETAR LOS VALORES DE LOS ESTIMADORES DE LOS PARÁMETROS. Comparar la interpretación considerando otras formas funcionales: modelo log-log, modelo log-nivel y modelo nivel-log Para realizar de forma correcta la interpretación de los parámetros, hay que ver que están representando en cada forma funcional. Para verlo teóricamente con sencillez, utilizaremos un modelo simple: a) Modelo lineal: y t

= β 0 + β 1 xt + εt

En este modelo el parámetro β 1 :

฀฀฀฀฀ ฀฀1 =

฀

฀฀฀฀฀฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀

6

En este modelo el coeficiente mide las variaciones absolutas (en unidades) que se producen en la y ante variaciones absolutas (en unidades) que se producen en la x Resultados de la estimación del modelo lineal:

� ฀฀= 1.5 − 0.6 ∗ ฀฀1฀฀ + 1.7 ∗ ฀฀2฀฀ ฀฀

Interpretación de los estimadores en un modelo lineal: b0 = 1.5

Es el valor estimado de la ordenada en el origen y no tiene interpretación económica

b1 = -0.6 Me indica que si el precio del bien aumenta en una decena de euros estimamos que, por término medio, la demanda del bien disminuirá en 0.6 miles de unidades (o sea, 600 unidades), ceteris paribus b2 = 1.7 Me indica que si la renta de las familias aumenta en 1 decena de miles de euros estimamos que, por término medio, la demanda del bien aumentará en 1.7 miles de unidades (o sea, 1.700 unidades), ceteris paribus

b) Modelo log-log (o doble-log):

ln y t = β 0 + β 1 ln xt + ε t

Esta ecuación, en realidad, proviene de aplicar logaritmos a la función potencial siguiente:

฀฀฀ ฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ 1 ฀฀ ฀฀฀ ฀ ฀฀

(ya que ln α = β 0 y ln e=1)

En este modelo el parámetro β 1:

฀฀1 =

฀ ฀ ln ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀฀฀ /฀฀฀฀ ฀ ฀ = = ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀฀฀ /฀฀฀ ฀ ฀ ฀ ln ฀ ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀

En este modelo el coeficiente mide las variaciones relativas (porcentuales) que se producen en la y ante variaciones relativas (porcentuales) que se producen en la x. Una curva de este tipo presenta la misma elasticidad en todos los puntos, por eso el modelo también se llama modelo de elasticidad constante Estimamos el modelo (escribir arriba en la ventana blanca y ejecutar con intro): LS LOG(Y) C LOG(X1) LOG(X2)

7

Resultados de la estimación del modelo doble-log:

� =฀฀0.08 ฀฀฀฀ − 0.3 ∗ ฀฀฀฀ ฀฀1฀฀ + 1.5 ∗ ฀฀฀฀ ฀฀2฀฀ ฀฀

Interpretación de los estimadores en un modelo doble-logarítmico: b1 = -0.3 Me indica que si el precio del bien aumenta en un 1% estimamos que, por término medio, la demanda del bien disminuirá en un 0.3%, ceteris paribus b2 = 1.5 Me indica que si la renta de las familias aumenta en un 1% estimamos que, por término medio, la demanda del bien aumentará en un 1.5%, ceteris paribus

c) Modelo log-nivel ( o log-lin):

ln y t = β 0 + β 1 x t + ε t

Esta ecuación, en realidad, proviene de aplicar logaritmos a la siguiente función exponencial:

En este modelo el parámetro β 1: ฀฀1 =

฀฀฀ ฀ = ฀฀ ฀฀0 + ฀฀1 ฀฀฀฀+ ฀฀฀ ฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ ฀ ฀ ln ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀

Una aplicación de este modelo sería la medición en el tiempo de la tasa de crecimiento de una variable económica. Así, la fórmula del tipo de interés compuesto nos dice que:

yt = y 0 (1+r)t donde r es la tasa de crecimiento compuesta de y a través del tiempo (t) Aplicando logaritmos: ln y t = ln y 0 + t ln (1+r) si llamamos a ln y0 = β 0, y a ln(1+r) = β 1 (dado que son dos constantes a estimar), el modelo resultante es un log-lin:

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ln y t = β 0 + β 1 t + εt Si estimamos el modelo para el PIB y obtenemos un valor estimado del parámetro β 1 de 0.02469, este valor nos indica que el PIB creció a una tasa del 2.469% anual. Esta es la tasa de crecimiento instantánea (en un punto del tiempo). Para calcular la tasa de crecimiento compuesta (a lo largo del tiempo), habría que despejar r de la ecuación: Ln (1+r) = 0.02469 o sea, r = 0.024997, por lo que la tasa de crecimiento compuesta es de 2.499% ligeramente superior a la tasa instantánea (2.469%) Estos modelos se denominan modelos de crecimiento constante y sirven para medir en el tiempo las tasas de crecimiento de las variables económicas. d) Modelo nivel-log (o lineal-log): En este modelo el parámetro β 1: ฀฀1 =

y t = β 0 + β 1 ln x t + ε t

฀฀฀฀฀฀

฀ ฀ ln ฀฀฀

฀

฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀ ฀

Si el estimador de β 1 (b1) toma un valor de 0.25, nos indica que si la variable x aumenta en un 1% estimamos que la variación media que se produce en y es de (0.25/100) unidades Este modelo se utilizaría, por ejemplo, para ver en qué magnitud (unidades) varia el PIB de un país en función de la variación (%) de la oferta monetaria.

5. PROPIEDADES DEL AJUSTE MCO Comprobar que se cumplen las propiedades del ajuste de MCO (previamente minimizar la SCE utilizando la notación ordinaria para deducir estas propiedades. Notación ordinaria

yt = β0 + β1x1t + β2x 2t + ........ + βk xkt + εt yˆt = b0 + b1x1t + b2 x 2t + ........ + bk xkt

t = 1,....., T

t = 1,....., T

SCE: T

T

t =1

t =1

SCE = ∑ e2t = ∑( y t − b 0 − b1x1t − b 2 x 2 t − ........ − b k x kt) 2 1ª condición de mínimo:

∂ SCE = − 2∑ ( yt − b0 − b1 x1t − b2 x2 t − ........ − bk xkt ) = 0 ∂b0 t ∂ SCE = −2∑ ( yt − b0 − b1 x1t − b2 x 2t − ........ − bk xkt ) x1t = 0 ∂b1 t ...................................................................................... ∂ SCE = −2∑ ( yt − b0 − b1 x1t − b2 x2 t − ........ − bk xkt ) xkt = 0 ∂bk t

9

Propiedades del ajuste MCO De la 1ª ecuación: (si el modelo tiene ordenada en el origen): 1. La suma de los residuos es igual a cero. 2. El valor medio de los valores observados de y es igual al valor medio de los valores estimados de y 3. El hiperplano de regresión estimado pasa por el punto

( y , x1 ,......, x k ) De las otras ecuaciones: 4. Los residuos están incorrelacionados con las variables explicativas

∑e x

t it

= 0 i = 1,......., k

t

5. Los residuos están incorrelacionados con los valores estimados de y.

∑e yˆ t

t

=0

t

Comprobar las propiedades 1.- La suma de los residuos es igual a cero. Sin utilizar los comandos de EViews: 1º- Obtener los valores estimados para cada observación de la variable y, o sea, calcular: ฀฀� = 1.54166667 − 0.5833333333 ∗ ฀฀1 + 1.682291667 ∗ ฀฀2 En EViews:

GENR YEST=1.54166667 − 0.5833333333 ∗ ฀฀1 + 1.682291667 ∗ ฀฀2 2º Obtener los valores del error de estimación para cada observación muestral:

฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ �− ฀฀฀฀

GENR E=Y-YEST

Cálculo directo en Eviews: LS Y C X1 X2 GENR E=RESID GENR SE=@SUM(E) Como vemos: SE = -1.78E-14 = 0.00000000000000178 o sea, prácticamente 0 2.- El valor medio de los valores observados de y es igual al valor medio de los valores estimados de y Sin utilizar los comandos de Eviews: calcular la media de las dos variables que ya tenemos ฀฀฀฀ ฀฀� ฀฀sumando sus observaciones y dividiendo por 9 ฀฀ En Eviews:

10

Hacemos doble click en y: en el menú pulsamos View… Descriptive Statistics and Tests… Histogram and Stats:

En la tabla podemos observar que la media (mean) de la variable dependiente es de 6.555556 Para ver la media de y estimada, primero la tenemos que obtener. Para ello volvemos a la ecuación del modelo haciendo doble click en eq01 y pulsamos el botón FORECAST:

11

Forecast lo que hace es aplicar la ecuación del modelo estimado:

฀฀�฀฀= 1.54166667 − 0.5833333333 ∗ ฀฀1฀฀ + 1.682291667 ∗ ฀฀2฀฀

Le damos OK. A la variable estimada la llama YF

Si hacemos doble click en la variable YF que ya aparece en nuestro fichero, y hacemos igual que antes, en el menú pulsamos View… Descriptive Statistics and Tests… Histogram and Stats:

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En la tabla podemos observar que la media (mean) de la variable dependiente es de 6.555556, o sea, igual a la de y.

3.- El hiperplano de regresión estimado pasa por el punto

( y , x 1,......, x k ) Para hacer la prueba de esta propiedad habría que representar en el plano cada uno de lo puntos de la muestra y ver que el plano resultante pasa por ese punto, para lo cual hay que sustituir las variables por sus medias en la siguiente ecuación estimada y comprobar que se cumple la ecuación: ฀฀�฀฀= 1.54166667 − 0.5833333333 ∗ ฀฀1฀฀ + 1.682291667 ∗ ฀฀2฀฀

Esta propiedad es más fácil de comprobar si estimamos un modelo con una única variable explicativa, ya que obtenemos una recta de regresión en lugar de un plano. TRABAJO DEL ALUMNO 2: Hacer la estimación del modelo con la ordenada en el origen y la variable X1 y comprobar la propiedad 3 a través del gráfico de la recta de regresión estimada. Entregar en la próxima clase interactiva. 4.- Los residuos MCO están incorrelacionados con las variables explicativas. En este caso hay que sumar los valores del producto cruzado de cada x con los errores. 1º- Multiplicar los valores del error por los de x1 para cada observación. Sumar los valores del producto 2º- Multiplicar los valores del error por los de x2 para cada observación. Sumar los valores del producto En EViews: GENR EX1=E*X1 GENR SEX1=@SUM(EX1) GENR EX2=E*X2 GENR SEX2=@SUM(EX2) Si abrimos con doble click la serie SEX1 = -3.02E-14 = 0.00000000000000302, o sea, prácticamente 0, con lo que comprobamos que el error y la variable x1 están incorrelacionados Si abrimos con doble click la serie SEX2 = -4.62E-14 = 0.00000000000000462, o sea, prácticamente 0, con lo que comprobamos que el error y la variable x2 están incorrelacionados 5.- Los residuos están incorrelacionados con los valores estimados de y. En este caso hay que sumar los valores del producto cruzado del error con los valores estimados de la variable dependiente ฀฀� 1º- Multiplicar los valores del error por los de y estimada para cada observación. Sumar los valores del producto En EViews: GENR EYF=E*YF GENR SEYF=@SUM(EYF)

13

Si abrimos con doble click la serie SEYF = -8.64E-14 = 0.00000000000000864, o sea, prácticamente 0, con lo que comprobamos que el error y la variable endógena estimada están incorrelacionados

Cálculos en excell: obs

Y

X1

X2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 8 8 9 9 6 9 4 3

2 3 5 4 6 3 4 5 6

3 4 6 5 7 4 4 4 3

sumas medias

59 6.5555556

y estimada

error

error*x1

5.42187501 -2.42187501 6.52083334

1.47916666

8.71875001 -0.71875001 7.61979167

-4.84375001 -7.26562502 -13.1311036 4.43749998

5.91666664

-3.59375004 -4.31250004 -6.26660163 6.90104164

10.5168999 -8.028022

6.52083334 -0.52083334

-1.56250002 -2.08333336

-3.3962674

3.06249999

5.52083331

12.25

12.25

-6.77083337 -5.41666669 -7.25043407

3.08854167 -0.08854167

-0.53125004 -0.26562502 -0.27346465

0

0

0

2

Deducir la fórmula de la varianza estimada de la perturbación (S ) y de las varianzas estimadas 2 de los estimadores (S b i ). Calcular sus valores y analizar la precisión de los estimadores Referencia bibliográfica: Guisán, M.C. (1997): Econometría. Ed. MCGraw-Hill, pp. 20-21 y 2223. Cálculo de la varianza estimada de la perturbación:

S2 =

SCE T −k −1

2 ฀฀฀฀฀฀ = ∑ ฀ ฀฀ ฀ ฀฀

O sea, hay que elevar los errores al cuadrado y sumarlos. En Eviews, el cálculo sería: GENR E2=E^2 GENR SCE=@SUM(E2) GENR S2=SCE/(9-2-1) El dato de la SCE también lo podemos ver en el cuadro de los resultados de la estimación: Sum squared resid

18.1835937

5.35416667 -1.35416667

59 6.55555556

A partir de la fórmula:

9.64539928

-4.90625005 -5.72395839

6. VARIANZA ESTIMADA

-

error*y

9.81770834 -0.81770834

5.93750001

1.38020833

error*x2

22.63542

Otra información que nos proporciona el cuadro de la estimación del EViews es el valor estimado de la desviación típica de la perturbación: S.E. of regression = 1.942310 por lo que también podemos obtener la varianza estimada elevando al cuadrado el valor de S.E. of regression (S): GENR S2B=(1.942310)^2

14

0

Cálculo de las varianzas estimadas de los estimadores -

A partir de la fórmula:

ii obtenemos de: Sb2i = S 2 Xque

2 ฀฀฀฀0 ฀฀฀฀0 ฀฀฀฀1 ฀฀฀฀0 ฀฀฀฀2 01 02 ฀฀ 00 ฀฀ ฀฀11 ฀฀12 � ฀฀2฀฀1 ฀฀฀฀1 ฀฀฀฀2 ฀฀ ฀฀� (฀฀) = � 2 � = ฀฀ � 22 ฀฀ ฀฀2฀฀2

O sea, para obtener la varianza estimada de cada bi, multiplicamos el valor de la varianza estimada de la perturbación por el correspondiente valor de la inversa de la matriz X´X TRABAJO DEL ALUMNO 3: Obtener los valores de la varianza estimada de los bi. Entregar en la siguiente clase interactiva. En E-Views: En el cuadro de resultados de la estimación aparecen calculadas las estimaciones de las desviaciones de los coeficientes, y se recogen en la...