ECUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 9na. Edición . Zill PDF

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i 9E CONTENIDO O Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido...

Description

9E

CONTENIDO

O

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera

Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

i

NOVENA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas de valores en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University Versión métrica preparada por

ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Enrique Antoniano Mateos Universidad Anáhuac México, campus Norte

María Rosa Guadalupe Hernández Mondragón

Ma. Merced Arriaga Gutiérrez  Universidad de Guadalajara David Manuel Avila Sereno

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Instituto Universitario del Estado de México

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

William Alfredo Cabrer Alonso

Lucio López Cavazos

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Luisa Ramírez Granados

Ana Lilia Flores Vázquez

María del Socorro Real Guerrero

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad de Guadalajara

Mauricio García Martínez

Ruth Rodríguez Gallegos

Universidad Autónoma del Estado de México

José Alfredo Gasca González

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Instituto Tecnológico de León.

Raquel Ruíz de Eguino Mendoza

Francisco Giles Hurtado

Universidad Panamericana, campus Guadalajara

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Universidad Autónoma de Querétaro

Roberto Serna Herrera

Carlos Eduardo Gómez Sánchez

Universidad Iberoamericana

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Balaam Valle Aguilar

David Gutiérrez Calzada

Enrique Zamora Gallardo

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Anáhuac México, campus Norte

Aurora Diana Guzmán Coria

Riquet Zequeira Fernández

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Novena edición Dennis G. Zill Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica:: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edgar Maldonado Hernández Imagen de portada: NASA/ESA Composición tipográfica: Karen Medina

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301 Col. El Yaqui, C.P. 05320 Cuajimalpa, Ciudad de México Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. REG 423 Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems Ninth Edition, Metric Edition, Dennis G. Zill Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, novena edición ISBN: 978-607-526-647-3 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

CONTENIDO

O

v

Contenido

Kevin George/Shutterstock.com

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2

Joggie Botma/Shutterstock.com

Prefacio a esta edición métrica vii

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36

1.1 1.2 1.3

Definiciones y terminología 3 Problemas con valores iniciales 15 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL C APÍTULO 1

2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

34

Curvas solución sin una solución 37 2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37 2.1.2 ED autónomas de primer orden 39 Variables separables 47 Ecuaciones lineales 55 Ecuaciones exactas 64 Soluciones por sustitución 72 Un método numérico 76 REPASO DEL C APÍTULO 2

Fotos593/Shutterstock.com

22

81

3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 3.2 3.3

84

Modelos lineales 85 Modelos no lineales 96 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL C APÍTULO 3

107

114

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118 Bill Ingalls/NASA

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 119 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127 Reducción de orden 132 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152 Variación de parámetros 159 Ecuación de Cauchy-Euler 166 v

CONTENIDO

4.8

Funciones de Green 173 4.8.1 Problemas con valores iniciales 173 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188

Brian A Jackson/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 4

de orden superior

193

5.1

196

Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 197 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 202 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204 5.1.4 Circuito en serie análogo 207 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213 Modelos no lineales 222 REPASO DEL C APÍTULO 5

Todd Dalton/Shutterstock.com

183

5 Modelado con ecuaciones diferenciales

5.2 5.3

232

6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236 6.1 6.2 6.3 6.4

Repaso de series de potencias 237 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243 Soluciones en torno a puntos singulares 252 Funciones especiales 262 REPASO DEL C APÍTULO 6

Raimundas/Shutterstock.com

O

276

7 La transformada de Laplace 278 7.1 7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

Definición de la transformada de Laplace 279 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 286 7.2.2 Transformadas de derivadas 289 Propiedades operacionales I 294 7.3.1 Traslación en el eje s 295 7.3.2 TTraslación en el eje t 298 Propiedades operacionales II 306 7.4.1 Derivadas de una transformada 306 7.4.2 Transformadas de integrales 307 7.4.3 Transformada de una función periódica 313 La función delta de Dirac 318 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322 REPASO DEL C APÍTULO 7

286

327

8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Pavel L Photo and Video/ Shutterstock.com

vi

de primer orden 8.1 8.2

332

Teoría preliminar: Sistemas lineales 333 Sistemas lineales homogéneos 340 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341 8.2.2 Eigenvalores repetidos 344 8.2.3 Eigenvalores complejos 348

CONTENIDO

8.3

8.4

O

vii

Sistemas lineales no homogéneos 355 8.3.1 Coeficientes indeterminados 355 8.3.2 Variación de parámetros 357 Matriz exponencial 362 REPASO DEL C APÍTULO 8

366

Paul B. Moore/Shutterstock .com

9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

368

Métodos de Euler y análisis de errores 369 Métodos de Runge-Kutta 374 Métodos multipasos 378 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL C APÍTULO 9

385

389

jspix/imagebroker/Alamy Stock Photo

10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales 10.1 10.2 10.3 10.4

390

Sistemas autónomos 391 Estabilidad de sistemas lineales 397 Linealización y estabilidad local 405 Sistemas autónomos como modelos matemáticos

Science photo/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 10

11 Series de Fourier 424 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Funciones ortogonales 425 Series de Fourier 431 Series de Fourier de cosenos y de senos 436 Problema de Sturm-Liouville 444 Series de Bessel y Legendre 451 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455 REPASO DEL C APÍTULO 11

Brian A Jackson/Shutterstock .com

414

422

458

12 Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

460

Ecuaciones diferenciales parciales separables 461 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465 Ecuación de calor 471 Ecuación de onda 473 Ecuación de Laplace 479 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484 Desarrollos en series ortogonales 491 Problemas dimensionales de orden superior 496 REPASO DEL C APÍTULO 12

499

Aceshot1/Shutterstock.com

CONTENIDO

13 Problemas con valores en la frontera en otros sistemas coordenados

502

13.1 Coordenadas polares 503 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas 515

508

REPASO DEL C APÍTULO 13

517

14 Transformadas integrales 520 Lehrer/Shutterstock.com

O

14.1 14.2 14.3 14.4

Función de error 521 Transformada de Laplace 522 Integral de Fourier 530 Transformadas de Fourier 536 REPASO DEL C APÍTULO 14

Sdecoret/Shutterstock.com

viii

542

15 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales

544

15.1 Ecuación de Laplace 545 15.2 Ecuación de calor 550 15.3 Ecuación de onda 555 REPASO DEL C APÍTULO 15

559

Apéndices A Funciones definidas por integrales APP-3 B Matrices APP-11 C Transformadas de Laplace APP-29 Respuestas a los problemas seleccionados con numeracion impar RES-1 Índice

I-1

Prefacio a esta edición métrica

(VWDYHUVLyQPpWULFDLQWHUQDFLRQDOGL¿HUHGHODYHUVLyQHVWDGRXQLGHQVHGHEcuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera1RYHQDHGLFLyQHQORVLJXLHQWH /DVXQLGDGHVGHPHGLGDXWLOL]DGDVHQODPD\RUtDGHORVHMHPSORV\HMHUFLFLRV VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV 86&6 WDPELpQOODPDGRGH8QLGDGHVLQJOHVDVR,PSHULDOHV DXQLGDGHVPpWULFDV (VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH WUDEDMHHQODVDSOLFDFLRQHV\HMHUFLFLRVUHODFLRQDGRV

AL ESTUDIANTE /RVDXWRUHVGHORVOLEURVYLYHQFRQODHVSHUDQ]DGHTXHDOJXLHQHQUHDOLGDGORV lea$OFRQWUDULRGHORTXHXVWHGSRGUtDFUHHUFDVLWRGRWH[WRGHPDWHPiWLFDVGHQLYHO XQLYHUVLWDULRHVWiHVFULWRSDUDXVWHG\QRSDUDHOSURIHVRU&LHUWRHVTXHORVWHPDVFX ELHUWRVHQHOWH[WRVHHVFRJLHURQFRQVXOWDQGRDORVSURIHVRUHV\DTXHHOORVWRPDQOD GHFLVLyQDFHUFDGHVLKD\TXHXVDUORVHQVXVFODVHVSHURWRGRORHVFULWRHQpOHVWiGLUL JLGRGLUHFWDPHQWHDXVWHGDOHVWXGLDQWH(QWRQFHVTXHUHPRVLQYLWDUOH²QRHQUHDOL GDGTXHUHPRVSHGLUOH²TXH£OHDHVWHOLEURGHWH[WR3HURQRORKDJDFRPROHHUtDXQD QRYHODQRGHEHOHHUORUiSLGR\QRGHEHVDOWDUVHQDGD3LHQVHHQHVWHOLEURFRPRXQ cuaderno de ejercicios&UHHPRVTXHODVPDWHPiWLFDVVLHPSUHGHEHUtDQVHUHVWXGLD GDVFRQOiSL]\SDSHODODPDQRSRUTXHPX\SUREDEOHPHQWHWHQGUiTXHtrabajar los HMHPSORV\KDFHUORVDQiOLVLV/HD²PiVELHQWUDEDMH²todosORVHMHPSORVGHXQD VHFFLyQDQWHVGHLQWHQWDUFXDOTXLHUDGHORVHMHUFLFLRV/RVHMHPSORVVHKDQGLVHxDGR SDUDPRVWUDUORTXHFRQVLGHUDPRVVRQORVDVSHFWRVPiVLPSRUWDQWHVGHFDGDVHFFLyQ \SRUWDQWRPXHVWUDQORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDWUDEDMDUODPD\RUtDGHORV SUREOHPDVGHORVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV6LHPSUHOHVGHFLPRVDQXHVWURVHVWXGLDQWHV TXHFXDQGROHDQXQHMHPSORWDSHQVXVROXFLyQHLQWHQWHQWUDEDMDUSULPHURHQHOOD FRPSDUDUVXUHVSXHVWDFRQODVROXFLyQGDGD\OXHJRUHVROYHUFXDOTXLHUGLIHUHQFLD +HPRVWUDWDGRGHLQFOXLUORVSDVRVPiVLPSRUWDQWHVSDUDFDGDHMHPSORSHURVLDOJR QRHVFODURXVWHGSRGUtDVLHPSUHLQWHQWDUFRPSOHWDUORVGHWDOOHVRSDVRVTXHIDOWDQ\ DTXtHVGRQGHHOSDSHO\HOOiSL]HQWUDQRWUDYH]3XHGHTXHQRVHDIiFLOSHURHVSDUWH GHOSURFHVRGHDSUHQGL]DMH/DDFXPXODFLyQGHKHFKRVVHJXLGRVSRUODOHQWDDVLPLOD FLyQGHODFRPSUHQVLyQVLPSOHPHQWHQRVHSXHGHDOFDQ]DUVLQWUDEDMDUDUGXDPHQWH (VSHFt¿FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPRXQVXSOHPHQWR RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV HMHPSORVDGLFLRQDOHV\XQUHSDVRGHODViUHDVGHiOJHEUD\FiOFXORTXHVLHQWRVRQ SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV &RQVLGHUHTXHQRWLHQHTXHDGTXLULUHOSRMSXHGHUHYLVDUODVPDWHPiWLFDVDSURSLD GDVGHVXVYLHMRVOLEURVGHSUHFiOFXORRGHFiOFXOR (QFRQFOXVLyQOHGHVHDPRVEXHQDVXHUWH\p[LWR(VSHUDPRVTXHGLVIUXWHHOOLEUR \HOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&XDQGRpUDPRVHVWXGLDQWHVGHODOLFHQFLDWXUDHQPDWH PiWLFDVHVWHFXUVRIXHXQRGHQXHVWURVIDYRULWRVSRUTXHQRVJXVWDQODVPDWHPiWLFDV TXHHVWiQFRQHFWDGDVFRQHOPXQGRItVLFR6LWLHQHDOJ~QFRPHQWDULRRVLHQFXHQWUD DOJ~QHUURUFXDQGROHDRWUDEDMHFRQpVWHRVLQRVTXLHUHKDFHUOOHJDUXQDEXHQDLGHD SDUDPHMRUDUHOOLEURSRUIDYRUSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQQRVRWURVDWUDYpVGHQXHVWUR HGLWRUHQ&HQJDJH/HDUQLQJ

ix

x

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

AL PROFESOR (QFDVRGHTXHH[DPLQHHVWHWH[WRSRUSULPHUDYH]Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la fronteraQRYHQDHGLFLyQVHSXHGHXWLOL]DU\DVHDSDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ FXUVRGHGRVVHPHVWUHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV\SDUFLDOHV3DUDXQ FXUVRVHPHVWUDOVXSRQHPRVTXHORVHVWXGLDQWHVKDQFRPSOHWDGRFRQp[LWRDOPHQRV GRVVHPHVWUHVGHFiOFXOR'DGRTXHXVWHGHVWiOH\HQGRHVWRVLQGXGD\DKDH[DPL QDGRODWDEODGHFRQWHQLGRVSDUDORVWHPDVTXHFXEULUi (QHVWHSUHIDFLRQRHQFRQWUDUi³XQSURJUDPDVXJHULGR´1RSUHWHQGHUHPRVVHU WDQVDELRVFRPRSDUDGHFLUDRWURVSURIHVRUHVORTXHGHEHQHQVHxDUHQVXVFODVHV 6HQWLPRVTXHKD\PXFKRPDWHULDODTXtSDUDHVFRJHU\IRUPDUXQFXUVRDVXJXVWR(O WH[WRWLHQHXQHTXLOLEULRUD]RQDEOHHQWUHORVPpWRGRVDQDOtWLFRVFXDOLWDWLYRV\FXDQ WLWDWLYRVHQHOHVWXGLRGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QFXDQWRDQXHVWUD³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU HVFULWRFRQVLGHUDQGRVLHPSUHODFRPSUHVLyQGHOHVWXGLDQWHORTXHVLJQL¿FDTXHHO PDWHULDOGHEHUtDHVWDUSUHVHQWDGRHQXQDIRUPDGLUHFWDOHJLEOH\~WLOFRQVLGHUDQGRHO QLYHOWHyULFRFRPSDWLEOHFRQODLGHDGHXQ³SULPHUFXUVR´ $ODVSHUVRQDVIDPLOLDUL]DGDVFRQODVHGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVJXVWDUtDPHQFLR QDUOHVDOJXQDVGHODVPHMRUDVKHFKDVHQHVWDHGLFLyQ 6HKDQDFWXDOL]DGRPXFKRVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRVDJUHJDQGRQXHYRVSUREOHPDV $OJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVLPSOLFDQQXHYRV\TXH\RFRQVLGHURLQWHUHVDQWHVPRGHORV PDWHPiWLFRV ‡ 6HKDQDJUHJDGRFRPHQWDULRV¿JXUDV\HMHPSORVDGLFLRQDOHVDPXFKDVVHFFLRQHV ‡ (QWRGRHOOLEURVHOHKHGDGRXQPD\RUpQIDVLVDORVFRQFHSWRVGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVSRUSDUWHV\DODVVROXFLRQHVTXHLPSOLFDQLQWHJUDOHVQR HOHPHQWDOHV ‡ (O$SpQGLFH$,QWHJUDOHVGH¿QLGDVGHIXQFLRQHVHVQXHYRHQHOOLEUR ‡ 6HKDDJUHJDGRHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQDODQiOLVLVHQODVHFFLyQ Ecuación de onda ‡ 6HKDUHHVFULWRODVHFFLyQProblemas con valores en la frontera no homogéneos ‡ 6HKDGDGRPD\RUpQIDVLVDODV)XQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVHQODVHFFLyQ Coordenadas polares y cilíndricas RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Los Student Resource and Solutions Manual 650HQLGLRPDLQJOpV\VHFRPHU FLDOL]DQSRUVHSDUDGR HODERUDGRVSRU:DUUHQ6:ULJKW\&DURO':ULJKW (O YROXPHQ FRQ ,6%1  DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan UHSDVRVGHOPDWHULDOPiVLPSRUWDQWHGHiOJHEUD\FiOFXORWRGDVODVVROXFLRQHV GHOWHUFHUSUREOHPDGHFDGDFRQMXQWRGHHMHUFLFLRVH[FHSWRORVSUREOHPDVGH DQiOLVLV\ODVWDUHDVGHOODERUDWRULRGHFyPSXWR ORVFRPDQGRV\VLQWD[LVPiV importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt FRPR~WLOHVVXJHUHQFLDVGHFyPRHPSH]DUFLHUWRVSUREOHPDV RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés) • Manual de soluciones del profesor (ISM)HODERUDGRSRU:DUUHQ6:ULJKW\ 5REHUWR0DUWLQH]SURSRUFLRQDVROXFLRQHVLQWHJUDOHVGHVDUUROODGDVSRUWRGRVORV SUREOHPDVHQHOWH[WR(VWiGLVSRQLEOHDWUDYpVGHOD3iJLQD:HEGHOSURIHVRUGH HVWHOLEURHQcengage.com

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

O

xi

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