Ecuaciones diferenciales CON PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA SÉPTIMA EDICIÓN Solución de los problemas PDF

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Ecuaciones diferenciales CON PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA SÉPTIMA EDICIÓN DENNIS G. ZILL Solución de los problemas (En video o imagen ) por Juan Carlos Beltrán B. Colombia 2017 CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1. Definiciones y terminología 1.2. Problemas con valore...

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Ecuaciones diferenciales CON PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA SÉPTIMA EDICIÓN

DENNIS G. ZILL

Solución de los problemas (En video

o imagen

)

por Juan Carlos Beltrán B.

Colombia 2017

CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1. 1.2. 1.3.

Definiciones y terminología Problemas con valores iniciales Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Curvas solución sin una solución Campos direccionales ED de primer orden autónomas Variables separables Ecuaciones lineales Ecuaciones exactas Soluciones por sustitución Un método numérico

3. Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1. 3.2. 3.3.

Modelos lineales Modelos no lineales Modelado con sistemas de ED de primer orden

4. Ecuaciones diferenciales de orden superior 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Reducción de orden Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes indeterminados: Método de superposición Coeficientes indeterminados: Método del anulador Variación de parámetros Ecuación de Cauchy-Euler Solución de sistemas de ED lineales por eliminación Ecuaciones diferenciales no lineales

5. Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior 5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. 5.2. 5.3.

Modelos lineales: Problemas con valores iniciales Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado Circuito en serie análogo Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera Modelos no lineales

6. Soluciones en series de ecuaciones lineales 6.1. 6.1.1. 6.1.2. 6.2. 6.3. 6.3.1. 6.3.2.

Soluciones respecto a puntos ordinarios Repaso de series de potencias Soluciones en series de potencias Soluciones en torno a puntos singulares Funciones especiales Ecuación de Bessel Ecuación de Legendre

7. La transformada de Laplace 7.1. Definición de la transformada de Laplace 7.2. Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1. Transformadas inversas 7.2.2. Transformadas de derivadas 7.3. Propiedades operacionales I 7.3.1. Traslación en el eje s 7.3.2. Traslación en el eje t 7.4. Propiedades operacionales II 7.4.1. Derivadas de una transformada 7.4.2. Transformadas de integrales 7.4.3. Transformada de una función periódica 7.5. La función delta de Dirac 7.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

8. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 8.1. Teoría preliminar: Sistemas lineales 8.2. Sistemas lineales homogéneos 8.2.1. Eigenvalores reales distintos 8.2.2. Eigenvalores repetidos 8.2.3. Eigenvalores complejos 8.3. Sistemas lineales no homogéneos 8.3.1. Coeficientes indeterminados 8.3.2. Variación de parámetros 8.4. Matriz exponencial

9. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Métodos de Euler y análisis de errores Métodos de Runge-Kutta Métodos multipasos Ecuaciones y sistemas de orden superior Problemas con valores en la frontera de segundo orden

10. Sistemas autónomos planos 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Sistemas autónomos Estabilidad de sistemas lineales Linealización y estabilidad local Sistemas autónomos como modelos matemáticos

11. Funciones ortogonales y series de Fourier 11.1. Funciones ortogonales 11.2. Series de Fourier 11.3. Series de Fourier de cosenos y senos 11.4. Problema de Sturm-Liouville 11.5. Series de Bessel y Legendre 11.5.1. Serie de Fourier-Bessel 11.5.2. Serie de Fourier-Legendre

12. Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8.

Ecuaciones diferenciales parciales separables EDP clásicas y problemas con valores en la frontera Ecuación de calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace Problemas no homogéneos con valores en la frontera Desarrollos en series ortogonales Problemas dimensionales de orden superior

13. Problemas con valores en la frontera en otros sistemas coordenados 13.1. 13.2. 13.3.

Coordenadas polares Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas

14. Transformada integral 14.1. 14.2. 14.3. 14.4.

Función error Transformada de Laplace Integral de Fourier Transformada de Fourier

15. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales 15.1. 15.2. 15.3.

Ecuación de Laplace Ecuación de calor Ecuación de onda

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAPÍTULO 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación dny d n 1 y dy  a0  x  y  g  x  : an  x  n  an 1  x  n 1    a1  x  dx dx dx

1. (1  x) y '' 4 xy ' 5 y  co s x 4

2. 3. 4.

5. 6.

7.

d 3 y  dy  x 3    y  0 dx  dx  t 5 y (4)  t 3 y '' 6 y  0 d 2u du   u  cos  r  u  dr 2 dr 2 d2y  dy   1   dx 2  dx  d 2R k   dt 2 R2  sen   y   c os  y  2

x 2   x  1   x  x  0 8.  3  

En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente comparándola con la ecuación dy a1  x   a0  x  y  g  x  : dx 9. ( y 2  1)dx  xdy  0; en y; en x.

10. udv   v  uv  u eu  du  0; e n v; en u. En los problemas ll a 14, compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución. 11. 2 y  y  0; y  e  x /2 dy 6 6 12.  20 y  24; y   e 20t dt 5 5 13. y  6 y  13 y  0; y  e3x co s 2 x 14. y  y  tan x; y    cos x  ln  sec x  ta n x  En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada y   ( x) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a  simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a  como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición.

15.  y  x  y  y  x  8; y  x  4 x  2 16. y  25  y 2 ; y  5ta n 5x 17. y  2 xy 2 ; y  1 /  4  x 2 

18. 2 y  y 3 cos x; y  1  se n x  En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita y   ( x) en cada caso. Use alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución  . dX  2X 1 19.   X  11  2 X  ; ln  t  dt X 1   2 2 20. 2 xydx   x  y  dy  0;  2 x y  y 2  1  1/ 2

En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución. dP c1e t  P 1  P  ; P  21. dt 1  c1e t dy 2 x 2 2  2 xy  1; y  e  x  e t dt  c1e  x 22. 0 dx d 2y dy 23. 4   4 y  0; y  c1e 2 x  c2 xe 2 x 2 dx dx 3 2 dy 3 d y 2 d y x x 24. x  2   y  12 x 2 ; y  c1x 1  c2 x  c3 x ln x  4 x 2 3 2 dx dx dx 25. Compruebe que la función definida por tr amos  x 2 , x  0 y  x 2 , x  0 es una solución de la ED xy  2 y  0 en  ,  

En los problemas 27 a 30 determine los valores de m tales que la función y  e mx sea una solución de la ecuación diferencial dada. 27. y  2 y  0 28. 5 y  2 y

29. y  5 y  6 y  0 30. 2 y  7 y  4 y  0 En los problemas 31 y 32 determine los valores de m tales que la función y sea una solución de la ecuación diferencial dada. 31. xy  2 y  0 32 xy  7 xy  1 5 y  0

xm

En los problemas 33 a 36 use el concepto de que y  c,    x  , es una función constante si y sólo si y  0 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes. 33. 3xy  5 y  10

34. y  y 2  2 y  3 35.  y  1 y  1 36. y  4 y  6 y  10 En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones diferenciales en el intervalo  ,   .  dx  dt  x  3 y 37 .  ; x  e  2t  3e 6t , y  e  2t  5e 6t .  dy  5 x  3 y  dt d 2x t  dt 2  3 y  e 1 1 38 .  2 ; x  cos 2t  sen 2t  e t , y   cos 2t  sen 2t  e t . 5 5  d y  4x  et  dt 2 39. Dado que y  sen x es una solución explícita de la ED de primer dy orden  1  y 2 . Encuentre un intervalo de definición I . dx 40. Analice por qué tiene sentido suponer que la ecuación diferencal lineal y  2 y  4 y  5sen t cuenta con una solución del tipo y  A sen t  B cos t , donde A y B son constantes. Luego encuentre las constantes A y B específicas de modo que y  A sen t  B cos t sea u na solución particular de la ecuación diferencial. 43. Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro x 3  y 3  3cxy se denomina folia de Descartes. Verifique si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer ord e n: dy y  y 3  2 x 3   dx x  2 y 3  x 3 

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAPÍTULO 1.2 PROBLEMAS CON VALORES INICIALES En los problemas 1 y 2, y  1/ 1  c1e  x  es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED de primer orden y '  y  y 2 . Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada.

1 3 2 . y   1  2

1 . y 0  

E n los problemas 3 a 6 , y  1 /  x 2  c  es una familia u niparamétrica de soluciones de la ED de primer orden y   2 xy 2  0. Determine una solución de PVI de primer orden que cons iste en esta ecuac i ón d iferencial y la condición inicial dada. Dé el intervalo I más largo en el que est á definida la solución.

3 . y  2 

1 3

4 . y  2  5 . y  0  1

1 2

1 6. y    4 2 E n los problemas 7 a 1 0 , x  c1 cos t  c2 sen t es una familia biparamétrica de soluciones de la ED de segundo orden x  x  0. Determine una solución de PVI de segundo orden que cons iste en esta ec u ación diferencial y las condiciones inic iales dadas. 7 . x  0    1, x  0   8 8 . x  / 2   0, x  / 2   1

  1   9 . x    , x    0 6 2 6     10 . x    2, x    2 2 4 2 E n los problemas 11 a 14 , y  c1e x  c 2 e  x es una familia biparamétrica de soluciones de la ED de segundo orden x  x  0. Determine una solución de PVI de segundo orden que co nsiste en esta ecuac ión diferencial y las condiciones inicia les dadas.

11 . y  0   1, y  0   2 12 . y 1  0, y 1  e

13 . y   1  5, y   1   5 14 . y  0   0, y  0   0

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAPÍTULO 1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 1. Determine una ecuación diferencial para la población P(t ) de un país cuando se les permite a las personas inmigrar a un país con una razón constante r  0. ¿Cuál es la ecuación diferencial para la pob lacion P(t ) del país cuando se les permite a las personas emigrar del país con una razón constante r  0? 2. El modelo de población dado en la ecuac ión dP / dt  kP falla al no considerar la tasa de mortalidad; la tasa de crecimiento se identifica o es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del cambio de la población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en la comunidad. Determine un mo delo para la población P(t ) si tanto la tasa de natalidad y la mortalidad son proporcionales a la población presente al tiempo t.

3. Utilice el concepto de razón neta introd ucido en el problema 2 para determinar un modelo para una población P(t ) si la tasa de natalidad es proporcional a la población presente al tiempo t , pero la tasa de mortalidad es proporcional al cuadrado de la poblac ión presente al tiempo T . 4. Modifique el problema 3 para la razón n eta con la que la población P(t) de una cierta clase de pez cambia al supone r que el pez está siendo pescado con una razón constante h  0.

CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN CAPÍTULO 2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES En los problemas 5 a 12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuje a mano una curva solución aproximada que pase por los puntos dados.

5. y  x a ) y(0)  0 b) y(0)   3 6. y  x  y a) y( 2)  2 b ) y(1)   3 7. y

dy  x dx

a) y(1)  1

b) y(0)  4

CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2.2 VARIABLES SEPARABLES En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables. dy 1.  s en 5 x dx dy 2   x  1 2. dx 3. dx  e 3 x dy  0

4. dy   y  1  0 dy 5. x  4y dx dy 6.  2 xy 2  0 dx dy 7.  e3x  2 y dx dy 8. e x y  e  y  e 2 x  y dx 2 dx  y  1   9. y ln x  dy  x  2 dy  2 y  3  10.   dx  4 x  5  11. csc ydx  sec 2 xdy  0 12. sen 3xdx  2 y c os 3 3xdy  0 2

13.





e y  1 e  y dx   e x  1 e  x dy  0



2

14. x 1  y 2

2



1/ 2



dx  y 1  x 2



1/ 2

dy

15.

16. 17. 18.

19. 20. 21. 22.

dS  kS dr dQ  k  Q  70  dt dP  P  P2 dt dN  N  Ntet  2 dt dy xy  3x  y  3  dx xy  2 x  4 y  8 dy xy  2 y  x  2  dx xy  3 y  x  3 dy  x 1  y2 dx  y2  e x  e x  dy dx

En los problemas 23 a 28 encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dado. dx 23.  4 x 2  1 , x  / 4   1 dt dy y 2  1 24.  , y  2  2 dx x 2  1





CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2.3 ECUACIONES LINEALES En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución general. Determine si hay algunos términos transitorios en la solución general. dy  5y 1. dx dy 2.  2y  0 dx dy  y  e3 x 3. dx dy 4. 3  12 y  4 dx 5. y ' 3x 2 y  x 2

6. y ' 2 xy  x 3 7. x 2 y ' xy  1 8. y '  2 y  x 2  5 dy 9. x  y  x 2 se n x dx dy  2y  3 10. x dx dy  4 y  x2  x 11. x dx dy  xy  x  x 2 12. 1  x  dx 13. x 2 y ' x  x  2  y  e3 x

14. xy ' 1  x  y  e  x sen 2 x

15. ydx  4  x  y 6  dy  0





16. ydx  ye y  2 x dy

dy   s en x  y  1 dx dy 18. cos 2 x sen x   co s 3 x  y  1 dx dy 19.  x  1   x  2  y  2 xe  x dx 2 dy 20.  x  2   5  8 y  4 xy dx dr 21.  r sec  cos  . d dP 22.  2tP  P  4t  2 . dt dy 23. x   3x  1 y  e 3 x dx dy 2 24.  x 2  1  2 y   x  1 dx En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución. 25. xy  y  e x , y 1  2 dx 26. y  x  2 y 2 , y 1  5 dy di 27. L  Ri  E , i  0   i0 ; L, R, E e i0 constante s dt dT  k T  Tm  , T  0   T0 ; K , Tm e T0 constan tes 28. dt  x, 0  x  1 dy  2 xy  f ( x), y (0)  0, donde f ( x)   34. 1  x 2  dx   x, x  1 17. cos x

CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2.4 ECUACIONES EXACTAS En los problemas 1 a 20 determine si la ecuación diferencial dada es exacta. Si lo es, resuélvala. 1.  2 x  1 dx   3 y  7  dy  0

3. 4. 5.

 5x  4 y  dx   4 x  8 y 3  dy  0  sen y  y sen x  dx   cos x  x cos y  y  dy  0  2 xy 2  3 dx   2x 2 y  4 dy  0

En los problemas 1 a 20 resuelva el problema con valores iniciales.  3 y 2  t 2  dy t 24.    0, y (1)  1  5 4 2 y dt y  

CAPÍTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2.5 SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas. 1.  x  y  dx  xdy  0

2. 3.

 x  y  dx  xdy  0 xdx   y  2 x  dy  0 ydx  2  x  y  dy

4. 35. La ecuación diferencial dy / dx  P( x)  Q( x) y  R( x) y 2 se conoce como la ecuación de Riccati. a ) Una ecuación de Riccati se puede resol ver por dos sustituciones consecuti vas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, y1, de la ecuaión. Muestre que la sustitución y  y1  u reduce la ecuación de Riccati a una ecuación de Bernou lli con n  2. La ecuación de Bernoulli se p uede entonces reducir a una ecuación lineal sustituyendo w  u  1. b ) Determine una familia uniparamétrica d e soluciones de la ecuación diferencial 4 1 dy   2  y  y2 dx x x donde y1  2 / x es un a solución conocida de la ecuación.

CAPÍTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 3.1 MODELOS LINEALES 1. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0? ¿Cuál será la población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t  10 ?

3. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué ta n rá pido está creciendo la población en t  30? 4. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Despu és d e 10 horas hay 2 000 bacterias presentes . ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?.

5. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209 decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiemo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiemp o debe transcurrir para que decaiga 90 %? 6. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sus tan ci a presente al tiempo t, determine la cant idad que queda después de 24 horas.

7. Calcule la vida media de la sustancia readiactiva del proble ma 6 .

8. a ) El problema con valores iniciales dA / dt  kA, A(0)  A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la susta ncia e s T   ln 2 / k . b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t )  A0 2 t /T . c ) Si una sustancia radiactiva tiene la vid a media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A0 1 de sustancia decaer a A0 ? 8 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I (t ), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpi a d e m ar, la intensidad a 3 pies debajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial I 0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del...