Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera Boyce and DiPrima PDF

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Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera Ecuaciones diferenciales M,' y problemas con valores en la frontera /,,' Cuarta edición William E. :Boyce Richard C."DiPrima Rensselaer Polytechnic Institute HLIMUSA WILEY @3 ........ 224332 '? VERSION AUTORIZADA EN E S...

Description

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera

M,'

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera /,,'

Cuarta edición

William E. :Boyce Richard C."DiPrima Rensselaer Polytechnic Institute

HLIMUSA WILEY @3

........

224332

'?

VERSION AUTORIZADA EN E S P A ~ DE L LA OBRA PUBLICADA EN INGLCS CON EL T¡NLO:

ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUEPROBLEMS O JOHNWILEY& S O N S , INC. COLABORADOR EN LA TRADUCCION: HUGO VILLAG6MEZ VELAZQUEZ REVISION:

JOSE HERNAN PEREZ CASTELLANOS INGENIERO INDUSTRIAL POR LA ESCUELA MILITARDE INGENIEROS. PROFESOR DE WTEM~TICAS EN LA ESCUELA SUPERIOR DE INGENlERiA MECANICAY ELÉCTRIW DEL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL, MEXICO.

LAPRESENTACION

Y DISPOSICI~N EN CONIUNTO

DE

ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRONIC0 O MECANIW (INCLUYENDO ELFOTOCOPIADO, LA GRABACION o CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACION Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS: Q2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALMRAS 95,MCxlco, D.F. C.P. 06040 Z ' S? (5)521-21-05 Ol(800) 7-06-91-00 &Al(5)512-29-03 [email protected] bp www.no"ega.corn.rnx CANIEM

NUM.

121

TERCERA REIMPRESION DE LA CUARTA E D ~ C I ~ N

HECHOEN MEXICO ISBN 968-18-4974-4

224532

A la grata memoria de nuestros padres Ethel y Clyde DiPrima Marie y Edward Boyce

Prólogo

Un curso de ecuaciones diferenciales elementales esun medio excelente para que el estudiante comprenda la relación que hay entrelas matemáticas y las ciencias físicaso la ingeniería. Antes de que el ingenieroo el científico pueda aplicar con confianza las ecuaciones diferenciales, debe dominar las técnicas de resolucióny tener un mínimo de conocimiento de la teoría que las fundamenta. El estudiante de matemáticas recibeun gran beneficio al conocer algunas de las manerasen que el deseode resolver problemas específicosha estimulado el trabajo de naturaleza más abstracta. Escribimos este libro desde el punto de vista intermedio de quien se dedica a las matemáticas aplicadas, cuyo interés enlas ecuaciones diferenciales puede ser muy teórico e intensamente práctico. Buscamos combinaruna exposición sólida y precisa (pero no abstracta) de la teoría elementalde las ecuaciones diferenciales, con bastante material sobre métodos de resolución, análisis y aproximación que han probado su utilidad en una amplia variedad de aplicaciones. Pusimos atención especial en aquellos métodos de mayor aplicación y que pueden extenderse a problemas fuera del alcance de nuestroSelibro. hace hincapiéen que estos métodos tienenuna estructura sistemática y ordenada, y que no son sólouna coleccidn diversa de artificios matemáticos. Los métodos analizados en el libro no sólo incluyen técnicas analíticas elementales que dan soluciones exactas en ciertas clases de problemas, también incluyen aproximaciones basadas en algoritmos numéricos o en desarrollos en serie, así como métodos cualitativos o geométricos que a menudo permiten una mejor comprensión del comportamiento global de las soluciones. Estos últimos métodos se volestán viendo mucho más accesibles a los estudiantes, como resultado del uso común de computadoras personales o calculadoras de bolsillo poderosas. De hecho, con la amplia disponibilidad del enorme poder de cómputo, incluyendo los flexibles paquetes de cómputo simbólico, es razonable preguntarse si los métodos analíticos elementales para resolver ecuaciones diferenciales siguen siendo un tema de estudio que valga la pena. Creemos quesí, al menos por dos razones. Primera, resolverun proble-

8

Prólogo

ma dificil de ecuaciones diferencialesa menudo exige el empleo de diversas herramientas, tanto analíticas como numéricas. Poner en práctica un procedimiento numérico eficiente requiere de un considerable análisis preliminar: determinar las características cualitativas de la solución como guía para el cálculo, investigar los casos límite o especiales, o descubrir qué intervalos de las variables o parámetros requieren o ameritan atención especial. Segunda, comprender en cierta medida un proceso natural complicado a menudo se logra al combinar o partir de modelos más sencillos y más básicos. Estos últimos suelen describirse mediante ecuaciones diferenciales de un tipo elemental. Por tanto, el paso inicial e indispensable hacia la resolución de problemas más complejos un es conocimiento completo de estas ecuaciones, sus solucionesy los modelos que representan. Una de las metas de esta revisión es alentar a los estudiantes y maestros a explotar el poder de c6mputo con el que ahora cuentanpara que los estudiantes logren una comprensi6n m& profunda de las ecuaciones diferenciales y una apreciaci6nJX precisa IS de la manera en que pueden aplicarseal estudio de problemas importantes de las ciencias naturales o la ingeniería. En esta edición se incluyen muchas gr%lcas nueva5 generadas por computadora que ayudan a declararel comportamiento cualitativo de lasa menudo complicadas fórmulas que producen los métodos analíticos de resolución. Al mismo tiempo, en el texto se hace un análisis más ampliode las propiedades geométricaso asintóticas de las soluciones. Se presentan aproximadamente 275 problemas nuevos, en muchos de los cuales se requiere que el estudiante ejecute algún cálculo numérico, construya (con ayuda de algún paquete idóneo para trazar gráficas)la gráfica de una solución y, con frecuencia, llegue a conclusiones adecuadasa partir de esas acciones. Por último, se agregan dos nuevas secciones: una sobre ecuaciones en diferencias de primer orden en la que se destacala ecuación logística, y otra sobre las ecuaciones de Lorenz. En estas secciones se presentan algunas de las ideas básicas asociadas con bifurcaciones, caos y atractores extraños. Además de ser fascinante por sí mismo, este material puede usarse para terminar lacon creencia de que las matemáticas son una disciplina ya agotada, y no una enconstante crecimiento y renovación. Escribimos este libro principalmente para estudiantes que ya tienen conocimientos de cálculo obtenidosen un curso normal de doso tres semestres;el material de la mayor parte del libro es accesible a estos estudiantes. En el capítulo 7 se resume en dos secciones la información necesaria acerca de las matrices. Las secciones señaladas con un asterisco probablemente requieren mayor elaboración matemática (aunque, en términos escritos, no más conocimientos) queel resto del libro. Algunos problemas también están señalados con un asterisco, lo cual indica que son más difíciles quela mayoría y que, en algunos casos, rebasan el alcance del material presentado en el propio libro. Consideramos que este libro ofrece una flexibilidad mayor que el promedio para adaptarse a las necesidades deun curso. A partir del capítulo 4, los capítulos sonen esencia independientes entre sí, aunque el capítulo 11 sigue lógicamente al capítulo 10 y el capítulo 9 contiene citas del capítulo 7. De este modo,una vez quese completan las partes necesarias de los tres primeros capítulos (en términos generales, las secciones 1.1, 2.1, a 2.4 y 3.1 a 3.7), la selección de los temas adicionales, así como el orden y profundidad con los cuales se traten, quedanal criterio del profesor. Por ejemplo, aunquehay bastante material sobre aplicaciones de varios tipos, especialmente en los capítulos 2 , 3 , 9 y 10, la mayor parte de este material se presenta en secciones separadas, de modo un queprofesor puede elegir con facilidad las aplicaciones que desee incluir y las que quiera omitir. Otra posibilidad es combinar la presentación de las ecuaciones lineales de segundo orden y de orden superior

Prólogo

9 mediante el estudio concurrente de los capítulos 3 y 4. Todavía otra posibilidad es empezar la presentación del material sobre métodos numéricos del capítulo8 inmediatamente después, o incluso al mismo tiempo, que el material sobre problemas con valor inicial de primer orden del capítulo 2. Por último, aunque en esta revisión se supone que el estudiante dispone de una computadora o calculadora, es posible que algún profesor que no desee destacar este aspecto del tema lo logre, si selecciona con un poco más de atención los problemas asignados. Al final de cada sección del texto hay un conjunto de problemas para el estudiante. Estos problemas van desde los comunes hasta los que representan un reto; en algunos de estos últimos se amplían aspectos de la teoría o se introducenBreas de aplicación que no se trataron en el texto principal. Como ya se mencionó, en otros problemas es necesaria una investigación, con ayuda de computadora, de una ecuación diferencial mediante la aplicación de técnicas numéricas o gráficas. Al final del libro se dan las respuestas de casi todos los problemas. También,hay un manual de soluciones, compilado por Charles W. Haines delRochester Institute of Technology, que contiene soluciones detalladas de muchos problemas. Las secciones del libro están numeradasen forma decimaly, en cada sección,los teoremas y las figuras lo están consecutivamente. Así, el teorema 3.2.4 es el cuarto teoremala de sección 3.2. Al término de cada capítulo se proporciona una bibliografía general y, algunas veces, las más específicas aparecen como notas de pie de página. El alcance del libro puede juzgarse a partir del contenido, y los lectores que conocenla edición anterior encontrarán que ésta sigue el mismo patrón general. Sin embargo, esta revisión contiene muchos cambios menores y los más importantes se dan en seguida, algunos de los cualesya se mencionaron: 1. En correspondencia con la tendencia de crecimiento de la materia así como con la creación de paquetes amigables para construir gráficas por computadora, en esta edición se hace mayor hincapié en las propiedades geométricas de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. En comparación con las ediciones anteriores,hay más gráficas, más análisis de las propiedades y métodos geométricos y más problemas en los que el estudiante debe hacer gráficas u obtener conclusiones a partir de ellas. 2. En el texto se destaca másla obtención de conclusiones a partir de una solución, y no sólo la deducción dela solución en sí, y también se proponen más problemasen este sentido. Lo anterior refleja el hecho de que a menudo la motivación para resolver una ecuación diferencial particular es la necesidad de comprender algún proceso o fenómeno natural descrito por la ecuación. 3. Se han agregado secciones nuevas sobre ecuaciones en diferencias de primer orden y sobre las ecuaciones de Lorenz, introduciendo los conceptos de bifurcaciones, caos y atractores extraños. 4. El material básico acerca de las ecuaciones lineales de segundo orden del capítulo 3 se volvió a escribir para hacer más directala presentación y, en especial, para analizar la solución de algunos problemas simples antes de abordar la teoría general. 5. Se intercambiaron los capítulos 4 (ecuaciones lineales de orden superior) y 5 (soluciones en series de potencias) para facilitar la labor de los profesores que deseen combinar el tratamiento de las ecuaciones lineales de segundo ordeny las de orden superior. 6. Al capítulo 8 se le agregó un análisis más completo de los métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones. También se proponen aproximadamente 30 problemas nuevos en este capítulo.

10

Prólwo

7. El capítulo 9, sobre análisis de estabilidad y del plano fase, fue ampliado de manera considerable. Además de la nueva sección sobre las ecuaciones de Lorenz, ahora hay dos secciones en vez de una sobre la interacción de dos poblaciones, asi como una sección nueva sobre ciclos límite en la que se hace resaltar la ecuación de van der Pol. A medida que el tema de estudio de las ecuaciones diferenciales continúe creciendo, que nuevas tecnologías se vuelvan lugar común, que se amplíen los antiguos campos de aplicación y que surjan nuevos campos en este aspecto, así tendrán que evolucionar el contenido y los puntos de vista de los cursos y sus libros de texto. Esta fue la idea que pretendimos expresar en este libro.

William E. Boyce Troy, Nueva York

Agradecimientos

Durante la preparación de esta revisión recibimos la valiosa ayuda de varias personas. Es un placer expresar ahora nuestro agradecimiento sincero a todos y cada uno de ellos por su tiempo y dedicación. Mientras revisaba el manual de soluciones, CharlesW. Haines leyó el textoy comprobó las respuestas de muchos de los problemas. Gracias a su capacidad de observación se eliminaron numerosos errores e incoherencias. Richard Bagby, Bruce Berndt, PaulDavis y Thomas Otway revisaron todo el manuscrito e hicieron muchas sugerencias pertinentes; como resultado, el libro es considerablemente mejor de lo que hubiera sido sin su ayuda. A partir de la publicación de la edición precedente recibimos valiosos comentarios de varios usuarios. De ellos, merecen mención especial R. B. Burckel, Leah Edelstein-Keshet y Melvin Lax porlo detallado y amplio de sus sugerencias. Cathy Caldwell leyó la mayor parte del manuscrito, verificando los ejemplos y las respuestas dadas a los problemas nuevos. También fue de gran ayuda enla corrección de las pruebas. En esta edición se presentan figuras nuevas generadas por computadora. Algunas de éstas se trazaron originalmente con la aplicación del PHASER de Hiiseyin KoGak, mientras que otras se prepararon con ayuda del PHASE PORTRAITS de Herman Gollwitzer. Por último, y lo más importante de todo, agradezco a mi esposa Elsa no sólo su ayuda en actividades como la lectura de pruebas y la comprobación de cálculos, en especial por su apoyo moral, aliento y paciencia infatigables a lo largo de todo el proyecto.

W E. B.

. Contenido

Capítulo 1. Introducción

17

1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales 17 Notas históricas 1.2 27

Capítulo 2. Ecuacionesdiferencialesdeprimerorden

31

2.1 Ecuaciones lineales 31 2.2 Otrasconsideracionesacercadelasecuacioneslineales40 2.3 Ecuaciones separables 47 2.4 Diferenciasentrelasecuacioneslineales y lasnolineales54 2.5 Aplicacionesdelasecuacioneslinealesdeprimerorden60 2.6 Dinámica de las poblaciones y algunos problemas relacionados 2.7 Algunos problemas de mecánica 87 2.8 Ecuacionesexactas y factoresintegrantes95 2.9 Ecuaciones homogéneas 103 2.10 Problemas diversos y aplicaciones 107 *2.11 Teoremadeexistencia y unicidad 111 2.12 Ecuacionesendiferenciasdeprimerorden121

Capítulo 3. Ecuacioneslinealesdesegundoorden

135

3.1 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 135 3.2 Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogéneas 3.3 Independencia lineal y wronskiano el 154 3.4 Raíces complejas de la ecuación característica 160 3.5 Raíces repetidas; reducción de orden 168 3.6Ecuacionesnohomogéneas;métododeloscoeficientesindeterminados177 3.7 Variaciónparámetros de 189

~._.._I. ......L. ..

~

. . . ...

71

144

14

Contenido

3.8 Vibraciones mecánicas Vibraciones 3.9 forzadas 210

y eléctricas 197

Capítulo 4. Ecuacioneslinealesdeordensuperior

219

4.1Teoríageneraldelasecuacioneslinealesden-ésimoorden219 4.2 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 225 4.3 Método de los coeficientes indeterminados 232 4.4 Método de variación de parámetros 236

Capítulo 5. Soluciones en serie de las ecuaciones lineales de segundo orden 241 5.1 Repaso de series de potencias 241 5.2Soluciones en seriecercade un puntoordinario,parte I 248 5.3 Solucionesenseriecercade un puntoordinario,parte I1 259 5.4 Puntos singulares regulares 266 5.5 Ecuaciones Euler de 271 5.6Soluciones en seriecercade un puntosingularregular,parte I 280 5.7Solucionesenseriecerca de un puntosingularregular,parte I1 286 *5.8 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular; rl = r2 y rI - r2 = N *5.9 Ecuación Bessel de295

Capítulo 6. LatransformadadeLaplace309 5.1 Definición de la transformada de Laplace 309 6.2 Solución de problemas con valor inicial 316 Funciones 6.3 escalón 327 6.4Ecuacionesdiferencialesconfunciones de fuerzadiscontinuas Funciones 6.5 impulso 339 Integral 6.6 convolución de 344

335

Capítulo 7. Sistemasdeecuacioneslinealesdeprimerorden353 Introducción 7.1 353 Repaso 7.2matrices de 361 7.3 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores 371 7.4 Teoríabásicadelossistemasdeecuacioneslinealesdeprimerorden383 7.5 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 388 Eigenvalores 7.6 complejos 398 Eigenvalores 7.7 repetidos 405 Matrices 7.8fundamentales 413 7.9 Sistemas lineales no homogéneos 420

Capítulo 8. Métodos numéricos 429 8.1 Método de Euler o de la rectatangente429 8.2 Errores en los procedimientos numéricos 436 8.3 Mejoras en el método de Euler 444 Método 8.4 Runge-Kutta de 450 8.5 Algunas dificultades con los métodos numéricos

454

292

15

Contenido 8.6 Un método de pasos múltiples 460 8.7 Sistemas de ecuaciones de primer orden 467

Capítulo9.Ecuacionesdiferenciales

no lineales y estabilidad473

9.1 Plano fase: sistemas lineales 473 9.2 Sistemas autónomos y estabilidad 486 Sistemas 9.3 casi lineales 495 Especies 9.4competidoras 508 Ecuaciones 9.5 depredador-presa del 521 9.6 Segundo método Liapunov de 531 9.7 Soluciones periódicas y ciclos límite 541 9.8Caos y atractoresextraños:ecuacionesdeLorenz552

Capítulo 10. Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier 10.1 Separacióndevariables;conduccióndelcalor563 10.2 Series Fourier de 572 10.3 Teorema Fourier de 582 10.4 Funciones pares impares e 588 10.5Solucióndeotrosproblemasdeconduccióndelcalor597 10.6Ecuacióndeonda:vibracionesdeunacuerdaelástica608 10.7 Ecuación Laplace de 620 Apéndice A. Deducción de la ecuación de conducción del calor ApéndiceB.Deducciónde la ecuacióndeonda634

Capítulo 11. Problemas con valores en la frontera teoría de Sturm-Liouville 639

563

629

y

639 11.1 Ocurrencia de problemas con valores en la frontera en dos puntos 11.2 Problemas lineales homogéneos con valores en la frontera: eigenvalores y eigenfunciones 643 11.3ProblemasdeSturm-Liouvilleconvaloresenlafrontera652 11.4Problemas no homogéneosconvaloresen la frontera665 * 11.5ProblemassingularesdeSturm-Liouville681 * 11.6 Otras consideraciones sobre el método de separación de variables:un desarrollo en serie de Bessel 689 *11.7Seriesdefuncionesortogonales:convergenciaenlamedia695

Respuestasalosproblemas 751 Índice

705

Introducción

En este breve capítulo se proporciona una perspectiva del estudio de las ecuaciones diferenciales. Primero, se indican varias maneras de clasificar las ecuaciones, a fin de contar con una estructura organizada para el resto del libro. Luego, se presentan algunas de las figuras y tendencias más importantes en el desarrollo histórico dela materia. El estudio de las ecuaciones diferenciales ha llamado la atención de muchos de los matemáticos más grandes del mundo a lo largo de los tres últimos siglos. Sin embargo, sigue siendo un campo dinámico de la investigación actual, con muchas preguntas interesantes abiertas.

1.1 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Cuando se plantean en terminos matemáticos muchos problemas importantes y significativos de la ingeniería, las ciencias físicasy las ciencias sociales, se requiere determinar una función que satisfaga una ecuación que contiene una o más derivadas de la función desconocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. ...